VbIshka / Метод.Указания для самостоятельной работы студентов
.pdf
31
Х 2 У 2 Z 2 1;
16 4 36
Х2+У2–Z2= –1;
Х=Z2+У2;
Х2–У2=Z2;
Z=2+Х2+У2;
Х2–У2+Z2+4=0; Х2+У2–Z2=4;
Х2+У2=4Х;
Z=4–У2; Х2–У2=Z;
Z=ХУ;
|
|
|
|
Х |
2 |
Z 4 X 2 |
У 2 |
|
|
||
|
Z 4 |
|
|||
|
|
|
2 Х У 4 |
||
12) У Х |
; |
13) |
Х 0 |
|
; |
Х 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
У 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 0 |
|
|
|
|
|
Z 0
Контрольные вопросы
2У 2
14) Х4Z
Х
У2 Z4 1
0
1.Дайте вывод общего уравнения плоскости в пространстве. Дайте определение вектора нормали
2.Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Найдите расстояние от начала координат до плоскости 2x 3y 4z 30 0
3.Найдите точку пересечения плоскости 2x 8y 16z 16 0 с осью 0z
4.Дайте вывод уравнения прямой: канонические, параметрические, через две точки
5.Общее уравнение прямой линии в пространстве. Переход от общего уравнения прямой к каноническому.
6.Условие параллельности плоскостей. Условие параллельности прямых.
7.Условие перпендикулярности плоскостей, условие перпендикулярности прямых.
8.Условие пересечения прямых в пространстве
9. Какая кривая является сечением поверхности |
x2 |
|
y2 |
|
z 2 |
1 плоскостью а) |
|
|
|
||||
|
4 |
9 |
4 |
|
||
z 4 , б) x 4?
10. Прямая |
пересекает плоскость |
|
только в том случае, когда не равно … |
32
Самостоятельная работа
РГР № 10 (0,278 ЗЕ)
Локальные экстремумы функций нескольких переменных
Срок выполнения 16-17 недели
Содержание работы
1.Запись дифференциалов первого и второго порядков для функции двух и трех переменных
2.Задачи на локальный экстремум
3.Задачи на условный экстремум
4.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области
Литература [1,2,17]
Элементы теории
Вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление функций одной переменной, считая все переменные постоянными, кроме той, по которой ведется дифференцирование.
Первым дифференциалом называют линейную относительно приращений x, y, z часть полного приращения функции, которая для функции двух переменных имеет вид:
df |
f |
dx |
f |
dy , |
|||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
а для функции трех переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
||
df |
f |
dx |
f |
dy |
f |
dz . |
|||
x |
y |
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Производная по направлению задает скорость изменения функции в
|
cos , |
cos , |
cos : |
заданной точке по заданному направлению a |
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
f (M |
|
) |
cos |
f (M |
|
) |
cos |
f (M |
|
) |
cos . |
|
x |
0 |
|
y |
0 |
|
z |
0 |
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Градиентом дифференцируемой функции называют вектор, координатами которого являются частные производные в заданной точке:
|
|
f (M |
|
) |
|
f (M |
|
) |
|
f (M |
|
) |
grad f (M |
0 ) |
x |
0 |
|
, |
y |
0 |
|
, |
z |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная по направлению является проекцией вектора градиента на это направление:
f (M |
0 |
) |
grad f (M |
|
|
|
cos . |
|
|
0 ),a |
grad f (M0 ) |
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
Анализ последнего выражения показывает, что градиент является направлением, скорость изменения функции вдоль которого максимальна.
Касательная плоскость содержит касательные ко всем кривым, проходящим через данную точку поверхности z f (x, y) :
|
|
|
|
|
f (M0 ) (x x ) f (M0 ) ( y y |
) (z z |
) 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Производную сложной функции f (x(t), y(t))находим по правилу |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
df (x(t), y(t) |
f |
|
dx |
|
f dy |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
x dt |
|
y dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а производные сложной функции |
|
|
|
z f (u(x, y), v(x, y)) согласно правилу: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f u |
|
f |
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
u x |
|
|
v |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f u |
|
f |
v . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
u y |
v |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Производную функции, заданной неявно F(x, y) 0, находят согласно |
||||||||||||||||||||||||||||||||
правилу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
f |
/ y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
f / x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для функции f (x, y) |
определены производные второго порядка: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 f |
|
|
f |
2 f |
|
|
|
f |
|
|
|
2 f |
|
|
|
f |
|
2 f |
|
|
f |
|||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
x y |
x |
|
|
y x |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
x |
||||||||||||||||
Для функции f (x, y, z) , кроме указанных выше производных, определены следующие производные второго порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
|
f |
|
2 f |
|
|
f |
2 f |
|
|
f |
|
2 |
f |
|
|
|
f |
|||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|||||
z2 |
|
|
x z |
|
z x |
|
y z |
|
|||||||||||||||
|
z z |
|
|
x |
z |
|
z |
x |
|
|
y |
z |
|||||||||||
2 f |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z y |
|
|
z y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что в точках непрерывности смешанные частные производные равны.
Дифференциалы второго порядка определяются согласно соотношениям:
|
|
|
d 2 f |
2 f |
dx2 |
|
2 f |
dy2 |
2 |
2 |
f |
|
dx dy |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|||||||||
d 2 f |
2 f |
dx2 |
2 |
f |
dy2 |
|
2 |
f |
dz2 |
2 |
|
2 f |
dx dy |
2 |
2 f |
dxdz 2 |
2 |
f |
dydz . |
||||||||
x2 |
y2 |
z2 |
x y |
x z |
y z |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Формула Тейлора в окрестности точки M 0 |
с точностью до бесконечно |
||||||||||||||||||||||||||
малых второго порядка имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (M ) f (M |
|
) df (M |
|
) |
1 |
d 2 f |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Точкой локального экстремума называют точку непрерывности функции M 0 , в окрестности которой приращение функции сохраняет знак:
f 0 - точка локального минимума, f 0 - точка локального максимума.
Необходимые условия существования экстремума записываются следующим образом:
grad f (M0 ) 0 ,
что равносильно системе уравнений для нахождения критических точек функции:
fxfy
|
|
f |
0 |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
f |
0 . |
|
или |
|
|
||
y |
||||
0 |
|
|
||
|
|
f |
0 |
|
|
|
z |
||
|
|
|
Достаточные условия существования экстремума определяются знаком приращения функции, который в свою очередь определяется знаком второго дифференциала:
35
f 0 |
|
d 2 f (M |
0 |
) 0, то точка M |
0 |
является точкой локального |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
минимума, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 0 |
|
d 2 f 0 , то точка |
M |
0 |
является точкой локального максимума. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По своей структуре второй дифференциал является является |
||||||||||||||||||||
квадратичной формой относительно дифференциалов dx, dy, dz и ему |
||||||||||||||||||||
ставится в соответствие матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
2 f |
|
|
2 f |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y x |
|
z x |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
f |
|
|
|
|
2 |
f |
|
|
|
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x y |
|
y2 |
|
|
z y |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
2 f |
|
|
2 f |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x z |
|
y z |
|
z |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной, если положительны все главные диагональные миноры этой матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
2 f |
|
|
|
|
|
|
2 f |
0 , |
|
|
|
x2 |
y x |
|
0 , |
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
2 |
|
2 f |
|
2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
y2 |
|
|
|
|
|
|
2 f |
2 |
f |
|
2 |
f |
|
|
||
|
|
|
x2 |
y x |
|
z x |
|
|
||||
|
|
|
2 f |
|
2 |
f |
|
2 |
f |
|
0 . |
|
3 |
x y |
y2 |
|
y z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 f |
|
2 |
f |
|
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
x z |
y z |
|
z2 |
|
|
||||
(условия существования локального минимума), и является отрицательно
определенной при условии 1 0, |
2 0, |
3 0 ( условия |
существования локального максимума). |
|
|
Для нахождения точек условного экстремума исследуют на обычный экстремум функцию Лагранжа
L(x, y) f (x, y) (x, y) .
Здесь (x, y) - условие связи, а - множитель Лагранжа. При этом достаточные условия существования экстремума выражаются через знак второго дифференциала d 2 L 0 (условие минимума), d 2 L 0 - условие максимума. Знак второго дифференциала можно анализировать непосредственно при наличии условий связи.
Задачи
1.Запишите производные второго порядка для указанной функции, в указанной точке.
36
Запишите второй дифференциал. Запишите матрицу, соответствующую d2f.
Запишите разложение по формуле Тейлора в указанной точке:
а) |
f ln( X 2 У ); |
M |
0 |
(0;1); |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
f |
|
Z |
; |
M 0 (1;1;1); |
|
||
|
|
|
||||||
X 2 |
У 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Исследуйте функцию на локальный экстремум: |
||||||||
а) f X 3 2У 3 3Х 6У; |
б) f 3X 3 У 2 Z 2 6XУ 2Z 1; |
|||||||
в) f 8 6Х 4У 2Z X 2 У 2 Z 2 |
|
|||||||
3.На эллипсоиде Х2+2У2+4Z2=8 найти точку, наиболее удалённую от М0(0;0;3).
4.Метод наименьших квадратов.
По точкам, полученным в некотором эксперименте, требуется провести прямую линию таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от предполагаемой прямой была наименьшей.
у=Ах+В – искомая функция;
А,В – искомые коэффициенты. n
Функция S( A, B) уi ( Ахi В) 2 должна достигать минимума при
1
выбранных А,В.
Исследуйте функцию S(A,B) на локальный экстремум. Получите выражение для А, В, соответствующие экстремуму. Постройте по методу наименьших квадратов прямую по точкам:
Хi |
Уi |
2 |
2 |
4 |
2 |
6 |
5 |
7 |
4 |
9 |
8 |
37
Контрольные вопросы
1.Дайте определение частной производной первого порядка и производной по направлению. Какова взаимосвязь между ними?
2.Дайте определение градиента скалярного поля. Какова взаимосвязь между градиентом и производной по направлению?
3.Найдите направление наибыстрейшего возрастания функции
U (2x2 |
y 4z)3 в точке M (1, 2, 1) . Какова скорость изменения |
функции в этом направлении?
4.Запишите общее выражение для дифференциала первого порядка функции двух и трех переменных
5. Найдите смешанные производные для функции U |
x |
|
y |
|
xy |
. |
|
|
|
||||
|
y |
|
x |
|
z 2 |
|
6.Частная производная функции 
по переменной 
в точке 
равна…
7.Частная производная функции 
по переменной 
в точке 
равна…
8.Частная производная функции 
по переменной 
в точке 
равна…
9.Линиями уровня функции 
являются …
Ответы: Задача 2.
а) (-1;1) – максимум; (1;-1) – минимум;
б) (-3;2;-1) – максимум; в) (2; -6; 1) – минимум;
Задача 3.
Х 0; =-1; М1(2;0;-1); М2(-2;0;-1); d2L 0;
Задача 4 и примечания к ней
У=0,8Х–0,4;
|
|
|
|
38 |
~ ~ |
n |
~ |
~ |
|
|
|
|||
S( A, B) yk ( Axk B) 2 |
принимает наименьшее значение. |
|||
|
k 1 |
|
|
|
Записываем необходимые условия существования экстремума для функции |
||||
|
|
|
~ |
~ |
двух переменных A, B , приравнивая к нулю частные производные: |
||||
|
S |
n |
~ |
~ |
|
2 yk |
|||
~ |
( Axk B) xk 0 |
|||
|
A |
k 1 |
|
|
|
S |
n |
|
~ |
|
~ |
2 yk ( Axk B) 0 |
||
|
B |
k 1 |
|
. |
|
|
|
||
В результате для нахождения оценок получаем систему уравнений:
~ |
n |
2 |
~ |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A xk |
B xk |
xk yk |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k 1 |
|
k 1 |
k 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
n |
|
~ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A xk |
Bn yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение которой имеет вид : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n xk yk xk yk |
|
|
|
|
|
|||||||
~ |
|
|
~ |
|
yk |
~ |
xk |
~ |
||||||
|
k 1 |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
|
|
|
|
, |
B |
|
k 1 |
A |
k 1 |
y Ax . |
|
|
n |
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n xk2 |
( xk )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
7.1. Основная учебная литература
1.Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник для вузов [текст] / В. С.
Шипачев. – М.: Высш. школа, 2007. – 343 с.
2.Алексеев Д. В. Конспекты по общему курсу математики: учеб. пособие для студентов инженерно-технических специальностей [электронный ресурс] /
Д.В. Алексеев; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2008.
3.Казунина, Г.А. Математика: элементы теории функций комплексного переменного:
учеб. пособие для вузов [текст] / Г.А. Казунина, Г.А. Липина, Л.В. Пинчина; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2003. – 104 с.
4.Казунина, Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г.А. Казунина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009.
5.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с.
7.2. Дополнительная учебная литература, книги издательства «Лань»
6.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие для вузов [текст] / Г.Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2005. – 423 с.
7.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов [текст] / Д. В. Клетеник.– СПб.: Профессия, 2005. – 200с.
8.Петрушко, И. М. Курс высшей математики: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление. Лекции и практикум [электронный ресурс] / И. М. Петрушко .– СПб.: Лань, 2009. – 288 с.
9.Петрушко, И. М. Курс высшей математики: интегральное исчисление,
функции некольких переменных, дифференциальные уравнения. Лекции и практикум [эектронный ресурс] / И. М. Петрушко .– СПб.: Лань, 2008. – 608 с.
10.Петрушко, И. М. Курс высшей математики: кратные интегралы, векторный анализ.
Лекции и практикум [электронный ресурс] / И. М. Петрушко .– СПб.: Лань, 2008. – 320 с.
11.Петрушко, И. М. Курс высшей математики: теория функций комплексной переменной. Лекции и практикум [электронный ресурс] / И. М. Петрушко, А.Г.
Елисеев, В.И. Качалов, С.Ф. Кудрин и др. – СПб.: Лань, 2010. – 368 с.
12.Курс высшей математики: теория вероятностей. Лекции и практикум [электронный ресурс] /под ред. И. М. Петрушко . – СПб.: Лань, 2008. – 352 с.
13.Волков, Е.А. Численные методы [электронный ресурс] / Е.А. Волков. – СПб.: Лань,
40
2008. – 256 с.
14.Алексеев, Д. В. Элементарные аналитические методы и свойства основных элементарных функций: учеб. пособие для вузов [текст] / Д. В. Алексеев, Г. А.
Казунина, Г. В. Алексеевская; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 1998. – 92 с.
15.Сборник задач по математике для втузов ч.3: теория вероятностей и математическая статистика [текст] / под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990, 425 с.
16.Сборник задач по математике для втузов ч.2: специальные разделы анализа [текст] /
под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990, 321 с.
17.Сборник задач по математике для втузов под ред. А. В. Ефимова ч.1: линейная алгебра и основы математического анализа [текст] / М.: Наука, 1990, 461 с.
18.Казунина, Г.А. Математика: элементы математической статистики с применением
Microsoft Excel: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Л.
В. Пинчина ; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009.