VbIshka / Метод.Указания для самостоятельной работы студентов

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) y(x) 3 x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

arcsin(4x)dx

arctg(3x)dx

ln 2 xdx

e2x cos(3x)dx

ln(1 x2 )dx

arcsin(x

)

1 x

arctg( x

)

arcsin(

1 x2

7. Найти интегралы, комбинируя рассмотренные выше элементарные приемы:

x arccos(x2 )dx
		(8x 11)		dx


		5 2x x2
	sin4 (x)
			dx
	cos6 (x)

exp(x2 ln(x))dx

(

cos(x))2 dx

sin(x)

(x2 x 1)

(1 x)

(x2 1)3

1 ln2 (1 x)

cos(

x )

1 4

8. Проинтегрировать дробно-рациональные дроби:

2x2 41x 91
			dx ,
(x 1)(x 3)(x 4)
(x 2	1)
		dx
x(x 2	4)

x 2

(x 2)2 (x 4)2 dx

x9 dx x4 1

9. Проинтегрировать тригонометрические функции:

sin3 (x) cos4 (x) dx

cos4 (x) dx

tg5 (x) dx

ctg4 (x) dx

cos3 (x)

sin2 (x) cos2 (x)

sin5 (x)

1 cos(x)

sin(x) cos(x)

sin3 ( x)

10. Проинтегрировать гиперболические функции:

(sh(x) ch(x))

(x)

ch(x)

11. Найти интегралы, избавляясь от квадратных корней при помощи тригонометрических или гиперболических подстановок:

x 4

x2 4x 3 dx

x 2x x2 dx

x 2

x2 )3

12. Найти интегралы, комбинируя различные приемы:

earccos xdx

x)3

x x 6 1

arccos( x)

x arcsin( x)

arctgxdx

1 x

РГР № 4 (0,278 ЗЕ)

Применение определенного интеграла к решению задач геометрии и физики

Срок выполнения 5-8 недели

Содержание работы

1.Вычисление площади плоской фигуры.

2.Вычисление объема тела вращения.

3.Вычисление длины дуги.

4.Вычисление работы, давления, момента инерции.

5.Оценки определенных интегралов. Приближенное вычисление определенных интегралов

6.Несобственные интегралы

7.Контрольные вопросы

Литература [1,2,9,17]

Вычислить определенные интегралы

/ 3

x2 3x

/ 2

а)

(tgx)4 dx ,

б)

dx , в)

, г)

(x 1)(x2 1)

cos x

(1 x2 )3

/ 6

/ 3

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:

а) y 4 x2 , x2 2x y 0 ,

x2 2x y 0

б) y arctgx, y arcctgx, x 3

в) y x 4; y 4 x; x 8

2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями, вокруг заданной оси:

y a

x y a,

a 0

вокруг оси 0 y

y 4 x2 ,

y 0 вокруг оси

x 3

3. Найдите длину дуги кривой:

x 1/ 4,

x x2 ,

y 2 arcsin

а). Определите работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости плотностииз емкости в форме полушара радиуса R

б). Определите давление жидкости плотности на боковые стенки цилиндрического сосуда цилиндрической формы радиуса R

в). Найдите момент инерции прямоугольного треугольника с катетами a и b при вращении треугольника вокруг одного из катетов

5. Приближенное вычисление определенных интегралов

а) Оценить интеграл exp( x2 )dx

б) Найти приближенно при n 6 (вычислять с четырьмя знаками после запятой) интеграл по формуле прямоугольников, по формуле трапеций, по формуле Симпсона

1 sin x

x dx

7.Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость

	x3dx				dx						x2dx
			,					,				,
	1 x	8				4
		8				4				3 4 x10
1				e2	x ln		x		1	3 4 x10

x 3

arctg

x ln3 x

x sin x

1 x

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия « определенный интеграл». Условие существования определенного интеграла (интегрируемость функции)

2.Геометрический смысл определенного интеграла

3.Интеграл с переменным верхним пределом.

4.Формула Ньютона-Лейбница

5.Оценка определенного интеграла. Формула среднего значения

6.Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

7.Несобственный интеграл от неограниченных функций

8.Признак сходимости несобственных интегралов

9.Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона

10.На рисунке изображен график функции и даны числа -

площади указанных фигур. Тогда интеграл равен …

11.Если и то интеграл равен …

12.Ненулевая функция является нечетной на отрезке .

Тогда равен…

13.Определенный интеграл равен…

14.Определенный интеграл равен…

15.Мера плоского множества, изображенного на рис. равна

Самостоятельная работа

РГР № 5 (0,278 ЗЕ)

Степенные ряды и их применение

Срок выполнения 5-8 недели

Содержание работы

1.Область сходимости степенного ряда

2.Таблица разложения в степенные ряды основных элементарных функций (с выводом)

3.Техника разложения функций в степенной ряд (ряд Маклорена, ряд Тейлора)

4.Применение степенных рядов к вычислению пределов (раскрытию неопределенностей)

5.Применение степенных к вычислению асимптот графиков функций

6.Применение степенных рядов к приближенному вычислению интегралов

Литература [1,2, 14,16]

1.Для функциональных рядов найдите область сходимости, радиус сходимости, исследуйте поведение ряда на границах области сходимости:

( x 4)

А)

, Б) 5

n 1

n 0

В) Количество целых чисел, принадлежащих интервалу

сходимости степенного ряда равно …

2. Найдите суммы рядов и укажите область сходимости:

x 3

x 2

n 0

n 1

n 0

3.Получить разложения в ряд Маклорена для основных элементарных функций: экспонента, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические,

обратные гиперболические функции

4.Используя таблицу разложений функций в ряд Маклорена, разложить функцию в ряд с заданной точностью о(xn ) . Для бесконечно малых указать степенной порядок малости:


2x sin 2x ; о(x7 )	chx cosx 2 ;	о(x8 )
exp( 2x 1); о(x4 )	arctgx arcsin x;	о(x7 )

ln(12 x x2 ); о(x5 )	3 8 x9 2; о(x11)

Разложить функцию по формуле Тейлора вблизи указанной точки a с

требуемой точностью o((x a)n ) :

exp(x2 2x), a 1,

o((x 1)5 )

x 2

, a 2,

o((x 2)5 )

3 5 4x x2

Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции

при больших значениях переменной (найти асимптоты графика

функции наклонные или горизонтальные):

y 3 x3 x2

y 1/arctg(1/ x)

y 4 x4 4x3

y x3 arcsin(1/ x2 )

y (x 2) exp( 1/ x)

y x

x2 2x

7.Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции

вокрестности ее нулей и точек разрыва:

4 x 2x2

(x 1)(x 1)2

x x 1

(x 2)2

y x2 2x 1

x3 2x2

y ctg3x

(x 1)3

y 1/ ln (1 x6 )

(x 2)2

(x 1)2

Раскрыть неопределенности:

x 4 2x 2 1 x 4 2x 2 1,

3 x3 3x 2 4x 3 x3 3x 2 4,

sin(x) tg( x)

x 0

arctg( x) arcsin( x)

; x 0

x 0

x sin(x)

xarctgx

arctg

x 1

x ln(1

) ; x

;

1 cos


		1
arcsin x
arcsin x			x2	; x 0


	x

		2	x
			arctgx ; x
			arctgx ; x

9.Написать формулы для приближенного вычисления интегралов при

помощи	разложения		функций в		степенной ряд. Указать область
сходимости ряда.
x		x	sin t		x	ln(1 t)
exp( t2 )dt				dt			dt
exp( t2 )dt			t	dt		t	dt
0		0	t		0	t
9.

Контрольные вопросы

1.Числовой ряд. Определение суммы ряда

2.Ряд из членов геометрической прогрессии. Условия сходимости. Приведите примеры.

3.Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд

4.Критерий сходимости числового ряда с неотрицательными членами

5.Достаточные условия сходимости ряда. Признак сравнения

6.Достаточные условия сходимости ряда. Признак Даламбера

7.Достаточные условия сходимости ряда. Признак радикальный Коши

8.Достаточные условия сходимости ряда. Интегральный признак. Условия сходимости

		1
	ряда	1
	ряда	n
	n 1	n
9.	Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
10.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции y ln(1 x)
11.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции y arctgx
						1
12.	4.Получите разложение в ряд Маклорена для функции y
12.	4.Получите разложение в ряд Маклорена для функции y							1 x
13.	Чему равен коэффициент a разложения функции y 3x4 2x3 1 в ряд Тейлора
		5
	по степеням (x 4)?
				( x 3)		n
14.	Интервал сходимости ряда			( x 3)			равен (a,b) . Сумма a b ?
14.	Интервал сходимости ряда						равен (a,b) . Сумма a b ?
			n 1	5n
				( x 1)	n
15.	Интервал сходимости ряда			( x 1)			равен (a,b) . Сумма a b ?
15.	Интервал сходимости ряда			n			равен (a,b) . Сумма a b ?
			n 1	n
			n 1
16.	Чему равна производная порядка n 20 в точке x 0 функции y ln(1 x)?

17.Как определить степенной порядок малости при помощи разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ? Приведите примеры.

18.Как можно определить степенной порядок роста бесконечно большой в окрестности точки разрыва 2 рода?

19.Что называют наклонной (горизонтальной) асимптотой графика функции? Какие способы нахождения асимптот Вы знаете? Как использовать теорему Тейлора для нахождения асимптот? Приведите примеры.

20.Известны первые три члена числовой последовательности: , , . Тогда формула общего члена этой последовательности имеет вид …

Самостоятельная работа

РГР № 6 (0,278 ЗЕ)

Применение производной к исследованию функций

Срок выполнения 9-12 неделя

Содержание работы

1.Полное исследование функции и построение графика

2.Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя

3.Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции Литература [1,2,8,17]

1.Провести полное исследование и построить графики функций (область определения, четность, нули функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты, поведение при больших значениях аргумента – наклонные и горизонтальные асимптоты, локальные экстремумы, точки перегиба) (построить 2 функции по заданию преподавателя):

y	8(x 1)	y	x2 x 1	y x / 2 arctg( x)
	(x 1)2		x2 2x 1

3x 2

y 1 xe x

y x ln

x2 1

2x2

y 3

x2 (x 6) ,

y (x 2) exp( 1 / x) ,

(x 1)2

x2 2x

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

3. Написать приближенные формулы, описывающие поведение функций вблизи точек локальных экстремумов и точек перегиба

exp( x2 / 2a2 ) ,		x

	x2	a2
	x2	a2

4. Раскрыть неопределенности, используя правило Лопиталя:

ln x	; x

x
ctgx 1		;	x

sin 4x			4
x2 ln x;			x 0
(sin x)x ;			x 0

	x3 3x	; x
	ex	; x
	ex
x ln 2 x; x 0
(xx 1) ln x;			x 0
			1
	3x2 3x x			;	x

5. Решите задачи (две задачи по выбору)

а) Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку A(1; 2) и

отсекающей от координатных осей треугольник наименьшей площади

( x 0, y 0) .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt