Metodichka_LAB-ChAST_-1 / Пр3-обраб-результ

13

3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Целью любого исследования является установление связи между различными явлениями и параметрами. Количественная зависимость между исследуемыми величинами получается в результате измерений.

Измерение – это нахождение значения физической величины опытным путем техническими средствами.

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу.

3.1. Погрешности измерений

Измерения делят на прямые и косвенные. При прямом измерении числовое значение искомой величины получают непосредственным сравнением ее с мерой. Например, измерение толщины стержня микрометром, промежутка времени секундомером. При косвенном измерении величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений некоторых вспомогательных величин, связанных с искомой величиной определенной функциональной зависимостью.

При любых измерениях физических величин получаются результаты, которые неизбежно содержат погрешности (ошибки). Эти погрешности обусловлены самыми разнообразными причинами: неточность измерительных приборов, несовершенством наших чувств. Результаты измерений поэтому являются лишь приближенными, более или менее близкими к истинным значениям измеряемых величин.

Точность измерений характеризуется погрешностью – отклонением результата измерений от истинного значения искомой величины.

Модуль разности между средним значением измеряемой величины и фактически измеренным Х называется абсолютной погрешностью измерения:

где ; n – число измерений величины Х.

Отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины Х называется относительной погрешностью измерения:

относительная погрешность – величина отвлеченная, она выражается в долях единицы или в процентах и поэтому позволяет сравнивать точность независимых друг от друга измерений (например, точность измерения диаметра и высоты цилиндра).

Так как никакое измерение не может дать истинного значения измеряемой величины, то задачей измерения любой величины является нахождение приближенного наиболее вероятного значения этой величины, а также оценка допущенной при этом погрешности.

Погрешности (ошибки) подразделяют на три типа: грубые, систематические случайные.

Грубые погрешности (промахи) возникают в результате невнимания или усталости экспериментатора, неисправности экспериментальной установки, неверного отсчета делений по шкале прибора, ошибочной записи результатов прямых измерений. Они приводят к значениям физической величины, резко отличающимся от остальных. Для устранения промахов следует соблюдать аккуратность и тщательность при проведении измерений. В любом случае грубые погрешности должны быть исключены.

Систематические погрешности обусловлены действием постоянных по величине и направлению факторов. Например, неточность изготовления мер, неправильная градуировка шкал, смещение нуля шкалы или неправильная установка измерительных приборов. Кроме того, они могут возникнуть из-за того, что при измерениях не учитывается влияние некоторых факторов. При повторных измерениях данной величины в одинаковых условиях систематическая погрешность каждый раз повторяется, имея одну и ту же величину и знак, или изменяется по определенному закону. При анализе принципа действия применяемых приборов, методики измерения систематические погрешности можно либо исключить в самом процессе измерения, либо учесть в окончательном результате измерений, внеся соответствующую поправку.

Случайные погрешности обусловлены действием большого числа самых разнообразных факторов, в своем большинстве не поддающихся учету и контролю, и проявляющихся в каждом отдельном измерении по-разному. В силу неупорядоченности действия этих факторов предвидеть появление случайной погрешности и предугадать ее величину и знак невозможно. Случайные погрешности проявляют себя в том что, при неизменных условиях эксперимента и при полностью исключенных систематических погрешностях, результаты повторных измерений одной и той же величины оказываются несколько отличающимися друг от друга. Поэтому случайные погрешности по указанным выше причинам не могут быть исключены из результатов измерений. Их влияние учитывается посредством определенной обработки результатов измерения физической величины.

3.2. Обработка результатов прямых измерений

В общем случае порядок обработки результатов следующий (предполагает­ся, что систематических ошибок нет):

1. Найти среднее арифметическое результатов всех измерений:

   

2. Вычислить абсолютные погрешности всех измерений:

   

3. Определить среднюю абсолютную погрешность:

   , если n<5 или , если n>5

4. Вычислить среднюю относительную погрешность результата измерений:

   

5. Записать окончательный результат:

, при Е_Х =...

3.3. Обработка результатов косвенных измерений

Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Обычно искомая величина является функцией нескольких других величин.

Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин, связанных с искомой величиной определенной функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений.

Рассмотрим случай, когда искомая величина Y связана с измеряемой величиной X (или несколькими измеряемыми величинами X_i) известной функциональной зависимостью:

где X₁, X₂, X₃ величины, измеренные непосредственно с погрешностями DX₁, DX₂, DX₃.

Оценкой истинного значения измеренной величины является среднее значение

где – средние арифметические измеряемых на опыте величин, тогда абсолютная погрешность косвенной величины Y=f(X₁, X₂, X₃) определяется по формуле:

, где – частные производные функции Y=f(X₁,X₂,X₃) в точках , а – средние абсолютные погрешности величин, непосредственно измеренных. Значения ; надо найти, используя формулы для обработки прямых измерений.

Окончательно записать:

3.4. Оценка достоверности результатов измерений.

В любом эксперименте число измерений физической величины всегда ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача: определить границы интервала ±DX, чтобы с заданной доверительной вероятностью a можно было утверждать, что истинное значение измеренной величины X не выйдет за пределы указанного доверительного интервала. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность его надежность.

Особый интерес представляет случай оценки достоверности результатов измерений величин при весьма малом числе повторных измерений, например, n<10. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение Стьюдента.

Для оценки доверительного интервала поступают следующим образом. Задав доверительную вероятность a, находят по таблице (Смотри приложение таблица ) значение коэффициента Стьюдента t_a,n для заданного числа измерений n. Затем вычисляют доверительный интервал:

DX=S×t_a,n,

где – средняя квадратичная погрешность среднего значения.

Окончательный результат записывается в виде:

при (a=...)