Теория массового обслуживания (ТМО) / Конспект лекций по ТМО / TEMA7~1
.DOCМногоканальная СМО
с ожиданием и ограничением
на длину очереди
В этом параграфе рассмотрим n-канальную (n) СМО с ожиданием, максимальное число мест в очереди которой равно . Пусть на вход СМО поступает простейший поток заявок Пвх с интенсивностью . Поток обслуживании Поб каждым каналом также простейший с интенсивностью .
Так как указанные потоки стационарны, то и не изменяются с течением времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда в очереди уже стоят т заявок, получает отказ и покидает систему.
Занумеруем состояния системы по числу заявок, находящихся в СМО, как в очереди, так и под обслуживанием:
S0 - в СМО нет заявок, т.е. все п каналов свободны;
S1 - в СМО одна заявка, т.е. занят один канал, остальные свободны;
Sk - в СМО k(<n) заявок, т.е. заняты k каналов, а остальные n-k свободны;
Sn - в СМО п заявок, т.е. все n каналов заняты, очереди
нет;
Sn+1 - в СМО n+1 заявка, т.е. все п каналов заняты и одна
заявка — в очереди;
Sn+r - в СМО n+r заявок, т.е. все я каналов заняты и в очереди стоят г заявок;
Sn+m - в СМО n+m заявок, т.е. все я каналов заняты и т
заявок стоят в очереди.
Таким образом, данная СМО может находиться в одном из n+т+ 1 состояний. В состояниях So,S1,…,Sn очереди нет. Размеченный граф состояний рассматриваемой системы изображен на рис. 7.1.
Переходы СМО из состояния в состояние по стрелкам направо происходят под воздействием одного и того же входящего потока Пвх, заявок с интенсивностью . Поэтому плотности вероятностей переходов
(7.1)
Если система находится в состоянии, в котором занято k () каналов, то переход ее в левое соседнее состояние порождается потоком, представляющим собой сумму k потоков обслуживании. Поэтому интенсивность этого суммарного потока будет равна . Таким образом, плотности вероятностей переходов СМО по стрелкам справа налево
если k=1,…, n;
если k=n+1,…,n+m (7.2)
Из графа состояний видно, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения с конечным числом состояний. Поэтому со временем установится предельный режим его протекания, и существуют предельные вероятности состояний pk, k=0,1…,n+m, которые можно найти из формул (3.19)—(3.21), заменяя в них п на п+т и подставляя (7.1) и (7.2).
Для к = 1, .... п подставим формулы (7.1) и (7.2) в формулу (3.21), используя показатель нагрузки, получим:
; k=1,…,n
Для k=n+1 из формул (3.21), (7.1) и (7.2) будем иметь:
Аналогично
Итак,
,…,
=1,…,n;
=n+1,…,n+m
Введем в рассмотрение величину , представляющую
-собой показатель нагрузки, приходящейся на один канал, получим
, k=1,…,n;
, k=n+1,…,n+m
Тогда из выражения (3.19):
(7.4)
Вторая сумма в правой части равенства (7,4) есть сумма т членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Если, то по формуле суммы т членов геометрической прогрессии
Если же , то
Таким образом, (7.4) примет вид
, если
, если (7.5)
Теперь мы можем найти и остальные предельные вероятности состояний, подставив равенство (7.3) в формулу (3.20):
, k=1,…,n;
, k=n+1,…, n+m (7.6)
где определяется по формуле (7.5).
Используя найденные предельные вероятности состояний, выведем формулы для некоторых характеристик эффективности функционирования рассматриваемой СМО.
Заявка, поступившая в момент, когда заняты все я каналов и все т мест в очереди, т.е. когда СМО находится в состоянии получает отказ. Поэтому вероятность отказа есть вероятность того, что СМО находится в состоянии . Следовательно, из равенства (7.6) при k=п+т получаем:
(7.7)
Поскольку события отказа заявке и приема ее в СМО являются противоположными, то вероятность принятия в систему пришедшей заявки
(7.8)
Относительная пропускная способность Q совпадает с вероятностью :
(7.9)
Тогда абсолютная пропускная способность:
Выведем формулу для среднего числа занятых каналов, или что то же, для среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием. Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а вся система обслуживает в среднем А заявок в единицу времени, то
(7.10)
Для вычисления среднего числа заявок, находящихся в очереди, рассмотрим дискретную случайную величину -число заявок в очереди.
Очевидно, что закон распределения этой случайной вели-: чины будет иметь вид:
|
0 |
1 |
2 |
• •• |
т |
P |
|
|
|
... |
|
Здесь р = ро + р1 +...+ рn. Поясним, что случайная величина принимает значение 0 с вероятностью />, равной сумме вероятностей ро + р1 +...+ рn ,поскольку событие, состоящее в том, что в очереди нет ни одной заявки, является объединением событий, состоящих в том, что СМО находится в каждом из состояний до. Исходя из этого закона распределения, среднее число подсчитаем как математическое ожидание случайной величины , используя формулы (7.6):
(7.11)
В сумме правой части этого равенства произведем замену индекса суммирования: l=k-n. Тогда k=l+n, l = 1 при k=n+1 и l=m при k=n+m. В результате получим:
Пользуясь формулой (5.12) при замене в ней на \|/ 1 и формулой суммы т членов арифметической прогрессии , найдем для окончательное выражение:
(7.12)
Зная среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, и среднее число заявок, стоящих в очереди, можно найти среднее число заявок, находящихся в системе:
= + (7.13)
Теперь подсчитаем среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим п + т + 1 несовместных гипотез Hk, k=0,1,…,n+m, состоящих в том, что СМО находится соответственно в состоянии ,k=0,1,…,n+m. Тогда вероятности этих гипотез р(Нk)=, k=0,1,…, п + т.
Если заявка поступит в СМО при одной из гипотез , т.е. когда СМО находится в одном из состояний , в каждом из которых не все каналы заняты, то она немедленно попадает под обслуживание свободного канала и ей не придется стоять в очереди. Поэтому условное математическое ожидание случайной величины Точ - времени ожидания заявки в очереди при гипотезах представляющее собой среднее время ожидания в очереди заявки, поступившей в СМО в момент, когда последняя находилась в состоянии равно нулю: Если заявка поступит в систему при гипотезе Нn , т.е. когда СМО находится в состоянии sn, в котором все n каналов заняты, но очереди нет, то заявке придется ждать освобождения одного из п каналов, которое произойдет под воздействием суммарного потока, слагающегося из n потоков обслуживании, каждый из которых имеет интенсивность . Поэтому интенсивность этого суммарного потока будет равна , а условное математическое ожидание случайной величины Tоч при гипотезе Нn совпадающее со средним временем ожидания в очереди заявки, поступившей в СМО, когда последняя находилась в состоянии sn, равно ,т.е. M[Tоч|Hn] = .
Если заявка поступит в СМО при гипотезе Нn+1, т.е. когда система пребывает в состоянии 5„+\, в котором все я каналов заняты и в очереди одна заявка, то поступившей заявке придется в очереди, в среднем ждать время, равное , складывающееся из среднего времени 1/(яц) освобождения одного из каналов, под обслуживание которого попадает заявка, стоящая в очереди впереди, и среднего времени следующего освобождения одного из каналов. Поэтому
И так далее. Если заявка поступит в систему при гипотезе , то М[Точ|Нn+m+1 ]=.
Наконец, если заявка поступит в СМО при гипотезе Hn+m, т.е. когда система находится в состоянии sn+m, в котором все n каналов заняты и в очереди стоят т заявок, то она получает отказ и покидает систему. Следовательно, M[Tоч|Hn+m] = 0.
Таким образом, по формуле полного математического ожидания ([9], с. 77)
Подставим сюда выражения вероятностей состояний по формулам (7.6), получим:
Сделав в сумме справа замену индекса суммирования l= k + 1 и затем заменив l на k, будем иметь:
Но тогда по формуле (7.11):
(7.14)
Таким образом, как и в случае одноканальный СМО с ожиданием и с ограничением на длину очереди, получили формулу Литтла, показывающую, что среднее время ожидания заявки в очереди Точ прямо пропорционально среднему числу заявок в очереди Nоч с коэффициентом .
Подставив равенство (7.12) в формулу (7.14), можно получить другое выражение для :
Аналогично тому, как это было сделано в разделе 5 для одноканальной СМО, можно вывести выражение для среднего времени пребывания заявки в системе (см. формулу (5. 26)):
(7.15)
где— среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам - обслуженным и "отказникам":
откуда с учетом (7.10) получаем формулу Литтла:
(7.16)
Подставим равенства (7.14) и (7.16) в формулу (7.15) и с учетом формулы (7.13) получим еще одну формулу Литтла:
(7.17)
связывающую среднее время пребывания заявки в системе со средним числом заявок в системе .
Нетрудно убедиться в том, что при n = 1 формулы (7.5) и (7.6) превращаются в формулы (5.5) соответственно для ро и рk (k= 1,…, т + 1), а формулы (7.7), (7.8),(7.9), (7.10), (7.12), (7.13), (7.14), (7.16) и (7.17)- соответственно в формулы (5.7), (5.8), (5.9), (5.19), (5.17), (5.20), (5.23), (5.25) и (5.27) для одноканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди.
Сведем параметры и полученные характеристики функционирования рассмотренной СМО в табл. 7.1 и 7.2.
Таблица 7.1
Параметры многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди
N&n/n |
Параметры |
Обозначения, значения |
|||||||
1 |
Число каналов обслуживания |
|
|||||||
2 |
Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх. |
In Пвх==const ( не зависит от времени |
|||||||
3 |
|
in Поб==const ( не зависит ни от времени, ни от канала) |
|||||||
4 |
Максимальная длина очереди — максимальное число мест в очереди |
|
Таблица 7.2
Характеристики функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди
№ n/n |
Предельные характеристики |
Обозначения, формулы |
1 |
Показатель (коэффициент) нагрузки СМО(трафик) |
|
2 |
Показатель(коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал |
|
3 |
Вероятность того, что все каналы свободны(вероятность простаивания всей системы) |
|
4 |
Вероятность состояний |
|
5 |
Вероятность отказа заявке |
|
6 |
Вероятность того, что заявка будет принята в СМО |
|
7 |
Относительная пропускная способность СМО |
|
8 |
Абсолютная пропускная способность СМО |
|
9 |
Среднее число занятых каналов(т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием ) |
|
10 |
Среднее число заявок, находящихся в очереди |
|
11 |
Среднее число заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием) |
|
12 |
Среднее время ожидания заявки в очереди |
|
13 |
Среднее время пребывания заявки в системе |
|
14 |
Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам – как обслуженным, так и получившим отказ. |