Формы представления логических функций

 

Логические функции могут иметь различные формы представления. Наиболее распространенное – табличное и алгебраическое. Этими представлениями мы пользовались выше. Если логическая функция представлена алгебраически, то переход к табличному представлению весьма прост. Для этого достаточно подставлять различные комбинации аргументов (0 и 1) в выражение и определять значение функции, заполняя таблицу. Гораздо сложнее обратный переход от табличного представления функции к алгебраическому. Рассмотрим более подробно, как перейти от табличного способа задания функции к алгебраическому. Здесь можно выделить два пути, один из которых основан на использовании совершенной дизъюнктивной нормальной формы.       

          Совершенная дизъюнктивная нормальная форма представляет собой выражение, обладающее следующими свойствами:

1) в нём нет двух одинаковых слагаемых;

2) ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей;

3) в каждом слагаемом содержится в качестве множителя либо переменная, либо её отрицание;

4) никакое слагаемое не содержит переменной вместе с её отрицанием.

          С помощью совершенной дизъюнктивной нормальной формы можно сформулировать следующий алгоритм перехода от табличной формы записи функции к аналитической:

1. Выбрать в таблице задания функции наборы аргументов, при которых функция равна 1.

2. Выписать конъюнкции переменных. При этом, если х_i=1, то он входит в конъюнкцию без отрицания, а если 0, то в конъюнкцию входит отрицание х_i.

3. Все полученные конъюнкции соединяются законом дизъюнкции.

 Рассмотрим пример. Пусть логическая функция задана таблицей:

               

x1	x2	x3	y
0	0	0	0
1	0	0	0
0	1	0	1
1	1	0	0
0	0	1	0
1	0	1	1
0	1	1	0
1	1	1	1

          Функция У принимает значение равное 1 в третьей, шестой и восьмой строках таблицы, поэтому логическая функция будет содержать три слагаемых, имеющих вид:

 

х₁х₂ х₃; х₁х₂ х₃; х₁х₂ х₃.

 

          И тогда алгебраическое выражение для логической функции будет иметь следующий вид:  

 

у = (х₁х₂ х₃)V(х₁х₂ х₃)V( х₁х₂ х₃).

 

 Совершенная конъюнктивная нормальная форма – это та форма, которая обладает следующими свойствами:

1) в ней нет двух одинаковых множителей;

2) ни один множитель не содержит двух _ одинаковых слагаемых;

3) каждый множитель содержит х_i, либо х_i;

4) ни один множитель не содержит переменной вместе с её отрицанием.

          Алгоритм перехода от табличной формы записи функции к аналитической с помощью конъюнктивной нормальной формы будет иметь вид:

1. Выбираем в таблице задания функции все наборы, на которых функция равна 0.

2. Составляем дизъюнкцию аргументов, причём переменная будет с отрицанием, если она входит в набор как 1.

3. Все полученные дизъюнкции соединяем законом конъюнкции.

Рассмотрим пример. Пусть логическая функция задана таблицей:

               

x1	x2	x3	y
0	0	0	1
1	0	0	0
0	1	0	1
1	1	0	0
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	1	0
1	1	1	1

          Функция У принимает значение равное 0 во второй, четвертой и седьмой строках таблицы, поэтому логическая функция будет содержать три логических множителя, имеющих вид:

 

х₁ V х₂ V х₃; х₁ V х₂ V х₃; х₁ V х₂ V х₃.

         

И тогда алгебраическое выражение для логической функции будет иметь следующий вид:         

 

у = ( х₁ V х₂ V х₃) ( х₁ V х₂ V х₃) ( х₁ V х₂ V х₃).