VbIshka / Метод.Указания для самостоятельной работы студентов
.pdf21
б) Объем правильной треугольной призмы V . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность была наименьшей?
в) В треугольник с основанием b и высотой h вписать прямоугольник с наименьшим периметром.
г) В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема
д) Около заданного шара описать конус наименьшего объема
Контрольные вопросы
|
Сколько асимптот имеет график функции y |
x 3 |
y |
|
x3 |
|||
1. |
|
, |
|
|
, |
|||
x2 (x 4) |
x2 |
4 |
||||||
|
y x ln x ? |
|
|
|
|
|
||
2. |
Дайте определение точки локального экстремума |
|||||||
|
функции |
|
|
|
|
|
||
3. |
Сформулируйте необходимые условия |
|
|
|||||
|
существования экстремума |
|
|
|
|
|
||
4. |
Сформулируйте достаточные условия |
|
|
|
|
|||
|
существования экстремума |
|
|
|
|
|
||
5. |
Дайте определение точки перегиба графика |
|
|
|||||
|
функции и сформулируйте необходимые условия его существования |
|
|
|||||
Самостоятельная работа
РГР № 7 (0,139 ЗЕ)
Системы линейных уравнений
Срок выполнения 9-12 неделя
22
Содержание работы
1.Обратная матрица.
2.Решение матричных уравнений.
3.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
4.Решение систем линейных уравнений методами обратной матрицы, Крамера, Гаусса
Литература [1,7,17]
1. Дайте определение обратной матрицы A 1 и сформулируйте условия
ее существования. Для указанных матриц проверьте выполнение условий
существования обратной матрицы и, если обратная матрица существует,
то найдите ее:
|
1 |
2 |
|
cos |
sin |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
4 |
6 |
8 |
|
, |
|
1 |
0 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
4 |
|
sin |
|
|
|
1 |
6 |
7 |
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
cos |
|
sin |
|
|
15 |
1 |
3 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3/ 2 |
|
|
sin |
|
cos |
|
29 |
|
5 |
10 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Выполняя действия над матрицами, найдите неизвестную матрицу X из |
||||||||||||||||||
указанных уравнений: |
AX B |
|
|
X A 1B |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
XA B |
|
X BA 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
3 |
5 |
|
|
3 2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
X |
|
, b) |
X |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
5 |
9 |
|
|
5 4 |
|
5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) |
Найдите |
|
матрицу |
|
|
X из |
|
уравнения: |
AXB C , |
где |
||||||||
3 |
1 |
, B |
5 6 |
|
, C |
14 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 8 |
|
|
9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
3 |
|
|
4 2 |
1 |
|
6 |
|
5 |
|||
d) XA B C . |
Здесь |
A |
|
2 |
1 |
1 |
|
, |
3 |
||||||||
|
|
B |
|
|
, |
C |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 4 3 |
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
9 / 2 |
15 / 2 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, d) |
|
|
|
Ответы: а) |
2 |
3 |
, |
b) |
5 |
4 |
, c) |
3 |
4 |
|
9 |
14 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Дайте определение понятия ранг матрицы. Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований:
|
2 |
|
5 |
|
|
|
2 6 |
|
|
3 |
6 |
8 |
|
|
|
|
1 |
5 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
в) |
|
0 |
4 6 |
|
, |
г) |
|
2 |
6 |
0 |
|
, |
|||||||
а) |
|
, |
|
б) |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
|
|
|
6 18 |
|
|
|
6 |
12 |
16 |
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
3 |
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Для каждой из указанных ниже систем
методом элементарных преобразований определите ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы,
на основании теоремы Кронекера-Капелли сделайте вывод о совместности системы (определите число решений системы),
найдите решения системы, при этом, если решений множество, то укажите число базисных и свободных переменных
2x |
y |
|
5 |
9x1 |
3x2 |
5x3 |
6x4 |
4 |
|||
x |
|
3z |
16 , |
6x |
2x |
2 |
3x |
4x |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||
|
5y |
z |
10 |
|
|
x2 |
3x3 |
14x4 |
8 |
||
|
3x1 |
||||||||||
3x1 |
5x2 |
2x3 |
4x4 |
2 |
2x1 |
3x2 |
11x3 |
5x4 |
2 |
||||||||
|
|
x2 |
5x3 |
2x4 |
1 |
||||||||||||
|
4x2 |
x3 |
3x4 |
5 , |
x1 |
||||||||||||
7x1 |
2x |
x |
|
3x |
|
2x |
|
3 |
|||||||||
5x |
7x |
|
4x |
|
6x |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
x |
|
x |
|
3x |
|
|
4x |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
||
24
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: |
|
|
, |
|
13 3t |
, не имеет решений, |
|
0 |
|
. |
|
|
3 |
|
7 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Контрольные вопросы
1.Что такое порядок матрицы?
2.Матрица, стоящая слева имеет 5 столбцов и 3 строки, а матрица, стоящая справа имеет 2 столбца и 8 строк. Можно ли перемножить такие матрицы?
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Является ли матрица |
3 |
0 |
5 |
|
вырожденной? |
|
8 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
4. Разложение определителя 
по третьей строке имеет вид …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) |
2) |
3) |
4) |
5.Сколько решений имеет система линейных уравнений, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3, а число неизвестных равно 5?
6.Справедливо ли утверждение: все уравнения системы линейно независимы и система имеет единственное решение?
25
7. Определитель 
. Тогда определитель матрицы
равен …
7.Операция произведения матриц правильно определена для матричного умножения вида …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) |
2) |
3) |
4) |
5)
Самостоятельная работа
РГР № 8 (0,417 ЗЕ)
Аналитическая геометрия на плоскости
Срок выполнения - 12 неделя (прямая на плоскости -0,139 ЗЕ) - 13 неделя (0,278 ЗЕ)
Содержание работы
1.Векторы. Линейные операции
2.Прямая линия на плоскости
3.Кривые второго порядка
4.Полярная система координат
26
5. Векторная функция скалярного аргумента
Литература [1,7,17]
Векторы. Линейные операции.
1. Векторы 
и 
изображены на рисунке.
Тогда их скалярное произведение |
равно … |
|
|
|
2. По |
координатам |
середин |
сторон |
треугольника |
P( 2, 2), N( 1, 4), M (2, 1) найдите координаты его |
вершин и длины |
|||
сторон.
Ответ: (1, 3), ( 5, 7), (3,1)
3. Найти координаты вектора P(3, 4) относительно косоугольного базиса
|
|
(1; 2) . |
|
|
|
e1 |
(3; 1;) , e2 |
Ответ: P 2e1 |
3e2 |
||
4.Если для двух ненулевых векторов 
выполняется условие
, то это равносильно условию…
5.Если для двух ненулевых векторов 
выполняется условие
, то это равносильно условию…
6.Пусть 
и 
– взаимно перпендикулярные единичные векторы. Тогда 
равно…
27
Прямая линия на плоскости
7.Точка A(2, 5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой линии x 2 y 7 0. Вычислить площадь квадрата.
8.Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого
являются точки A( 3, 1), |
B(7, 5), C(5, 3) . |
9. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей угол 450 с прямой линией y 2x 5.
10.Точка A(5, 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x 7 y 8 0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
11.Кривые второго порядка
а) Постройте кривые и укажите их основные характеристики
(x 1)2 |
( y 2)2 |
|
(x 2)2 |
( y 1)2 |
|
|||||
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
1; |
( y 3)2 4(x 5) |
|
25 |
4 |
4 |
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Установите, какие линии определяются уравнениями и схематично их постройте:
4x2 3y2 8x 12 y 32 0
16x2 9 y2 64x 54 y 161 0
x 14 y2 y
y 16 x2 2x 7
5x2 2
3xy 7 y2 4 0
Примечание. В последнем случае используйте поворот системы координат
на угол |
1 |
|
2B |
|
x x cos y sin |
|
arctg |
согласно соотношениям |
|
||||
|
|
|||||
|
2 |
|
A C |
|
y x sin y cos |
12. Найдите координаты фокуса параболы по координатам ее вершины
A(6, 3) |
и |
уравнению ее директрисы 3x 5y 1 0 . |
Ответ: (9, 8) |
|
|
28
13. На гиперболе x2 / 2 y2 1 найти точку, ближайшую к точке (3; 0)
14.Векторная функция скалярного аргумента. Векторы скорости и ускорения. Кривизна плоской кривой.
|
|
|
а). По уравнению движения r (t) 3t i |
(4t t 2 ) j определите траекторию |
|
движения (годограф), вектор скорости , вектор ускорения, тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускорения для моментов t 0 и t 1.
|
|
sin t |
|
определите траекторию |
б) По уравнению движения r (t) 3cost i |
j |
|||
движения (годограф), вектор скорости, вектор ускорения, тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускорения для моментов t 0 и t 1.
в). Найдите кривизну в вершинах эллипса x2 9 y2 9 в вершинах эллипса.
15.Полярная система координат:
а) Постройте кривые в полярной системе координат:
r cos , |
r 2 cos6 , |
r 1 cos3 , |
r 3 сos4 |
б) Найти площадь фигуры, ограниченной какой-либо кривой, указанной в предыдущем задании
в) Найдите длину дуги кривой 4(1 sin ), |
0, / 6 |
Контрольные вопросы
1.Линейные операции над векторами
2.Векторный базис в пространстве n-измерений. Условия существования базиса.
3.Прямоугольный декартов базис. Координаты вектора в этом базисе. Модуль вектора.
4.Направляющие косинусы. Единичный вектор (орт).
5.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
6.Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
7.Смешанное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
8.Уравнения прямой на плоскости: с направляющим вектором, через две точки, в «отрезках на осях », с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.
9.Канонические уравнения и характеристики кривых второго порядка
29
10.Эксцентриситет эллипса 
равен…
11.Если 
- центр окружности, которая проходит через точку 
, то уравнение этой окружности имеет вид …
Самостоятельная работа
РГР № 9 (0,278 ЗЕ)
Поверхности второго порядка, плоскости и прямые в пространстве
Срок выполнения 13-17 недели
Содержание работы
1.Задачи по линейным объектам в пространстве (плоскости, прямые)
2.Выписать канонические уравнения основных поверхностей второго порядка и схематично их построить
3.По приведенным уравнениям поверхностей описать их свойства и схематично построить поверхности
Литература [1,7,17]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Векторы |
e1 |
, e2 |
, e3 |
образуют |
ортонормированный базис. Найти |
e3 , |
если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1/ |
|
|
|
|
|
(1/ 2; 0; 1/ |
|
|
|
|
|
|
|||||
известны e1 |
2; 0;1/ 2) и e2 |
2) . |
|
|
|
|||||||||||||
2. |
В |
точке |
|
|
|
A 1;4;2 |
приложена |
равнодействующая |
сил |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 (2; 1; 3), |
|
F2 |
(3;2; 1), F3 ( 4;1;3) . |
|
|
Найдите |
вектор |
момента |
|||||||||
|
равнодействующей этих сил относительно точки O(2;3; 1) . Ответ: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( 7;0; 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
При |
каких |
|
значениях |
параметра |
|
векторы |
(1;2 ;1),(1; ;0),(0; ;1) |
||||||||||
компланарны?
30
4.Координаты вершин тетраэдра (2;1; 1) , (3; 0;1) , (2; 1;3) (0; ; 0) , а его объем равен 5. Найти значение неизвестной координаты.
5.Найдите угол между прямыми:
X |
|
У 1 |
|
Z |
|
3Х У 5Z 1 0 |
||
; |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
0 |
||||
1 |
|
|
3 |
|
2 Х 3У 8Z 3 |
|||
3Х У Z 5 0 |
и |
|
|||||||
6. Найдите угол между прямой |
Х У Z 1 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
плоскостью 4Х–8У+Z–3=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найдите точку пересечения прямой |
Х 7 |
|
У 4 |
|
|
Z 5 |
и |
||
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
плоскости 3Х–У+2Z–5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку М (3; 4; 1) перпендикулярно прямой Х=5–t; У=4t; Z= -2+t;
9. Покажите, что прямые |
Х 1 |
|
У 2 |
|
Z 5 |
и Х=7+3t; У=2+2t; Z=1–2t |
|
2 |
|
3 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|||
лежат в одной плоскости и найдите её уравнение
10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямые и найдите расстояние между ними:
Х 2 3t |
|
Х 7 3t |
||
|
|
|
|
4t |
У 1 4t |
; |
У 1 |
||
|
|
|
|
|
Z 2t |
|
2t |
||
|
|
Z 3 |
||
11.Постройте поверхности методом сечений и назовите их
(Х–2)2+(У–2)2+(Z+5)2=16;
Х2+У2+Z2–4Х–2У+2Z–19=0; Х2+У2+Z2+20У=0;
Х 2 У 2 Z 2 1;
9 4 25