Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Метод.Указания для практических занятий

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

430.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Занятие 9. Несобственные интегралы.

1.Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходи-

мость

x2dx

x dx

1 x

x ln

3 4 x7

1 x ln x

1 exp(1/ x)dx

arcsin(1/ x)dx

x ln(ln x)

1 x

Занятие 10. Контрольная работа ©Техника дифференцирования и интегрирования«.

Контрольная работа состоит из 5 задач:

1.Производная (сложная функция, арифметические операции) 2.Метод замены переменной в неопределенном интеграле

3.Метод интегрирования по частям

4.Интегрирование дробно-рациональных функций 5.Интегрирование иррациональных функций (метод подстановки)

Занятие 11. Числовой ряд. Признаки сходимости.

Ряд из членов геометрической прогрессии.

1. Найдите сумму ряда:

	1	n	1			1	n		1	n
	1		1			1			1
2				,	4			5			,
2	2		4n	,	4	5		5	4		,
n 1	2		4n		n 0	5			4

Ответы: -1/3, 1, 11/18, 11/12.

2. Исследуйте на сходимость числовые ряды:

		2n				n3 4n
			,						,
			,				n3	5	,
n 1(n 3)5n						n 1	n3	5
	(2n 1)!						arctg
	(2n 1)!						arctg			n
					,						,
					,			5n			,
n 1(4n 3)3n						n 1		5n
	2			3				1
n		exp( n			) ,	narctg						,
n		exp( n			) ,	narctg						,
n 1						n 1		n3

	1			2n 1
		,
	n(n 3)			n(n2 1)
n 1			n 3


	n		n		n2
2
2				1
n 1		n		1
		n2		2
ln
ln			2	4
n 1		n		4

						12
	1				( 1)n 1n3			( 1)n 1
			,			,
	n ln n(ln(ln n))	2			3n
		2							n 2
n 3				n 1			n 1		n 2

Занятие 12. Функциональный степенной ряд. Область сходимости.

1. Для функциональных рядов найдите область сходимости, радиус сходимости, исследуйте поведение ряда на границах области сходимости:

	1			n(x 4)	n			1				n	x		n
	1			n(x 4)				1		x			x
		,				,			,	4						,
	xn	,		2n		,			,	4	3			5		,
n 1	xn		n 1	2n			n 1n(x 2)n			n 0	3			5

2. Найдите суммы рядов и укажите область сходимости:

n 1 n!


									n	x
xn ,	( 1)n xn ,	nxn ,	n	2 xn ,	e nx ,		ln

n 0	n 0	n 1	n 1		n 1	n 0		n!

Занятие 13. Ряд Маклорена. РядТейлора. Разложение функций в ряд. Применение к вычислению

пределов и исследованию функций.

1. Используя таблицу разложений функций в ряд Маклорена, разложить функцию в ряд с заданной точностью о(xn ) . Для бесконечно малых


указать степенной порядок малости:
exp( 2x 1); о(x4 )			2x arctg2x;				о(x7 )
ln(12 x x2 );		о(x5 )
			4	16 x9		2; о(x11 )

cos x	1 x2 ;	o( x6 )	1 e x 2		x sin x;		o( x7 )

2. Разложить функцию по формуле Тейлора вблизи указанной точки a с требуемой точностью o((x a)n ) :

ln x, a 1, o(( x 1)4 ) (x 2) ln(2x2 8x 11), a 2, o((x 2)5 )

3. Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции при больших значениях переменной (асимптоты графиков функций ):


							2
y 3 x2	x3				y 1 xe x			y x4 arcsin(1/ x3 )
						x3 2x2
y x		x	2	4x	y	x3 2x2
y x		x		4x	y	(x 1)2

4. Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции в окрестности ее нулей и точек разрыва:

( x 2)3

x3 2x2

x2 4

( x 3)2

(x 1)2

5. Раскрыть неопределенности:

arctg( x) tg( x)

x4 4x2 1

x4 4x2

x 0

1 cos x	;	x 0

x sin x

arcsin x x2

; x 0x

x arcsin( x)						1	1
			,	x 0				; x 0
			,	x 0				; x 0
	x sin( x)						x
	x sin( x)				xarctgx		x
	2	x
		arctgx ; x
		arctgx ; x

6. Написать формулы для приближенного вычисления интегралов при помощи разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Указать область сходимости.

x	sht		x	2
		dt ,	cos(t		) dt
	t	dt ,	cos(t		) dt
0	t		0

Справочные материалы

Ряды Маклорена основных элементарных функций

инекоторые другие разложения в ряды

1.Бином с произвольным показателем

(1 z)a 1 az a(a 1) z 2 a(a 1)(a 2) z3 a(a 1)(a 2)(a 3) z 4 2! 3! 4!

2. Стандартная экспонента и натуральный логарифм

exp(z) 1 z	1	z 2	1	z3	1	z 4	ln(1 z) z	1	z 2	1	z3	1	z 4		1	z5

2!		3!			4!		2		3		4			5

3.Тригонометрические, обратные тригонометрические и гиперболические функции

sin( z) z

cos(z) 1

z 2

z 4

z 6

														14
sh( z) z		1		z3				1	z5			1	z 7	ch(z) 1		1		z 2					1		z 4		1	z6

3!					5!						7!			2!							4!						6!
tg(z) z	1		z3				2		z5					th(z) z	1		z3					2		z5

3					15									3							15
arcsin( z) z					1	z3				3	z5			arctg(z) z					1	z3					1	z5
					6
									40					3										5

4. Разложение арктангенса при больших значениях переменной

arctg(x)

O(x 5 ) ;

arctg(x)

O(x 5 )

3x3

x 2

Занятие 14. Полное исследование функции и построение графика.

x2 x 1 y x2 2x 1

3x 2

x2 1

1.Провести полное исследование и построить графики функций (область определения, четность, нули функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты, поведение при больших значениях аргумента – наклон-

ные и горизонтальные асимптоты, локальные экстремумы, точки перегиба):

y x / 2 arctg(x)		y 3 4x2 x3
	2
y 1 xe x		y x ln	x

Занятие 15. Определители. Матрицы: сложение, умножение.

1. Определители.

Вычислите определители, используя различные способы и принимая во внимание свойства определителей:

				1	5	2		1	1	2	3			0	0	2	1			2	5	6

1)	2	4	, 2)				, 3)	1 2		3	1	,	4)	0	1	1	2	,	5)
				0	7	0														1 2		5
	1	3		1	2	0		2	3	6	4			4	0	1	3			1	3	2
								3	5	9	4			2	1	1	5

Ответы: 10, -14, -1, -14, -1

Контрольные вопросы:

1.Как изменится значение второго определителя, если поменять местами первую и вторую строки?

2.Чему равно алгебраическое дополнение элемента - a32 -для второго оп-

ределителя и четвертого определителя?

3.Найдите значение пятого определителя путем разложения по третьей строке

4.Чему равен определитель, если каждый элемент третьей строки равен соответствующему элементу пятой строки, умноженному на (-3)?

5.Как изменится значение четвертого определителя ,если каждый элемент третьего столбца умножить на число 4?

2.Матрицы. Действия над матрицами. Решение матричных уравнений.

1) Над матрицами			9		0	4	и	2		1	0	выполнить действия
1) Над матрицами			A				и	B				выполнить действия
				2	5	8			3	2	2
				2	5	8			3	2	2
A B,	A B,	3A 2B

2) Какими характеристиками должны обладать матрицы, чтобы их можно было перемножить? Сформулируйте правило умножения матриц. Выполните умножение матриц:

							5 0		2	3	6		5	8	4	3		2	5
3		2	3		4
						,		4 1	5	3	2	,	6	9	5		4	1 3

	5	4		2	5						7
								3 1	1	2			4	7	3		9	6
											4								5

5		2		56		11		22	29
			,	69	,		9	27	32
Ответы:
	7	0
				17				17	26
						13

3) Какими свойствами обладает операция умножения матриц: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивнось ? Применяя нужные свойства, выполните умножение матриц:

0		0	1	1		1				5
		1					4
1			2		2	2		Ответ:	15

	2	2	3				1
					1	1				25
	3	3	4
										35

4) Выполнить операцию возведения в степень			1		a n
4) Выполнить операцию возведения в степень
				0	1
				0	1
Ответ:	1	na
Ответ:

	0	1

Занятие 16. Обратная матрица. Системы линейных уравнений: метод обратной матрицы, метод Крамера.

1)Дайте определение обратной матрицы A 1 и условия ее существования. Для указанных матриц проверьте выполнение условий существования обратной матрицы и, если обратная матрица существует, то найдите:

8	3			2		6		4		3			4 5
8	3	,			4	12		8	,		2 3 1
		,			4	12		8	,		2 3 1

2	1				1	3		7			3		5
					1	3		7			3		5		1
			1			1	3			8				29		11
Ответы:			1			1	3	,				5		18		7


						2	8
			14			2	8						1	3		1
													1	3		1

Системы линейных уравнений

Каждую систему линейных уравнений решите тремя способами:

				Методом обратной матрицы AX B			X A 1B
				Методом Крамера	x	2 y	z
								2
2x1		7x2		5		y	7z	1
					7x
3x		x	2	4	3x	2 y	5z	2
	1

Занятие 17. Системы линейных уравнений: метод Гаусса , ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли

1. Каждую систему линейных уравнений решите методом Гаусса:

					x	2 y	z	2
2x1		7x2		5		y	7z	1
2x1		7x2		5	7x	y	7z	1
3x		x	2	4	3x	2 y	5z	2
	1		2

2. Дайте определение понятия ранг матрицы. Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований:

																1	2	5	9
	8		5			3		6			3	6	8				1	7
а)	8		5	,	б)	3		6	,	в)	0	4	6	,	д)	1	1	7	4
а)				,	б)				,	в)	0	4	6	,	д)
		2	0				9	18								1 3		3	4
		2	0				9	18			6	12	16			1 3		3	4
											6	12	16
																	2	3	4
																1	2	3	4

3. Для каждой из указанных ниже систем

методом элементарных преобразований определите ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы,

на основании теоремы Кронекера-Капелли сделайте вывод о совместности системы (определите число решений системы),

найдите решения системы, при этом, если решений множество, то укажите число базисных и свободных переменных

2x	y	z	2	x	2 y	4z	1
	2 y	3z	1 ,		y	5z	1
x				2x
	3y	2z	3		y	z	2
x				x

3x1		2x2			5x3		x4		3
		3x2			x3		5x4		3
2x1
x		2x		2			4x	4	3
	1
x		x	2		4x	3	9x	4	22
	1

Ответы: не имеет решений, множество решений, 3

Занятие 18. Векторы: линейные операции.

По заданной паре векторов

2 j 6k ,

b 2i j

найти декартовы

a 3i

координаты

векторов a b,

a b,

2a 3b

a b , их

длину и соответствующие единичные векторы (орты), укажите направ-

ляющие косинусы.

При

каких

значениях

параметров

векторы

3 j k ,

a 2i

b i

6 j 2k коллинеарны?

Даны

смежные вершины параллелограмма

A( 2, 6),

B(2,8) и точка

пересечения его диагоналей O(2, 2) . Найдите координаты двух других

вершин и длины сторон.

Ответ: C(6, 2), D(2, 4)

По

координатам

середин

сторон

треугольника

P( 2, 2), N ( 1, 4), M (2, 1) найдите

координаты

его вершин

длины

сторон.

Ответ: (1, 3), ( 5, 7), (3,1)

5.Координаты вершин треугольника A(1;2;0) , B(3;0; 3) , C(5;2;6) . Найти длину медианы, проведенной из вершины B .

6. В трапеции ABCD отношение длин оснований , векторы диаго-

						через				сторон
	налей a AC , BD b . выразить					через	векторы a, b векторы			сторон

					a b
	трапеции.	Ответ: BC				и т.д.
	трапеции.	Ответ: BC			1	и т.д.
7.	Найти координаты вектора i				1	относительно косоугольного базиса
7.	Найти координаты вектора i			j k		относительно косоугольного базиса
	e1 (1;1;0) , e2	(1;0;1) , e3 (0;1;1) . Чему равны углы между векторами бази-
	са?
8.	Найти координаты вектора P(3, 4) относительно косоугольного базиса
	e1 (3; 1; ) ,	e2 (1; 2) .
	e1 (3; 1; ) ,	e2 (1; 2) .	Ответ: P 2e1					3e2
	Занятие 19. Скалярное произведение векторов.
1.										ортого-
1.	При каких значениях векторы a					i 3 j		2k и b i	2 j k	ортого-

нальны?

2. Найти угол при вершине A в треугольнике с вершинами A : (3;2; 3) , B : (5;1; 1) , C : (1; 2;1) .

Ответ: arccos 4 / 9

Векторы e1 , e2 , e3

образуют ортонормированный базис. Найти e3 , если

известны

2; 0;1 /

2 )

e1 (1 /

и e2 (1 / 2; 0; 1 / 2) .

Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векто-

3 , ( p, q) / 4 .

, если

рах a

p 3q,

b 5 p

Ответ:

15,

593

a b

Найдите проекцию Пр (2a

3b ) , если a

1;2;1 , b 3;1;1 , c 4;3;0 .

Ответ: 41/ 5

Занятие 20. Векторное и смешанное произведения векторов.

1. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2e1 e2 ; 4e1 5e2 , где e1, e2 - единичные векторы под углом 45

		19
градусов.
Ответ: S 3 /
Ответ: S 3 /	2
2. Найти a1, a2 ;		2a1 a2 , 2a1 a2 , если	a1 3; 1;2 , a2 1;2; 1 . От-
вет: 3;5;7 ,	12;20;28

3. Координаты вершин треугольника A : (1;2;0) , B : (3;0; 3) , C : (5;2;6) . Найти площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины B .

4. В	точке	A 1;4;2	приложена	равнодействующая	сил
F1 (2; 1; 3), F2 (3;2; 1), F3			( 4;1;3) . Найдите вектор момента равно-
действующей		этих сил	относительно	точки O(2;3; 1) .	Ответ:

M( 7;0; 7)

5.Определить, лежат ли точки (1;2; 1), (0;1;5), ( 1;2;1), (2;1;3) в одной плоскости?

6. Найдите	объем	тетраэдра	с	вершинами
A(2; 3;5), B(0;2;1), C( 2; 2;3), D(3;2;4) . Ответ: V 6

7.При каких значениях параметра векторы (1;2 ;1), (1; ;0), (0; ;1) компланарны?

8.Координаты вершин тетраэдра (2;1; 1) , (3; 0 ;1) , (2; 1;3) (0; ; 0) , а его объем равен 5. Найти значение неизвестной координаты.

Занятие 21. Прямая и плоскость в пространстве.

1. Укажите особенности в расположении плоскостей и схематично их

построить:
а) 3Х–Z=0;	б) 2Х=0;	в) 2Х–6=0;	г) Х–2У=0;	д) Х–2У–2=0;
е) 2Х+Z–2=0;	ж) 2Х+3У+2Z–6=0;
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через:
а) М(1; -1; 2) параллельно плоскости ОХУ;
б) М(4; -1; 2) и ось ОХ;
в) М1(7; 2; -3);	М2(5; 6; -4) параллельно ОХ;
г) М1(1; -1; 2);	М2(3; 0; -3) параллельно а ( 2;1; 1) ;

д) М1(1; -3; 2); М2(5; 1; -4); С(2; 0; 3)

Найдите расстояние от М0(1; 0; -2) до найденной плоскости

е) М0(-2; 7; 3) параллельно плоскости Х–4У+5Z–1=0 ж) М0(3; 4; 0) перпендикулярно плоскостям Х+У+5Z–9=0; 2Х+У+2Z+1=0

3. Найти углы, образованные нормалью N с координатными осями и найти расстояние плоскости от начала координат:

а) Х У Z2 16 0; б) У Z 2 0 ;

4. Покажите, что плоскости параллельны и найдите расстояние между

ними:

2Х–3У+6Z–14=0

4Х–6У+12Z+21=0;

5. Найдите угол между плоскостями: Х–3У+6Z–14=0 2Х–У+Z=0.

6. Напишите уравнение прямой, проходящей: а) М1(2; 1; 3); М2(3; 0; 1);

б) М0(3; 1; 0) S ( 3 ; 4 ; 2 ) ;

в) М0(3; 1; 0) плоскости 4Х+3У–Z=0;

7. Найдите точку М (Х; У; Z), симметричную М(1; 5; 2) относительно плоскости 2Х–У–Z+11=0

8. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой:

Х 2У 3Z 1 0

Х У Z 2 0

Ответы:

2. б) 2У+Z=0; в) У+4Z+10=0; г) Х–2У–3=0; д) 11Х–5У+4Z–34 = 0; d 31 ;

162

ж) 3Х–8У+Z+23=0 4. d 7 2

7.M`(-3;7;4)

8.а (1;4; 3)

Занятие 22. Прямая линия на плоскости.

1. Напишите уравнения прямой линии на плоскости:

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt

																1	2	5	9
	8		5			3		6			3	6	8				1	7
а)	8		5	,	б)	3		6	,	в)	0	4	6	,	д)	1	1	7	4
а)				,	б)				,	в)	0	4	6	,	д)
		2	0				9	18								1 3		3	4
		2	0				9	18			6	12	16			1 3		3	4
											6	12	16
																	2	3	4
																1	2	3	4

																1	2	5	9
	8		5			3		6			3	6	8				1	7
а)	8		5	,	б)	3		6	,	в)	0	4	6	,	д)	1	1	7	4
а)				,	б)				,	в)	0	4	6	,	д)
		2	0				9	18								1 3		3	4
		2	0				9	18			6	12	16			1 3		3	4
											6	12	16
																	2	3	4
																1	2	3	4

																1	2	5	9
	8		5			3		6			3	6	8				1	7
а)	8		5	,	б)	3		6	,	в)	0	4	6	,	д)	1	1	7	4
а)				,	б)				,	в)	0	4	6	,	д)
		2	0				9	18								1 3		3	4
		2	0				9	18			6	12	16			1 3		3	4
											6	12	16
																	2	3	4
																1	2	3	4