20

Лабораторная работа 1.1. Изучение статистических методов обработки опытных данных

Мотивационная характеристика темы: В медицине правильность обработки результатов эксперимента играет важную роль. Результат измерения физической величины зависит от многих факторов, влияние которых заранее учесть невозможно. Однако, когда проведено конкретное количество измерений, подчиняющихся нормальному закону распределения, учесть влияние случайных ошибок на результаты эксперимента возможно.

Цель лабораторной работы: Изучить статистические методы обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин.

К работе необходимо:

Знать	Уметь
1.Законы распределения дискретной и непрерывной случайных величин. Нормальное распределение. 2. Функция распределения и плотность распределения вероятностей. 3.Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин.	Строить вариационный ряд экспериментальных данных. Вычислять вероятность. Находить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Строить гистограммы и полигоны.

Литература:

1. А.Н.Ремизов. Медицинская и биологическая физика. М., 1999, Гл. 2,3.

2. Н.Л.Лобоцкая, и др. Высшая математика. М., 1987, Гл. 10.

3.И.А.Эссаулова и др. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике. М., 1987, Лб.1.

Контрольные вопросы для определения исходного уровня знаний

1.Сформулируйте известные Вам законы распределения дискретных случайных величин.

2.Дайте определение основных числовых характеристик дискретных случайных величин.

3.Что назавают функцией распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.

4. Дайте определение основных числовых характеристик непрерывных случайных величин.

5.Сформулируйте закон распределения Гаусса.

Краткая теория

Если количество значений, полученных в результате прямых измерений какого-либо параметра велико, то в значениях, принимаемых случайной величиной, обнаруживаются некоторые закономерности.

Пусть в n опытах измеряемая величина приняла m раз некоторое значение х, тогда для этого значения отношение

m/n=P* (1)

будет частотой события

сумма произведений всех значений случайной величины на их частоту называется средним арифметическим значением случайной величины:

(2)

или

При небольшом числе опытов частота событий в значительной мере имеет случайных характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота событий все более теряет свой случайный характер и приближается к некоторой постоянной величине Р-статистической вероятности события:

(3)

Например, при многократном бросании монеты частота выпадения герба будет лишь незначительно отличаться от 1/2.

Отклонение случайной величины от ее среднего значения характеризуется дисперсией, которая для опытных данных определяется формулой.

(4)

Для того, чтобы оценивать значение случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратичного отклонения:

(5)

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, есть закон распределения случайной величины. Про случайную величину в этом случае говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Закон распределения случайной величины может быть задан в разных формах: а) ряд распределения (для дискретных величин); б) функция распределения; в) кривая распределения (для непрерывных величин).

Простейшей формой является ряд распределения, который представляет собой таблицу значений случайных величин и соответствующих им частот.

Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных и общих является нормальный закон распределения, характеризующийся тем, что для него среднее арифметическое значение случайной величины является также и наиболее вероятным.

Рис. 2

Рис. 1

График нормального закона распределения изображен на рис.1. Кривая симметрична относительно прямой , так как отклонения случайной величины вправо и влево от áхñ равновероятны. При х®±¥ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Форма кривой распределения зависит от величины среднего квадратического отклонения рис.2. Максимальное значение функции распределения вероятности принимает при х=áхñ вид

(6)

Совокупность всех значений случайной величины называется простым статистическим рядом. Так как простой статистический ряд оказывается большим, его преобразуют в статистический ряд. Для этого весь диапазон изменения случайной величины делят на несколько равных интервалов и для каждого подсчитывают число m_i значений случайной величины, попавших в этот интервал. После этого вычисляют частоту случайной величины для каждого интервала Dх_i и среднее значение случайной величины в каждом интервале áх_iñ.

По статистическому ряду строится гистограмма, для чего по оси абсцисс откладывают интервалы, являющимися основаниями прямоугольников. Высота которых равна рис.3.

В том случае, если случайная величина распределена по нормальному закону, для построения кривой распределения находят значения функции распределения вероятностей при х=áх_iñ:

(7)

Эту функцию можно представить в виде

(8)

где

Рис. 3

Значения функции приведены в таблице 111 (см. литературу [3]).

Учебные задачи

Исходные данные для выполнения лабораторной работы

1. Измерение массы 50 пациентов дали следующие результаты в кг:

   90, 45, 54, 47, 59, 80, 83, 84, 79, 72, 67, 62, 60, 65, 70, 83, 80, 78, 74, 65, 64, 62, 69, 74, 78, 70, 79, 75, 60, 69, 75, 70, 62, 67, 72, 74, 69, 78, 67, 69, 72, 65, 74, 90, 69, 70, 74, 65, 74, 75.

2. Измерение роста 50 пациентов дали следующие результаты в см:

   147, 151, 154, 155, 156, 158, 160, 161, 173, 169, 168, 163, 164, 166, 167, 173, 176, 177, 179, 183, 176, 173, 183, 172, 169, 168, 167, 169, 172, 173, 176, 155, 156, 160, 163, 161, 164, 166, 167, 168, 169, 168, 169, 172, 160, 163, 164, 161, 166, 173.

Задание 1. Определить основные числовые характеристики дискретной случайной величины, определенной в эксперименте.

1. В эксперименте получен простой статистический ряд (каждому студенту дается индивидуальное задание ).

2. Данные статистического ряда занести в таблицу 1.

   Ряд, в котором х располагаются в порядке измерения, называется простым статистическим рядом.

   Таблица 1

№	1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17 ... 22
х

3. Построить вариационный ряд. Для этого сгруппировать варианты в порядке возрастания и указать их частоту повторения m_i (число вариант одного значения).

4.Вычислить вероятность каждой серии х_i по формуле ,

где n - общее число вариант ( задается преподавателем для каждого студента индивидуально ),

m_i - число одинаковых вариант.

Данные занести в таблицу 2

Таблица 2

№	хi	mi		xiPi
1 2 3 . . .

5.Найти математическое ожидание (среднее) по формуле:

6.Найти дисперсию D(x) по формуле

7.Найти среднее квадратичное отклонение по формуле:

Данные п.5, 6, 7 занести в таблицу 2

8.Конечный результат записать в виде:

для доверительной вероятности 0,68

для доверительной вероятности 0,95

для доверительной вероятности 0,99

Задание 2. Пострить гистограмму и полигон экспериментальных результатов.

1. Разбить вариационный ряд на 9 классов с одинаковыми интервалами.

2. Найти ширину класса (шаг интервала) по формуле:

   

   где x_max - максимальное значение варианты,

   x_min - минимальное значение варианты.

3. Указать границы каждого класса. Данные занести в таблицу 3.

   Например: рост группы людей колеблется в пределах от 149 см до 185 см. х_max=185 см. x_min=149 см.

   Ширина класса

   Границы классов: 149-153, 153-157, 157-161 и т.д.

   Для того, чтобы конец каждого класса не попадал в следующий класс, границу каждого класса надо уменьшить на 1%, тогда границы классов будут условно выглядеть так: 149-152,9; 153-156;9, 157-160,9 и т.д.

4. Найти середину каждого класса, при этом учитывать истинные границы, а не условные.

   Например: границы первого класса 149-153. Середину класса определить по формуле: см

   где x_min - минимальное значение варианты класса,

   Dх - ширина класса.

5. Подсчитать абсолютную частоту каждого класса m¢_i , т.е. число вариант , попадающих в данный класс. Данные п. 3, 4, 5 занести в протокол - таблица 3.

6. Вычислить вероятность Р¢_i для каждого класса по формуле:

   , где m¢_i - абсолютная частота класса, n - общее число вариант

   Данные занести в таблицу 3

7. Построить гистограмму. Для этого по оси абсцисс отложить интервал Dх_i, а по оси ординат вероятности для каждого класса Р¢_i. Гистограмма является графическим изображением вариационного ряда.

8. Отметить на графике середины каждого класса, провести ординаты до пересечения с верхними сторонами столбиков гистограммы. Построить полигон, соединив середины сторон всех столбиков гистограммы.

Таблица 3

№	Границы классов хmax-xmin	Середина класса	Абсолютная частота класса m¢i	Вероятность
1 2 .. .. 9

Сделать вывод в котором указать:

1.Как зависят числовые характеристики дискретной случайной величины от доверительной вероятности ?

2.Сделать обоснованное заключение о соответствии полигона и кривой нормального распределения.