Metodichka_LAB-ChAST_-1 / стат-обраб-данных-10-04
.docЛабораторная работа
ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Мотивационная характеристика темы: Результат измерения физической величины зависит от многих факторов, влияние которых заранее учесть невозможно. Однако, когда проведено конкретное количество измерений, учесть влияние случайных ошибок на результаты эксперимента возможно
Цель лабораторной работы:
К работе необходимо:
Знать |
Уметь |
|
|
Краткая теория
Значения, полученные в результате прямых измерений какого-либо параметра велико, то в значениях, принимаемых случайной величиной, обнаруживаются некоторые закономерности.
Пусть в n опытах измеряемая величина приняла m раз некоторое значение х, тогда для этого значения отношение
m/n=P* (1)
будет частотой события
сумма произведений всех значений случайной величины на их частоту называется средним арифметическим значением случайной величины:
(2)
или
При небольшом числе опытов частота событий в значительной мере имеет случайных характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота событий все более теряет свой случайный характер и приближается к некоторой постоянной величине Р-статистической вероятности события:
(3)
Например, при многократном бросании монеты частота выпадения герба будет лишь незначительно отличаться от 1/2.
Отклонение случайной величины от ее среднего значения характеризуется дисперсией, которая для опытных данных определяется формулой.
(4)
Для того, чтобы оценивать значение случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратичного отклонения:
(5)
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, есть закон распределения случайной величины. Про случайную величину в этом случае говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Закон распределения случайной величины может быть задан в разных формах: а) ряд распределения (для дискретных величин); б) функция распределения; в) кривая распределения (для непрерывных величин).
Простейшей формой является ряд распределения, который представляет собой таблицу значений случайных величин и соответствующих им частот.
Рис. 2
Рис. 1
График нормального закона распределения изображен на рис.1. Кривая симметрична относительно прямой , так как отклонения случайной величины вправо и влево от áхñ равновероятны. При х®±¥ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Форма кривой распределения зависит от величины среднего квадратического отклонения рис.2. Максимальное значение функции распределения вероятности принимает при х=áхñ вид
(6)
Совокупность всех значений случайной величины называется простым статистическим рядом. Так как простой статистический ряд оказывается большим, его преобразуют в статистический ряд. Для этого весь диапазон изменения случайной величины делят на несколько равных интервалов и для каждого подсчитывают число mi значений случайной величины, попавших в этот интервал. После этого вычисляют частоту случайной величины для каждого интервала Dхi и среднее значение случайной величины в каждом интервале áхiñ.
По статистическому ряду строится гистограмма, для чего по оси абсцисс откладывают интервалы, являющимися основаниями прямоугольников. Высота которых равна рис.3.
Рис. 3
Эту функцию можно представить в виде
(8)
где
Значения функции приведены в таблице
Учебные задачи
Исходные данные для выполнения лабораторной работы
-
Измерение массы 50 пациентов дали следующие результаты в кг:
90, 45, 54, 47, 59, 80, 83, 84, 79, 72, 67, 62, 60, 65, 70, 83, 80, 78, 74, 65, 64, 62, 69, 74, 78, 70, 79, 75, 60, 69, 75, 70, 62, 67, 72, 74, 69, 78, 67, 69, 72, 65, 74, 90, 69, 70, 74, 65, 74, 75.
-
Измерение роста 50 пациентов дали следующие результаты в см:
147, 151, 154, 155, 156, 158, 160, 161, 173, 169, 168, 163, 164, 166, 167, 173, 176, 177, 179, 183, 176, 173, 183, 172, 169, 168, 167, 169, 172, 173, 176, 155, 156, 160, 163, 161, 164, 166, 167, 168, 169, 168, 169, 172, 160, 163, 164, 161, 166, 173.
Задание 1. Математическая обработка экспериментальных данных
-
Задан простой статистический ряд (каждый студент получает отдельное задание).
-
Данные статистического ряда занести в таблицу 1.
Ряд, в котором х располагаются в порядке измерения, называется простым статистическим рядом.
-
Построить вариационный ряд. Для этого сгруппировать варианты в порядке возрастания и указать их частоту повторения mi (число вариант одного значения).
-
Вычислить вероятность каждой серии хi по формуле ,
где n - общее число вариант (50),
mi - число одинаковых вариант.
Данные занести в таблицу 2
-
Найти математическое ожидание (среднее) по формуле:
-
Найти дисперсию D(x) по формуле
-
Найти среднее квадратичное отклонение по формуле:
Данные п.5, 6, 7 занести в таблицу 2
-
Конечный результат записать в виде:
для доверительной вероятности 0,68
для доверительной вероятности 0,95
для доверительной вероятности 0,99
Задание 2. Построение гистограммы и полигона.
-
Разбить вариационный ряд на 9 классов с одинаковыми интервалами.
-
Найти ширину класса (шаг интервала) по формуле:
где xmax - максимальное значение варианты,
xmin - минимальное значение варианты.
-
Указать границы каждого класса. Данные занести в таблицу 3.
Например: рост группы людей колеблется в пределах от 149 см до 185 см. хmax=185 см. xmin=149 см.
Ширина класса
Границы классов: 149-153, 153-157, 157-161 и т.д.
Для того, чтобы конец каждого класса не попадал в следующий класс, границу каждого класса надо уменьшить на 1%, тогда границы классов будут условно выглядеть так: 149-152,9; 153-156; 157-160,9 и т.д.
-
Найти середину каждого класса, при этом учитывать истинные границы, а не условные.
Например: границы первого класса 149-153. Середину класса определить по формуле: см
где xmin - минимальное значение варианты класса,
Dх - ширина класса.
-
Подсчитать абсолютную частоту каждого класса m¢i , т.е. число вариант , попадающих в данный класс. Данные п. 3, 4, 5 занести в протокол - таблица 3.
-
Вычислить вероятность Р¢i для каждого класса по формуле:
, где m¢i - абсолютная частота класса, n - общее число вариант
Данные занести в таблицу 3
-
Построить гистограмму. Для этого по оси абсцисс отложить интервал Dхi, а по оси ординат вероятности для каждого класса Р¢i. Гистограмма является графическим изображением вариационного ряда.
-
Отметить на графике середины каждого класса, провести ординаты до пересечения с верхними сторонами столбиков гистограммы. Построить полигон, соединив середины сторон всех столбиков гистограммы.
-
Сделать вывод о соответствии полигона с кривой нормального распределения.
Таблица 1
№ |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17 ... 22 ... 35 ... 40 ... 50 |
х |
|
Таблица 2
№ |
хi |
mi |
xiPi |
||||
1 2 3 . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3
№ |
Границы классов хmax-xmin |
Середина класса |
Абсолютная частота класса m¢i |
Вероятность |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
|
|
|
|
|
Вывод:
-
Что называется статистической вероятностью события?
-
Запишите формулы для определения математического ожидания и дисперсии случайной величины.
-
Перечислите способы задания закона распределения случайной величины.
-
Запишите функцию, соответствующую нормальному закону распределения случайной величины.
-
Укажите основные особенности нормального закона распределения случайной величины.
-
Укажите основные этапы построения гистограммы.
-
Как зависит форма кривой распределения от дисперсии случайной величины?