Теория массового обслуживания (ТМО) / Конспект лекций по ТМО / TEMA9~1

Многоканальная СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания

Изучим работу n-канальной (n 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П_вх с интен­сивностью X. Поток обслуживаний П_об каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью . На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожида­ния каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т_ож со средним значением , после которого заявка покида­ет систему необслуженной. Временной интервал Т_ож является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой _.

Теоретически удобно считать, что заявка из очереди поки­дает систему под воздействием на нее потока "уходов" П_ух с интенсивностью

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским.

Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с нетерпеливыми заявками. Для данных систем мы не выделили сначала случай одноканальной СМО, как это делали для ранее рассмотренных систем. Все характе­ристики для одноканальной СМО могут быть получены из вы­веденных далее соответствующих " характеристик для n-канальных СМО при п=1.

Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (под обслуживанием и стоящих в очереди):

s_k (k = 0, 1, …, n) – k заявок под обслуживанием (k каналов заняты, очереди нет);

_{sn+r (r = 1, 2, …) – n заявок под обслуживанием (все п ка­налов заняты) и r заявок в очереди.}

Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний.

Размеченный граф состояний указан на рис. 9.1.

S_o

S₁

S_k

S_n

S_n+1

S_n+r

… … … …

µ 2µ κµ (κ+1) µ nµ nµ+ω nµ+2ω nµ+rω nµ+(r+1 )ω

Рис.9.1

Из состояния в состояние слева направо (без перескоков) СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П_вх с интенсивностью . Следовательно, плотно­сти вероятностей этих переходов:

(9.1)

Переход СМО из состояния без очереди соседнее слева состояние s_k-1 (k = 1, …, n), в котором s_k (k = 1, …, n) также не будет очереди, происходит под воздействием суммарного пото­ка, слагающегося из k потоков обслуживании всех k занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сум­му интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна k. Поэтому под стрелками справа налево от состояния s_n до состояния s_о проставлены плотности вероятностей переходов

(9.2)

На систему в состоянии с очередью s_n+r (r = 1, 2, …) действует суммарный поток — результат наложения я потоков об­служивании и r потоков уходов. Поэтому интенсивность сум­марного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков _. Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния s_n+r (r = 1, 2, …) в соседнее s_n+r-1 (r = 1, 2, …) и, таким образом,

(9.3)

Итак, плотности вероятностей переходов системы по стрел­кам справа налево, с учетом равенств (9.2) и (9.3) можно запи­сать в объединенной форме

(9.4)

Структура графа (см. рис. 9.1) говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения.

Подставим равенства (9.1) и (9.4) для k = 1, ..., n + т в формулы (3.21), получим:

(9.5)

Введем в рассмотрение величину

, которую по аналогии с величиной можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов и которая показывает среднее число уходов из очереди необслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки _.

Подставим в равенство (9.5) вместо отношений и соответственно и , получим:

(9.6)

Заменяя в формулах (3.19) и (3.20) п на п+т, затем подставляя в них по формуле (9.6) и переходя к пределу при , найдем вероятности состояний

(9.7)

Ряд

, (9.8)

через который выражается вероятность _о, сходится при любых (положительных) и . В самом деле, члены ряда (9.8)

положительны, а потому для доказательства его сходимости можно применить признак Д'Аламбера. Предел варианты Д'Аламбера D_k = a_k+1/a_k равен

Таким образом, и потому ряд (9.8) сходится.

Итак, если длина очереди не ограничена, но имеется огра­ничение на время ожидания заявки в очереди (т.е. заявки "нетерпеливы"), то со временем () устанавливается предельный стационарный режим и существуют предельные вероятности состояний (9.7) при любых (положительных) и , в отличие от случая неограниченной очереди и неограниченного времени ожидания заявок в очереди (заявки терпеливы), в ко­тором, как было показано в разделе п. 8, предельный стацио­нарный режим и предельные вероятности состояний существу­ют только при условии , т.е. если, или что тоже, .

Если в формулах (9.7) перейти к пределу при , т.е. при или что то же, при _, то при условии получим формулы (8.3) и (8.4) предельных вероят­ностей состояний СМО с неограниченным временем ожидания . Докажем это:

. (9.9)

Обоснуем, что в ряде (9.8) возможен почленный переход к пределу. Члены ряда (9.8) для всех удовлетворяют неравенствам

;

(в каждой скобке знаменателя дроби в левой части неравенства заменили меньшим числом 0), а ряд , в силу условия , сходится, поскольку — бесконечно убывающая геометрическая профессия. Следовательно, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости рядов (см., например, [15], с. 430), ряд (9.8) в интервале сходится равномерно относительно . Тогда (см. например, [Г5], с. 437) в ряде (9.8) возможен почленный переход к пределу:

Подставив это соотношение в равенство (9.9), получим формулу (8.3):

Далее из равенства (9.7):

где p_o определяется по формуле (8.3).

Если в формулах (9.7) перейти к пределу при получим формулы Эрланга (4.9) для случая n-канальной систе­мы с отказами.

Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то каждая заявка, поступившая во входящем потоке, будет принята в систему и в этом смысле отказ со стороны сис­темы заявка не получает. Поэтому для СМО с "нетерпе­ливыми" заявками вероятность принятия в систему p_сис=1, а вероятность отказа принятия в систему р_отк=0.

Понятие отказа принятия в систему не следует смешивать с понятием отказа в обслуживании, поскольку, в силу "нетерпеливости", не каждая поступившая (принятая) в систе­му заявка будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p_ух и вероятности того, что заявка будет обслужена, р_об. При этом вероятность р_об представля­ет собой относительную пропускную способность Q и р_ух=1-р_об .

Подсчитаем среднее число заявок в очереди N_оч. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N_оч представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величи­на N_оч может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид:

Nоч	0	1	2	…	r	…
Р	р	рn+1	рn+2	…	рn+r	…

где р=р_о+р₁+…+р_n. Следовательно,

, или, подставив сюда (9.7), получим

. (9.10)

Применяя признак Д'Аламбера, убеждаемся в сходимости ряда в правой части равенства (9.10).

На каждую заявку в очереди действует поток "уходов" П_ух с интенсивностью . На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков "уходов" и имеющий интенсивность_. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Сле­довательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО

. (9.11)

Тогда по определению относительной пропускной способности

,

где показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П_вх.

Среднее число занятых каналов, или что то же, среднее числозаявок, находящихся под обслуживанием, можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала . Используя при этом равенство (9.11), будем иметь:

. (9.12)

Таким образом, чтобы подсчитать среднее число занятых каналов по формуле (9.12), нужно предварительно вычислить по формуле (9.10). Однако, можно подсчитать и незави­симо от среднего числа заявок в очереди , а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, закон распреде­ления которой имеет вид:

К	0	1	2	…	n-1	n
Р	po	p1	p2	…	pn-1	p

где p = p_n + p_n+1 + p_n+2 + … + p_n+r + … . Но так как событие, состоящее в том, что все п каналов заняты, противоположно собы­тию, состоящему в том, что не все каналов заняты, а вероят­ность последнего события равна _{(ро + р1 + р2 + … + рn-1), то p = 1 - (ро + р1 + р2 + … + рn-1).} Тогда

. (9.13)

Но тогда из равенства (9.12):

, (9.14)

гдеопределяется формулой (9,13).

Параметры характеристики изученной СМО представлены в табл. 9.1, 9.2

Таблица 9.1 – Параметры многоканальной СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди и с ограничением на время ожидания в очереди

№ n/n	Параметры	Обозначения, значения
1	Число каналов обслуживания
2	Интенсивность входящего простейшего потока Пвх	( не зависит от времени)
3	Производительность каждого канала – интенсивность простейшего потока обслуживаний Поб каждым каналом (среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе)	( не зависит от времени)
4	Максимальное число мест в очереди
5	Ограничение на время ожидания заявки в очереди	Случайное время Тож
6	Среднее значение ограничения времени заявки в очереди
7	Интенсивность простейшего потока уходов из заявки из очереди Пух	( не зависит от времени)

Таблица 9.2 – Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди и с ограничением на время ожидания в очереди

№ n/n	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки СМО (трафик)
2	Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящийся на один канал
3	Приведённая интенсивность потока «уходов»
4	Вероятность того, что все n каналов свободны (вероятность простаивания всей системы)
5	Вероятности состояний
6	Среднее число заявок в очереди
7	Среднее число заявок под обслуживанием (т.е. среднее число занятных каналов)
8	Среднее число заявок в системе
9	Абсолютная пропускная способность
10	Относительная пропускная способность
11	Вероятность того, что заявка будет обслужена
12	Вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной	рух = 1 - роб
13	Среднее время ожидания заявки в очереди
14	Среднее время пребывания заявки в системе
15	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам – как обслуженным, так и ушедшим из очереди не обслуженными
16	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам

Задания

Тесты

Тест 9.1. Приведенная интенсивность потока уходов равна результату деления интенсивности потока уходов на интенсивность

1) входящего потока

2) потока обслуживании

Тест 9.2. Приведенная интенсивность потока уходов пока­зывает среднее число уходов из очереди необслу­женных заявок за среднее время

1) ожидания заявки в очереди

2) обслуживания одной заявки

3) ожидания заявки в системе

Тест 9.3. Для СМО с "нетерпеливыми" заявками абсолют­ная пропускная способность равна

1) интенсивности входящего потока заявок

2) интенсивности суммарного потока уходов

3) разности интенсивности входящего потока и интенсивности суммарного потока уходов

Тест 9.4. Для n-канальной СМО с "нетерпеливыми" заявка­ми среднее число заявок под обслуживанием

1) равно приведенной интенсивности входящего потока заявок

2) больше приведенной интенсивности входящего потока заявок

3) меньше приведенной интенсивности входящего потока заявок

Тест 9.5. Относительная пропускная способность для п-канальной СМО с "нетерпеливыми" заявками

1) больше единицы

2) меньше единицы

3) равна единице

Тест 9.6. Для n-канальной СМО с "нетерпеливыми" заявка­ми предельный режим функционирования систе­мы существует

1) при любом значении нагрузки системы, при­ходящейся на один канал

2) при значении нагрузки системы, приходящей­ся на один канал, меньшем единицы

3) при значении нагрузки системы, приходящей­ся на один канал, большем единицы

Тест 9.7. Для СМО с "нетерпеливыми" заявками среднее время пребывания заявки в системе равно сумме среднего времени ожидания заявки в очереди и

1) среднего времени обслуживания заявки одним каналом, относящегося только к обслуженным заявкам

2) среднего времени обслуживания заявки одним каналом, относящегося ко всем заявкам — как обслуженным, так и ушедшим из очереди не­обслуженными

9