- •Министерство транспорта России
- •Оглавление.
- •Введение.
- •Краткая теория измерений и вычислений. Основные понятия.
- •Лабораторная работа n1. Изучение законов кинематики и динамики поступательного движения и определение ускорения свободного падения на машине Атвуда. Теория.
- •Эксперимент.
- •Лабораторная работа n2. Изучение основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека. Теория.
- •Лабораторная работа n3. Определение момента инерции маятника Обербека. Теория.
- •Лабораторная работа n4.© Изучение законов сухого трения и определение коэффициентов трения скольжения и качения. Теория.
- •Эксперимент.
- •Порядок выполнения работы.
- •Лабораторная работа n5. Изучение законов сохранения при соударении шаров. Теория.
- •Порядок выполнения работы.
- •Лабораторная работа n6.© Определение момента инерции колец с помощью маятника Максвелла и проверка закона сохранения энергии. Теория.
- •1. Момент инерции кольца (обода) (рис. 1).
- •2. Момент инерции маятника Максвелла.
- •3. Задача о движении маятника Максвелла (рис. 2).
- •4. Опытное определение момента инерции мятника и колец.
- •Лабораторная работа № 8 Изучение гироскопического эффекта и определение момента инерции гироскопа. Теория.
- •1. Моменты силы, инерции и количества движения.
- •2. Момент инерции. Главные оси вращения.
- •3. Гироскоп (волчок).
- •Лабораторная работа n9. Изучение гармонического движения и определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Теория.
- •Лабораторная работа n10. Изучение крутильных колебаний и определение скорости пули. Теория.
- •Эксперимент.
- •Лабораторная работа n12. Определение показателя адиабаты для воздуха методом Клемана-Дезорма. Теория.
- •Эксперимент.
Краткая теория измерений и вычислений. Основные понятия.
Измерить какую-либо физическую величину – это значит сравнить её с такой же величиной, принятой за единицу.
Процесс измерения и обработки результатов всегда связан с ошибками (погрешностями). Причины появления погрешностей следующие:
несовершенство методов измерений и методики работы в целом;
неточность измерительных приборов;
несовершенство наших органов чувств;
небрежность в работе при снятии показаний;
влияние внешних факторов и ряд других причин.
Причём одни из перечисленных причин дают систематическую ошибку, другие же приводят к случайным ошибкам (погрешностям).
Ввиду сказанного необходимо уметь оценивать возможные ошибки при измерениях, уметь правильно обрабатывать результаты измерений и вычислений. Для этого мы будем использовать в работе следующие понятия:
= xист– xизм – погрешность измерения;
x|| = |xист– xизм| – граница погрешности, илиабсолютная погрешность;
xист= xизм x – так записывается результат, например
l = 1001 (см), m = 521 (гр).
Такая запись означает, что цифры 1, 0, 0 и 5, 2 – это верные цифры. Если в процессе измерения у нас получилось, например, число 52,46 0,06, то последняя цифра 6 является сомнительной и подлежит удалению:
(52,46 + 0,04) (0,06 + 0,04) = 52,50,1.
В физике приходится иметь дело, как правило, с числами, запись которых возможна лишь в стандартном виде, например:
(6,023 0,001).1026 (молекул в киломоле вещества).
Качество измерения оценивает т. н. относительная погрешность:
= /xизм –
а точнее её граница
= x/xизм || = ||/xизм.
И чем больше разрядов с верными цифрами в числе, тем меньше процент относительной погрешности, например
= 0,1/52,5 . 100% = 0,2% и= 1/52. 100% = 2%.
Определение погрешностей при прямых измерениях.
Измерения могут быть прямыми и косвенными. В ходе прямых измерений сразу же определяется и абсолютная погрешность. Так, если измерительный прибор имеет шкалу, то x полагается равной целому делению шкалы, чтобы учесть все причины погрешностей.
Электроизмерительные приборы имеют шкалу, однако им присваивается класс точности
= x/xпред. 100%,
поэтому x =. xпр/100%. Допустим вольтметр с пределом измерения 12 (В) и классом точности 2,5% показал в одном случае U1= 2 (В), а во втором случае U2= 11 (В). Абсолютная погрешность вольтметра составляет
U = . Uпр/100% = 2,5%. 12/100% = 0,3 (В).
Результаты измерения выглядят так:
U1= 20,3 (В) и U2= 110.3 (В).
Качество полученных результатов явно разное:
1=U/Uизм= 0,3/2. 100% = 15% и2=U/Uизм= 0,3/11. 100% = 3%.
Измеряя время секундомером, мы должны повторить измерение несколько раз, а затем усреднить результат и найти среднее же значение абсолютной погрешности:
tср = t1+t2+…+tn / n = ti / n
и
tср = t1+t2+…+tn / n = ti / n,
где ti=tср–ti.
Приведённые примеры не охватывают все возможные ситуации, они лишь подсказывают нам, как мы должны проводить прямые измерения. Причём наличие ошибки х определяет точность, с которой имеет смысл производить запись величины хизм.
Определение погрешностей при косвенных измерениях.
Когда искомая величина отыскивается косвенным образом, погрешность и качество измерения находятся следующим образом. Из курса высшей математики известно, что приращение функции y=f(x) равно производной этой функции умноженной на приращение аргумента (бесконечно малым слагаемым пренебрегаем):
y=f/(x)x. (1)
Относительную погрешность находим обычным способом:
у=у/уизм =f/(x)/уизмx. (2)
Пусть искомая величина зависит от нескольких переменных, т. е.
f(М) =f(x,y,z,…). (3)
Тогда полное приращение функции, соответствующее приращениям х,у,у, и т. д., переменныхx,y,z,…, представляет собой функцию
f(М) = f(x+x, y+y, z+z,…) – f(x, y, z,…). (4)
В курсе высшей математики доказывается, что полное приращение функции многих переменных равно сумме произведений её частных производных и приращений соответствующих аргументов, а именно:
f=fх/x+fу/у +fz/z+… (5)
Это выражение и определяет абсолютную погрешность искомой величины. Поделив (5) на (3), найдём относительную погрешность величины (3):
= f/f(x,y,z,…) = (fх/x+fу/у +fz/z+)/f(x,y,z,…). (6)
Допустим, что мы изучаем основной закон динамики вращательного движения:
= FR/mr2.
Ускорение вращающегося тела зависит от четырёх величин. Соответственно приращение ускорения можно представить в виде
= (FR/mr2)/F F + (FR/mr2)/R R + (FR/mr2)/m m + (FR/mr2)/r r =
= (R/mr2) F + (F/mr2) R + (– FR/m2r2) m + (– 2FR/mr3) r.
Поделив последнее соотношение на =FR/mr2и учтя, что абсолютная погрешность равна модулю приращения, найдём относительную погрешность для:
= / = F/F + R/R + m/m + 2r/r = F + R + m + 2r.
Приведённый пример показывает, что в ходе исследовательской работы необходимо провести прямые измерения всех величин, входящих в формулу искомой величины, оценив абсолютную и относительную погрешность каждой. Затем находится относительная и абсолютная погрешности искомой величины. Для упрощения данной работы можно пользоваться следующей таблицей:
№ п/п |
Математическая операция (функция) |
Погрешность | |
Абсолютная Х = x . X/100% = |
Относительная x=Х/Хизм . 100% = | ||
1 |
Х = аxm/n |
m/n. аxm/n - 1 . х |
m/n. x |
2 |
X=sinx |
cosx . х |
ctgx. х |
3 |
X=cosx |
sinx . х |
tgx. х |
4 |
X = tgx |
х/cos2x |
2х/sin2x |
5 |
X = ctgx |
х/sin2x |
2х/sin2x |
6 |
Х = х1+ х2+ |
х1+х2+ |
х1+х2+ / х1+ х2+ |
7 |
Х = х1– х2 |
х1+х2+ |
х1+х2+ / х1– х2 |
8 |
Х = х1.х2 |
х2 . х1+ х1 . х2 |
х1/х1+х2/х2 |
9 |
Х =х1.х2.х3 |
(x1 +x2 +x3). х1.х2.х3 |
x1 +x2 +x3 |
10 |
Х = х1/х2 |
(х1/х1+х2/х2). х1/х2 |
x1 +x2 |
11 |
|
|
|
Существует ещё т. н. метод Стьюдена, когда абсолютную погрешность аопределяют по формуле
а=ts Sa,
где ts – коэффициент Стьюдена, определяемый по таблице
N |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
ts |
12,7 |
3,18 |
2,57 |
2,36 |
2,26 |
2,20 |
2,16 |
2,13 |
2,11 |
2,09 |
1,96 |
а Sa =(аср – аi)2 /n(n– 1) – среднеквадратичная ошибка приnизмерениях искомой величины.