Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Метод.Указания для практических занятий

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

430.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

а) проходящей через произвольную точку (a; b) под углом к оси ординат;

б) проходящей через произвольную точку (a; b) параллельно прямой x 5 y 4 ;

в) проходящей через произвольную точку (a; b) перпендикулярно прямой x 5 y 4 ;

г) пересекающей координатные оси в точках (4;0),(0;7) .

д) проходящей через начало координат и точку пересечения прямых

11x 17y 9, 12x 13y 5 .

2. В треугольнике с вершинами A(1;2), B(2; 2), C(6;1) напишите уравнения сторон, высоты CD и медианы BM

3.По координатам смежных вершин A( 3; 1), B(2;2) и точки пересечения диагоналей O(3;0) напишите уравнения сторон параллелограмма

4.Найдите точку, симметричную точке M ( 2; 9) относительно прямой 2x 3y 18 0 .

Ответ: (2;3)

5.Перепишите уравнение прямой линии 2x 4 y 5 0 в нормальном

виде. Найдите направляющие косинусы нормали к прямой и расстояние от начала координат до прямой.

6. Покажите, что прямые линии 3x 4 y 10 0,	3x 4 y 5 0 парал-
лельны и найдите расстояние между ними.
Ответ: 3

Занятие 23. Кривые второго порядка

1.Уравнение Ax2 2Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 описывает окружность радиуса 5 с центром в точке (3;2) . Определить все коэффициенты этого уравнения.

2.Постройте кривые и укажите их основные характеристики

(x 1)2		( y 2)2	1;	( y 3)2		(x 5)2	1;	( y 3)2 2(x 2)
9				4
	16				9

3.Установите, какие линии определяются уравнениями, и схематично постройте эти линии:

5x2 9 y 2 30x 18y 9 0

16x2 9 y2 64x 18y 199 0

16x2 9 y2 144

x 2 y2 12 y 14

y 4x2 8x 7

4.Составьте уравнение окружности , которая имеет центр на прямой

2x y 0

и касается прямых 4x 3y 10 0;

4x 3y 30 0 .

Ответ: ( x 2)2 ( y 4)2 16

Занятие 24. Контрольная работа ©Векторная алгебра и аналитическая геометрия«.

Работа состоит из 5 задач:

1.Действия над матрицами (умножение, обратная матрица), решение систем алгебраических уравнений (методы Крамера, Гаусса, матричный метод)

2.Длина вектора. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.

3.Векторное и смешанное произведения векторов

4.Прямая линия на плоскости. Кривые второго порядка

5.Прямая линия и плоскость в пространстве

Занятие 25. Частные производные первого порядка. Градиент. Производная по направлению.

1. Найдите и схематично постройте область определения функции, дайте её характеристику (связность, замкнутость, ограниченность):

а) f

2 X У 2 4

б) f X ln( X 2У 4);

в) f

;

36 4X 2 9У 2 ;

г) f

ln X ln У

;

д) f

2У

;

Х 2 У 2

1 Х У

2. Найдите уравнение линии уровня (или поверхности уровня) для указанных функций, проходящих через заданные точки. Постройте линию уровня на чертеже вместе с областью определения:

		2 X У 2	4
а)	f			; М 0	(2;2);	б) f X ln( X 2™ 4);	˜ 0 ( 1; 1);
		Х
						f 2

в)	f X 2 У 2 Z 2		при условии			f 0

3.Для указанных функций найти частные производные первого порядка; Записать полный дифференциал первого порядка.

а) f

XУ

;

б) f X 3 ™ 3 3š™

;

в) f

X ( X У )

;

™ 2

У 2

г)

f eX (cosУ Х sin У );

д)

f sin

cos

;

е)

f (1 sin 2 X )LnУ ;

ж)

з)

и) f

;

arctg

;

X 2 У 2 Z 2

к)

f arctg

XУ

;

Z 2

4. Найдите производную указанной функции по данному направлению в

точке М0:

а)

f X 2

У 2 ;

М 0 (2; 1); М 0 М 1 , если М1 (6;2);

Х 2

У 1

Z 1

б) f

X 2

У 2

Z; M 0

(2;1;1) по направлению

;

5. Найдите градиент функции в указанной точке:

а)

f X ln( X 2У 4);

M 0 ( 1; 1);

ХУ

б)

f arctg

;

(0;1;2);

Z 2

в)

;

M 0 (1;2;3);

X 2 У 2

Z 2

6. Найдите нормаль к поверхности и написать уравнение касательной плоскости для указанной функции, в указанной точке:

а) X 2 У 2 Z 2 1 0 в точках пересечения с прямой Х=У=2;

	У
б) Z arctg		;	М 0 (1;1;		)
				4
	Х

Занятие 26. Локальные экстремумы функции двух переменных.

1. Исследуйте функцию на локальный экстремум:

а)	Х	б)	f X	2	У	2	32 ln( ХУ );
а)	f ( X У 2 )е 2 ;	б)	f X		У		32 ln( ХУ );
в)	f Х 2 2У 2 Z 2 2 X 4У 6Z 1;

2. Исследуйте функцию на условный экстремум: Z=6–5X–4У; (Х,У)=Х2-У2–9=0; L=6–5Х–4У+ (Х2-У2–9)

3. Найдите наименьшее m и наибольшее М значения функции в замкнутой ограниченной области:

f=X2+У2–ХУ–Х–У, G: Х+У 3, Х 0, У 0

Ответы:

Задача 1: а) (-2;0) – минимум; б) (4;4); (-4;-4) – минимумы; в) г) (1;-1;3) – минимум.

Задача 2: (5;-4); 12 – max (-5;4); 12 –min

dy xy dx

(dy)2 xy22 (dx)2 1625 (dx)2

d 2 L 2 (dx2 dy 2 ) 2 169 d 2 x .

Задача 3. M=6; m=-1;

2 СЕМЕСТР

Занятие 1. Двойной интеграл.

1. Записать уравнения границ области интегрирования. Построить область интегрирования. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.

4	6 Х				е	exp( X )
		f		;
а) dх			( X ,У )dу		б) dх		f ( X ,У )dy .
0		Х 2			1		ln X

2. Построить область интегрирования, перейти к полярной системе координат и записать двойной интеграл в виде повторного:

а) а2 х2+у2 4а2;

х,у 0;

б) а2 х2+у2 2ау;

3. Вычислить повторные интегралы:

а)

( Х

;

dу

У )е у dx

2У

1 x

1 y 2 2

б)

dy (измените порядок интегрирования).

4. Вычислить двойной интеграл по заданной области D, подобрав подходящую систему координат.

а) X 2 У 2 dXdУ , D : X У 2 ; Х 1; D

б) XУ 2 dXdУ ,	D : X 2 У 2	а 2 ; Х 0 ;
D
в) е X У dXdУ ,	D : У е Х ; Х 0;У 2 ;
D
г) У 2 exp[ X 2	У 2 ]dXdУ ,	D : X 2 У 2 1; Х 0;У 0 ;
D

д У 2 /( X 2 У 2 )dXdУ ,	D : X 2 У 2 4 Х ;
D

е) exp[ X 2 У 2 ]dXdУ , D : X 2 У 2 r 2 ; Х 0;У 0;

5. Вычислить площадь, ограниченную линиями:

а) x 8 y2 , x 2 y

Занятие 2. Тройной интеграл.

1	2x	xy
1. Вычислить: dx dу		x 3 y 2 zdz ;
0	0	0

2. Вычислить объём, используя наиболее удобную систему координат:

а)Z=4–X2	б)Z=X2+У2	в)Х2+У2+Z2=4
2X+У=4	Z=4(X2+У2)	e)X2+У2=1
X 0, У=0	У=Х; У2=Х
Z=0

3. Найти координаты центра масс:

б) тела с плотностью (X;У;Z)=X2+У2+Z2, заданного неравенствами а2 х2+ у2+z2 4a2; у 0.

4. Найти моменты инерции:

а) однородного правильного треугольника относительно высоты; в) однородного тела: 0 Rz Н (R– Х 2 У 2 ) относительно OZ.

Занятие 3. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода.

1. Вычислить интеграл от заданной функции по заданному отрезку линии: а) f (x, y) x 2 y 2 ; l : у 2х; х [0;1] ;

б) f (M ) k ; l : a(1 cos ); k const; a const ;

в) f (x, y, z)

x2 y2

z; l : x t cos t; y t sin t; z t;

t [0;2 ];

2. Вычислить интеграл по части поверхности конуса Z X 2 У 2 , вырезанной цилиндром Х2+У2=2Х:

( ХУ УZ XZ )d ;

3. Вычислить площадь и момент инерции относительно OZ куска поверхности однородного параболоида 2Z=X2+У, отсечённого Z=1.

Занятие 4. Контрольная работа ©Кратные интегралы и теория поля«.

Работа состоит из 5 задач:

1.Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла, включая задачи на применение в физике

2.Тройной интеграл. Вычисление объема, момента инерции, координат центра масс

3.Вычисление потока векторного поля по теореме Остроградского-

Гаусса

4.Вычисление циркуляции векторного поля по теореме Стокса

5.Потенциальное векторное поле. Восстановление потенциала.

Занятие 5-6. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.

Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

x sin x

ydx (4 x2 ) ln ydy 0,

y(2) 1

y cos y

4) (1 y)(ex dx e2 y dy) (1 y2 )dy 0

4x 2 y 1

y cos( x y)

xy y cos(ln

)

x( y e

) y

( y2 2x2 )dy 2xydx 0,

y(1) 1

xy y

x sin x

x2 y2

10)

11)	dy ( ytgx 1)dx,	y(0) 3	x

12)	(1 y2 )dx (arctgy x)dy		13) (x y2 )dy ydx

						27
14)	y yctgx			y3		15) (x 1)( y y2 ) y
14)	y yctgx			sin x		15) (x 1)( y y2 ) y
				sin x
16)		3	sin y xy		2 y
16)	y x		sin y xy		2 y

Занятие 7. Дифференциальные уравнения высших порядков.

17) y( 4) 1

18) y		xe	x
18) y		xe		, y(0) 1, y (0) 0

19)y tgx y sin 2x

20)xy y x sin( y ) 0

21)y y 1/ 2

22)2 yy 1 ( y )2

23)xy y x 1 0

24)yy ( y )2 y

	( y	2		1
25)		)	y y
			2	x	2
		( y )

Занятия 8-9. Линейные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами.

1)Для заданных дифференциальных уравнений выписать характеристические уравнения и базисные решения (фундаментальную систему решений), записать общее решение однородного уравнения,

2)Для неоднородных уравнений найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (комплексных амплитуд), записать решение неоднородного уравнения.

3)При заданных начальных условиях найдите частное решение.

y 4 y 0,

2) y 3y 2 y 0 ,

3) y 2 y y 0

y 4 y 5y 0

5) y 4 y e2 x

6) y 2 y y x2 1

4 y

5 y e

3 x

8) y

9 y sin 3x,

y(0) y (0) 0

( 4)

2 cos x,

y(0) 2,

y (0) 1,

y (0) y

(0) 0

Работа состоит из 5 задач:

1.Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 2.Однородное дифференциальное уравнение 1 порядка 3.Линейное дифференциальное уравнение 1 порядка или уравнение Бернулли

4.Уравнение 2 порядка, допускающее понижение порядка

5.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

Занятие 11. Комплексные числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы.

1. Выполнить действия в алгебраической форме

2. Найти модуль и аргумент комплексных чисел, записать их в тригонометрической и показательной формах, построить на комплексной плоско-

сти:

Z=4;

Z=−3;

Z=−4i;

Z=−3–3i;

Z=−1+3i;

Z=+

;

(1 i

Z=1 i

;

3) ;

3. Вычислить, используя тригонометрическую или показательную

форму записи комплексного числа:

1 i

а) 3 2i ;

б) 4 1 i ;

в)

4 2i 2 ;

г) i2

3 2 ;

д);

1 i

4. Схематично построить множества точек на комплексной плоскости:

z 5 2i

2 ;

z 1

z i

;

3) z 5 2i 4eit (0 t 2 );

z 3cos 2t 4 sin 2ti ;

z 4sh2t ich2t ;

z 1 i

2 ;

z 2i

4 ;

z 1

1; 9)

2 Im z ;

10)

Re z 2 .

z 2i

Занятие 12. Элементарные функции комплексной переменной.

1.	Выделить действительную и мнимую части функции:
а) f (z) e3iz 1 ;		б) f (z) i		4z2 ;	в) f (z)	z i			;
			z

						i z
					ж) f (z) e(			i)2
д)	f (z) sin(z i) ;	е) f (z) cos(z i) ;					z

г) f (z) сh2z ;

exp (z i) 2 ;


2.	Вычислить значения функций:
1)	e i 2 ; 2)		Ln(1 i) ;	3)	sin i ; 4)	Ln( 1 2i) ;	5) ctg i ;	6) th i ;
7)	sh( 1 5i) ;			8)	cos(3 i) ;	9) (1 i)1 i ;		10) 2i ;
3.Найти интеграл по заданной кривой:
(2z 1)			ℓ: z eit	t [0; ]
(2z 1)		zdz	ℓ: z eit	t [0; ]

Занятие 13. Понятие аналитической функции. Интегральная формула Коши.

1. Обосновав аналитичность, вычислить интеграл:

(z3 z)e 2 dz;

1 i

2. Вычислить интегралы по интегральной формуле Коши:

sin 2z dz

z 2 dz

z2dz

z 2i ;

z 2i

а)

б)

;

в)

;

z 1

sin

sin 2z dz

г)

z 2 1 ;

д)

( z 1)2 ( z 3)

z 1

Занятие 14. Разложение функции в ряд Лорана. Вычет аналитической функции в особой точке. Вычисление вычета в особой точке типа полюс.

1. Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек, указать область сходимости, найти вычеты в особых точках:

а)

б)

г)

f (z)	z 1			;	z1=1+2i;
	z(z 1)

			3z		;		z1=1;
f (z) cos

	z 1
f (z) z sin				1		;	z1=2;


		z 2


z2=1; z3= ;
в)	f (z)		2z		; z1=2i; z2=−3+2i;	z3 = ;
в)	f (z)	4 z 2			; z1=2i; z2=−3+2i;	z3 = ;
		4 z 2
	f (z) e		z
д)				; z1= −1;
д)			1 z	; z1= −1;

2. Указать все особые точки и найти вычеты в этих точках:

		30
1) f ( z)	z 2	2) f (z)	z		1
				; 3)	f (z)		;
	z( z 1)( z 1) 2		(z 1)(ez 1)
						z 2 sin( z 1)

4)	f ( z)		sin z
			z	5
				1
7)	f (z)
		z(1 e2 z )

10) f (z) e 1 z

5)	f (z)	1 cos z			6)	f (z)		z 2
5)	f (z)	z		2	6)	f (z)	(1 z			2	)	2
		z					(1 z				)
8)	f (z)			1	9)	f (z)		z sin z
								z	4
		z 3 (4 z 2 )							4
		z 3 (4 z 2 )
11)	f (z) cos		1
11)	f (z) cos
				z

Занятие 15. Преобразования Лапласа. Свойства.

Преобразования Лапласа

L f (t) F ( p) f (t)e pt dt

		0
	1	i
f (t)	1	F ( p)e pt dt
f (t)	2 i	F ( p)e pt dt
	2 i	i

Задание 1. Найдите изображение F ( p) по оригиналу f (t) , используя определение преобразований Лапласа.

f (t)

1 1

Ответы:

1 e p

e pT

1. F

( p)

2. F ( p)

p 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt