10. Замкнутая одноканальная смо

Все СМО, изученные в предыдущих разделах, обладали об­щим свойством — входящий поток заявок П_вх и его интенсив­ность не зависели от состояний системы. Источник поступаю­щих заявок находился вне системы; Рассмотрим СМО, в кото­рых интенсивность потока поступающих заявок зависит от со­стояния системы. Такие СМО называют замкнутыми или сис­темами Энгсета по имени Т. Энгсета, который впервые дал их полный анализ.

Пусть одноканальная СМО содержит i источников заявок, каждый из которых порождает простейший поток заявок с ин­тенсивностью λ.

Заявка, пришедшая от источника в момент, когда канал за­нят, становится в очередь и ждет обслуживания. При этом ис­точник может подать следующую заявку только в том случае, если поданная им предыдущая заявка уже обслужена. Среднее время обслуживания каналом одной заявки (безразлично из каких источников)

где μ — интенсивность простейшего потока обслуживании.

Таким образом, имеем своеобразную СМО, содержащую конечное число источников заявок, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: активном или пассив­ном. Активное состояние источника — это такое состояние, при котором уже обслужена поданная им последняя заявка. Пассив­ное состояние характеризуется тем, что поданная источником последняя заявка еще не обслужена, т.е. либо стоит в очереди, либо находится под обслуживанием.

В активном состоянии источник может подавать заявки, а в пассивном — нет. Следовательно, интенсивность общего потока заявок зависит от того, сколько источников находится в пас­сивном состоянии, т.е. сколько заявок связано с процессом обслуживания (стоит в очереди или непосредственно обслужи­вается).

Характерным для замкнутой СМО является зависимость по­тока заявок от состояний самой СМО. Эта зависимость прояв­ляется существенно при конечном небольшом числе источников заявок. Но если число источников достаточно велико, то прак­тически можно считать, что интенсивность потока заявок не зависит от состояний СМО.

Занумеруем состояния СМО по числу источников, находя­щихся в пассивном состоянии, т.е. по числу заявок, находя­щихся в очереди и под обслуживанием:

s₀ — все i источников находятся в активном состоянии,

канал свободен, очереди нет;

S₁ — один источник находится в пассивном состоянии, ка­нал обслуживает поданную этим источником заявку, очереди нет;

S₂ - два источника находятся в пассивном состоянии, за­явка, поданная одним из них, обслуживается, а заяв­ка, поданная другим источником, стоит в очереди;

S_i — все i источников находятся в пассивном состоянии, заявка, поданная одним из них, обслуживается, а i—1 заявок, поданных остальными источниками, стоят в очереди.

Граф состояний приведен на рис. 10.1.

Из состояния s₀ в состояние S₁систему переводит суммар­ный поток, слагающийся из потоков всех i активных источни­ков; поэтому интенсивность этого суммарного потока λ₀₁ = iλ . Из состояния S₁в состояниеS₂ система переходит под воздей­ствием суммарного потока ужеi—1 потоков активных источни­ков, поскольку один источник находится в пассивном состоя­нии; следовательно, λ₁₂ = (i-1)λ и т.д. Из состоянияS_i-1 в со­стояние Si систему переводит только один поток, порождаемый единственным источником, находящимся в активном состоя­нии (все остальные i—1 источников в пассивном состоянии);поэтому λ_i-1,_I=λ. Таким образом, мы нашли все плотности вероятностей переходов системы по стрелкам слева направо. Интенсивности же потоков, переводящих СМО по стрелкам справа налево, все одинаковы и равны μ, поскольку все время работает один канал с интенсивностью обслуживания μ. Таким образом, λ_{k, k-1}=μ, k=1,…,i.

Как видно из структуры графа состояний данной СМО (рис. 10.1), в ней протекает процесс гибели и размножения. Тогда для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (3.19) — (3.21) общего процесса гибе­ли и размножения. Подставим в формулу (3.21) , λ_{k-1, k}=(I-(k-1))λ; , λ_{k, k-1}=μ;k=1,…,i;n=i. Получим:

где р = λ/μ — показатель нагрузки системы, порождаемой каж­дым источником заявок.

Подставив эти значения α_k,k = 1, ..., i, в формулы (3.19) и (3.20) прип = i, найдем вероятности состояний:

Событие, состоящее в том, что канал занят, и событие, со­стоящее в том, что канал свободен, противоположны и потому вероятности этих событий в сумме дают единицу. Следователь­но, вероятность того, что канал занят,

Р_зан = 1 – р₀

где p₀ — вероятность того, что канал свободен. Так кик произ­водительность канала — μ заявок в единицу времени, то абсо­лютная пропускная способность СМО

А = р_зан μ = (1 – р₀) μ

Напомним, что интенсивность ν выходящего потока П_вых обслуженных заявок совпадает с абсолютной пропускной спо­собностью А:

ν= А = (1 – р₀) μ.

Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена каналом, то относительная пропускная способность СМО равна единице Q= 1.

Вычислим среднее число заявок, находящихся в системе, т.е. в очереди и под обслуживанием, иными словами, среднее числоисточников, находящихся в пассивном состоянии.

В рассматриваемой СМО всего iисточников заявок, из которых в среднемнаходятся в пассивном состоянии. Следовательно,i-источников находятся в активном состоянии и каждый из них порождает поток заявок с интенсивностью λ. Тогда средний суммарный входящий поток (порождаемый активными источниками) будет иметь среднюю интенсивность заявок в единицу времени:

(10.1)

Поскольку все эти заявки обслуживаются каналом, то

(10.2)

Формула (10.2) показывает, что средняя интенсивность входящего потока равна интенсивности ν выходящего потока.

Из формулы (10.2):

(10.3)

Среднее число источников в пассивном состоянии можно вычислить и без использования абсолютной пропускной способности, а именно как математическое ожидание случайной величины N_пас, представляющей собой число источников в пассивном состоянии:

(10.4)

Покажем также, что средняя интенсивность входящего потока есть математическое ожиданиедискретной случайной величины λ, которая может принимать значения

λ^(к)= (i–k)λ;k= 0, 1, …,i– 1,i, представляющие собой интенсивности входящего потока заявок, когда система находится в состоянииS_k. Закон распределения случайной величины λ имеет вид:

Λ	Λ(0)=iλ	Λ(1)=(i-1)λ	…	Λ(i-1)=λ	Λ(1)=0
р	Р0	Р1	…	Рi-1	pi

Поэтому математическое ожидание этой случайной величины

(10.5)

Так как = 1, то

(10.6)

Из формулы (10.4):

(10.7)

Подставив равенства (10.6) и (10.7) в равенство (10.5) и использовав формулу (10.1), получим:

Выведем теперь формулу для среднего числа заявок, находящихся в очереди. Для этого введём случайную величинуN_об– число заявок, находящихся под обслуживанием. Закон распределения этой случайной величины с учётом того, что СМО – одноканальная, будет иметь вид

Nоб	0	1
Р	Р0	1-р0

Тогда среднее число заявок, находящихся под обслуживанием,

(10.8)

т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятно­сти того, что канал занят.

Среднее число заявок в очереди получим как разность между средним числомзаявок в системе (10.3) и средним числом заявок под обслуживанием(10.8):

Полезной характеристикой системы Энгсета является веро­ятность р_акт того, что произвольный источник находится в ак­тивном состоянии. Поскольку источник в активном состоянии готов подать заявку, то p_акт называют стационарным коэффици­ентом готовности. Вероятность р_акт также можно назвать (стационарным) коэффициентом активности. Выведем для этого коэффициента формулу.

Если СМО находится в состоянии s_к(к = О, 1, ...,i), тоk ис­точников находятся в пассивном состоянии, а (i-К) источни­ков — в активном. Поэтому условная вероятность того, что произвольно выбранный источник находится в активном со­стоянии, при условии, что СМО пребывает в состоянии s_kравна (i—k)/i. Так как события, состоящие в том, что СМО на­ходится в состоянияхs_k, k = О, 1, ..., i, ( с вероятностьюр_k ) — несовместны и образуют полную группу, то для вычисленияp_акт можно воспользоваться формулой полной вероятности¹:

откуда, в силу нормировочного условия формул

(10.4), (10.З), (10.2):

____________________________________

Формула полной вероятности дает возможность вычислить вероятность р(Е) события Е, которое может наступить лишь при условии наступления одного из несовместных событий Но, Н₁,..., Н_i , образующих полную группу. По этой формуле р(Е) равна сумме произведений вероятностей p(Н_к), k = О, 1, ..., i, каждого из событий Н_к, k = О, 1, ..., i, на соответствующую условную вероят­ность р(Е\Н_k) события Е:

Из этой формулы видно, что коэффициент готовности представляет собой "относительную" интенсивность входящего потока заявок, т.е. отношение средней интенсивности к максимальной интенсивностиiλ суммарного входящего пото­ка, когда все i источников находятся в активном состоянии.

Найдем среднее время ожидания заявки в очереди. Пусть в какой-то момент времениt поступила заявка (один из источников, находящихся в активном состоянии, перешел в пассивное состояние). Какова вероятность того, что в этот момент СМО находилась в состоянии s_k (k = О, 1, ..., i-1)? Подчеркнем, что k не может равняться i, поскольку при k =i СМО пребывает в состоянии s_i , в котором все i источников пас­сивны, и потому ни один из них не может подать заявки. Для замкнутых систем входящий поток заявок в силу своей зависимо­сти от состояний СМО не является пуассоновским, и именно по­этому вероятности отличаются от вероятностей р_k.

Для нахождения вероятностей рассмотрим событие Е, состоящее в том, что на элементарном участке времени (t, t+dt) появилась заявка. Событие Е может произойти при условии появления одной из i несовместных гипотез, образующих пол­ную группу:

Но - в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии So;

Н₁ — в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии s₁;

—в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии s_k;

— в момент поступления заявки СМО находиласьв состоянии s_i-1.

Вероятности р(Но), р(Н₁), ..., p(H_k), ..., p(H_i-1) этих гипотез до наступления события Е равны соответственно p₀, p₁, ..., р_k,..., P_i-1.

Условные вероятности р(Е\Н_k), k = О, 1, ..., i-1, события Епри гипотезах Н_к равны

p(Е\Н_к) = (i – k)λdt, k = 0, 1, …, i – 1.

Вероятности , представляющие собой условные вероят­ности p(Hk\E) гипотез Н_к при условии, что событие Е уже на­ступило, найдем по формулам Бейеса¹ (см., например, (9), с. 56):

Используя нормировочное условие и формулу (10.4), получим:

(10.9)

Рассмотрим случайную величину Т_ОЧ - время ожидания за­явки в очереди.

Если заявка поступает в систему при гипотезе Н₀, т.е. когда СМО находится в состоянии s₀ то свободный канал немедлен­но принимает ее к обслуживанию, и ей не приходится стоять в очереди. Значит, условное математическое ожидание М]Т_ОЧ|Н₀] случайной величины Т_оч при гипотезе Но равно нулю: М]Т_ОЧ|Н₀] = 0.

Заявка, поступившая в систему при гипотезе Н₁, т.е. когда СМО находилась в состоянии s₁, в котором канал занят и в очереди нет заявок, становится в очередь и ожидает в среднем время, равное среднему времени обслуживания каналом одной заявки = 1/μ. ПоэтомуМ\Т_ОЧ\ Н₁] = 1/μ.

Если заявка пришла в СМО при гипотезе Н₂, т.е. когда сис­тема находилась в состоянии s₂, в котором канал был занят и в

________________________________

¹ Бейес Томас (1702 — 7.4.1761) - английский математик, член Лондонского королевского общества (1742). Основные труды относятся к теории вероятно­стей; в частности, Бейес поставил и решил одну из основных задач теории ве­роятностей (теорема Бейеса, опубл. 1763).

очереди стояла одна заявка, то пришедшей заявке надо будет ожидать в очереди среднее время 2/μ по 1/μ на заявку под об­служиванием и на заявку в очереди. Следовательно, М[Т_ОЧ\Н₂] = 2/μ. И так далее. Наконец,M[T_оч\Hi_-1] = (i-1)/μ. Следовательно, по формуле полного математического ожида­ния (см., например, [9], с. 77) среднее время ожидания заявки в очереди

или, подставив сюда выражение по формулам (10.9), получим:

(10.10)

Покажем, что и в случае замкнутых систем имеет место формула:

(10.11)

аналогичная формуле Литтла, в которой роль интенсивности входящего потока играет средняя интенсивность среднего входящего потока.

Заменяя в формуле (10.10) μ через λ/р, вероятности p_k - их выражениями через р ир₀ и применяя формулу (10.2), будем иметь:

В каждой из сумм в правой части этого равенства сделаем замену индекса суммирования

k + 1 =j, а затемj заменим наk:

Используя формулы для р_к:

Отсюда, применяя формулу (10.4), нормировочное условие и формулу (10.8), приходим к требуемой формуле (10.11):

Для среднего времени обслуживания одной заявки также справедлива формула, аналогичная формуле (10.11). В самом деле, применяя формулы (10.8) и (10.2), получим:

(10.12)

Отметим, что поскольку поступившая в СМО заявка рано или поздно будет обслужена (не получит отказа), то

Так как среднее время пребывания заявки в системе складывается из среднего времени ожидания заявки в очередии среднего времени ее обслуживания, то из формул (10.11) и (10.12) получаем:

Если предположить, что источник заявок, находясь в актив­ном состоянии, совершает некоторую полезную работу с про­изводительностью l, а в пассивном состоянии источник ника­кой работы не совершает, то средняя производительность среднего числа источников, находящихся в активном состоя­нии , будет равна, средняя потеря производительности источников, находящихся в пас­сивном состоянии, составит

Параметры и характеристики функционирования замкнутой одноканальной СМО представлены в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1