Аксиомы и законы алгебры-логики
Для логических операций справедлив ряд аксиом и законов, основные из которых следующие:
Аксиомы:
(1)
(3)
(2)
(4)
(5)
Законы:
коммутативности
(6)
ассоциативности
(7)
дистрибутивности
(8)
дуальности
(теорема де-Моргана)
(9)
поглощения
(10)
Следует отметить, что алгебраические выражения аксиом и законов заданы параметрами и взаимной заменой операции И, ИЛИ и символов 0 и 1 из одного выражения получается другое.
Используя данные аксиомы и законы можно проводить преобразования логических функций с целью упрощения или приведения к какой-то одной логической операции.
Рассмотрим пример: Пусть задано выражение в виде:
В соответствие с алгеброй логики любую логическую функцию можно представить с помощью соответствующей комбинации простейших логических функций И, ИЛИ, НЕ. Набор простейших функций, с помощью которых можно выразить любые другие, сколь угодно сложные логические функции, называется функционально полным, или логическим базисом.
Таким образом, набор функций И, ИЛИ, НЕ является одним из логических базисов. Логический базис называется минимальным, если удаление хотя бы одной из входящих в него функций превращает этот набор в функционально неполный. Логический базис И, ИЛИ, НЕ не является минимальным, т.к. с помощью законов дуальности можно исключить из логических выражений функцию И либо ИЛИ. В результате получаем минимальные базисы: {И, НЕ} и {ИЛИ, НЕ}. Имеются также минимальные логические базисы, содержащие только одну функцию: {И-НЕ}(штрих Шеффера), {ИЛИ-НЕ}(стрелку Пирса). Функциональная полнота этих наборов функций следует из того, что с их помощью можно реализовать все функции логических базисов {И, НЕ} и {ИЛИ, НЕ}.
Лекция № 29. Базовые логические схемы.
План лекции.
1. Элементный базис;
2. Конъюнктор, дизъюнктор, инвертор, исключающее ИЛИ.
Электронные схемы, выполняющие простейшие логические операции, называются логическими элементами или схемами. Для реализации в цифровых системах разнообразных логических функций достаточно иметь логические элементы, реализующие операции того или иного минимального базиса. Этот набор логических элементов называется минимальным элементным базисом. В современной цифровой схемотехнике таким базисом чаще всего служат элементы И-НЕ, либо ИЛИ-НЕ. Однако реализация цифровых систем с использованием только элементов минимального базиса часто приводит к излишней сложности устройств и ухудшает их основные эксплуатационные параметры. Поэтому для улучшения характеристик систем при их построение во многих случаях используют расширенные (избыточные) элементные базисы, в которых кроме элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ входят схемы, выполняющие функции И-ИЛИ-НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ и др.
Рассмотрим условные обозначения и выполняемые функции логических элементов, входящих в состав наиболее распространенных серий цифровых интегральных схем.
1. Инвертор
Выполняемая
функция:
Условное обозначение (ЛН). Схемное изображение инвертора представлено на рис. 2.1.
рис. 2.1. Схемное изображение инвертора.
Таблица истинности
|
x |
y |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
2. Конъюнктор
Выполняемая
функция:
Условное обозначение (ЛИ). Схемное изображение конъюнктора представлено на рис. 2.2.
рис. 2.2. Схемное изображение конъюнктора.
На практике n принимает значения 2, 3 или 4 и тогда эти элементы называют 2И, 3И, 4И. Таблица истинности для элемента 2И будет иметь вид:
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
3. Штрих Шеффера (И-НЕ).
Выполняемая
функция:
Условное обозначение (ЛА). Схемное изображение штриха Шеффера представлено на рис. 2.3.
рис. 2.3. Схемное изображение штриха Шеффера.
На практике n принимает значения 2, 3, 4 или 8, т.е. имеются элементы 2 И-НЕ, 3 И-НЕ, 4 И-НЕ, 8 И-НЕ.
Таблица истинности для элемента 2 И-НЕ будет
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
4. Дизъюнктор.
Выполняемая функция: y=x1V x2 ...V xn
Условное обозначение (ЛЛ). Схемное изображение дизъюнктора представлено на рис. 2.4.
рис. 2.4. Схемное изображение дизъюнктора.
На практике n равно 2, т.е. имеются элементы 2 ИЛИ.
Таблица истинности такого элемента будет
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
5. Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ).
Выполняемая
функция:
Условное обозначение (ЛЕ). Схемное изображение стрелки Пирса представлено на рис. 2.5.
рис. 2.5. Схемное изображение стрелки Пирса.
Промышленностью выпускаются элементы с n=2, 3, 4, 5, т.е. 2 ИЛИ-НЕ, 3 ИЛИ-НЕ, 4 ИЛИ-НЕ, 5 ИЛИ-НЕ.
Таблица истинности, например, элемента 2 ИЛИ-НЕ будет иметь вид
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
6.
Условное обозначение (ЛР). Схемное изображение расширителя представлено на рис. 2.6.
рис. 2.6. Схемное изображение расширителя.
Промышленностью выпускаются элементы с n1, n2 . . . nm=2, 3, 4 и m=2 и 4.
Таблица истинности, например, для элемента 2-2И-2ИЛИ-НЕ будет иметь вид:
|
x11 |
x12 |
x21 |
x22 |
y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
7. Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ, неравнозначность).
Условное обозначение (ЛП). Схемное изображение элемента «исключающее ИЛИ» представлено на рис. 2.7.
рис. 2.7. Схемное изображение элемента «исключающее ИЛИ».
Таблица истинности будет:
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
8. Исключающее ИЛИ-НЕ (равнозначность).
Условное обозначение (ЛП). Схемное изображение элемента «равнозначность» представлено на рис. 2.8.
рис. 2.8. Схемное изображение элемента «равнозначность».
Таблица истинности будет:
|
x1 |
x2 |
y |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Так как выходные сигналы рассмотренных выше базовых логических функций в любой момент времени определяются только теми сигналами, которые поступают на вход схемы в тот же момент времени, то эти схемы относятся к простейшим комбинационным логическим схемам.
Более сложные комбинационные логические схемы строятся на основе простейших схем. Причём, на практике, наиболее часто встречаемые сложные комбинационные логические схемы, реализуются в виде функциональных интегральных микросхем, таких как мультиплексоры, демультиплексоры, шифраторы, дешифраторы и т.д. Рассмотрим некоторые из них.