Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / СинТок

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

780.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

5.Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока

5. 1. Общие сведения

Периодическую несинусоидальную функцию, например напряжения u(t) =

= u(t +T ), где Т – период,			можно представить тригонометрическим рядом
Фурье				∞
				∞
		u(t) =U0 + ∑(Bk sin kωt +Ck cos kωt) .
				k=1
Коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера:
	1	T	2	T			2	T
	T	∫0	T	∫0			T	∫0
A =		u(t) dt ; B =		u(t) sin kωt dt ; C	k	=		u(t) cos kωt dt .
0		k			k

Ряд Фурье можно представить в другой более удобной при расчетах форме:

∞

u(t) =U0 + ∑Ukm sin(kωt + ψk ) ,

k=1

где U	km	=	B2	+C 2	; ψ	k	= arctg	Ck	.

			k	k				Bk

Поскольку ω = 2πf = 2πT , то

∞	2π
u(t) =U0 + ∑Ukm sin(k		t + ψk ) .

k=1	T

Гармоника с номером k = 1 имеет период заданной функции и называется основной. Остальные гармоники называются высшими.

Каждой гармонической составляющей периодической несинусоидальной функции, например напряжения u(t), можно поставить в соответствие ее ком-

плексную амплитуду Ukm =Ukme jψk . Набор амплитудных значений Ukm назы-

вается дискретным частотным спектром, а набор ψk – дискретным фазовым спектром напряжения u(t).

Расчет линейной электрической цепи с одним или несколькими источниками периодических несинусоидальных э. д. с. и (или) токов состоит из следующих этапов.

1. Функции э.д.с. и токов источников представляют рядом Фурье вида

A0 + ∑Ak sin(kωt + ψk ) с конечным числом членов. Для расчета берут по-

k=1

стоянную составляю, основной гармонику и две, три высших гармонических составляющих.

2.Решают основную задачу расчета цепи для каждой составляющей ряда п. 1. Токи (напряжения) ветвей определяют по принципу наложения. Расчет гармонических составляющих ведется комплексным (символическим) методом. Необходимо помнить, что величины реактивных сопротивлений зависят от частоты (от номера гармоники):

ХL(kω) = kωL; XC (kω) = kω1C .

Действующие значения токов и напряжений определяют по выражениям:

I = I02 + I12 + I22 +…Ik2 +…;

U = U02 +U12 +U22 +…Uk2 +…. ,

где I0, U0 – величины постоянной составляющей, I1, U1, I2, U2 и т. д. – действующие значения гармонических составляющих тока и напряжения, соответственно.

Активная мощность

1 T

P = T ∫0 uidt

представляет собой сумму активных мощностей постоянной составляющей и каждой гармонической составляющей

P =U0 I0 +U1I1 cosϕ1 +U2 I2 cosϕ2…+Uk Ik cosϕk +….

Реактивная мощность

Q =U1I1 sin ϕ1 +U2 I2 sin ϕ2 …+Uk Ik sin ϕk +…. .

Здесь ϕ1 = ψu1 −ψi1 ; ϕ2 = ψu 2 −ψi2 ; ϕk = ψuk −ψik – углы сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи на первой, второй и высших гармониках.

Полная мощность

S = U02 +U12 +U22 +…Uk2 +… I02 + I12 + I22 +…Ik2 +… = UI .

При несинусоидальных напряжениях и токах S 2 ≥ P2 +Q2 . Величину

T = S 2 −(P2 +Q2 )

называют мощностью искажения.

Коэффициент мощности kм в цепи несинусоидального тока определяется по выражению:

kм = PS = UIP .

Степень отличия несинусоидальной функции, не имеющей постоянной

∞

составляющей, например напряжения u(t) = ∑Ukm sin(kωt + ψk ) , от синусои-

k=1

дальной формы характеризуют коэффициенты:

− формы kф = U ,

Ucp

−амплитуды ka = UUmax ,

−искажения kи = UU1 .

1 T

Здесь: U действующее, Umax максимальное, Ucp = T ∫0 u(t)dt среднее по

модулю значения напряжения u(t) , U1 действующее значение основной (первой) гармоники напряжения u(t) .

Для синусоидального напряжения kф =1,11; kа

2 ; kи =1.

В радиотехнике и электронике для оценки искажений пользуются коэф-

фициентом гармоник

kг = 1

∞

∑Uk2 .

k=2

При отсутствии постоянной составляющей (U0 =0)

kг = 1

1− kи2 .

kи

5. 2. Решение типовых задач

Задача 5.1

Найти разложение в ряд Фурье для по-

u(t)

следовательности прямоугольных им-

Umax

пульсов напряжения (рис. 5.1).

Параметры импульса: Um =10 В, час-

тота следования f = 1000 Гц, длитель-

ность импульса tим = T 4 .

Решение

tим

3T t

Период следования импульсов

Рис. 5.1

T =

=10−3 с.

1000

Аналитическое выражение напряжения u(t) имеет вид

u(t) = Um , 0 ≤ t ≤ tим,

0, tим < t <T.

Ряд Фурье содержит постоянную составляющую и гармонические составляю-

щие Вk и Сk. Положим k = 9, тогда

u(t) =U0

+ ∑Ukm sin(k 2πt + ψk ) .

k=1

Постоянная составляющая

1 tим

∫0

u(t) dt =

∫0

Um dt =

10t

=2,5 В.

Гармонические составляющие ряда:

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin ωt dt =

sin ωt dt =

ωT

2 10

−cos ωt

−cos

+ cos 0 =

= 3,183 В;

Tω

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) cos

ωt dt =

cos ωt dt =

ωT

sin ωt

sin

−sin 0

= 3,183 В;

Tω

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin2 ωt dt =

sin 2ωt dt =

2ωT

−cos 2ωt

−cos

+ cos 0

(1+1)

= 3,183 В;

2ωT

ωT

2π

2 T

2 tим

∫0

C2 =

u(t) cos 2ωt dt =

Um cos 2ωt dt =

2ωT

sin 2ωt

sin

−sin 0 = 0 В;

ωT

2π

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin3 ωt dt =

sin 3ωt dt =

3ωT

−cos 3ωt

−cos

+ cos 0 =

= 1,061 В;

3ωT

3π 3π

2 T

2 tим

∫0

C3 =

u(t) cos 3ωt dt =

Um cos 3ωt dt =

3ωT

sin 2ωt

sin

−sin 0

= – 1,061 В;

3ωT

3π

2 T

2 tим

∫0

u(t) sin4

ωt dt

sin 4ωt dt =

4ωT

−cos 4ωt

−cos

+ cos 0

= 0 В;

4ωT

2 T

2 tим

∫0

u(t) cos 4ωt dt =

Um cos 4ωt dt =

4ωT

sin 4ωt

sin

−sin 0

= 0 В.

4π

4ωT

Выполнив вычисления для остальных высших гармоник, получим:

В5 = 0,637		В; С5 =		0,637 В;
В6	= 1,061	В; С6	=	0	В;
В7	= 0,455	В; С7	= –		0,455 В;
В8 = 0 В; С8 = 0 В;
В9	= 0,354	В; С9	=	0,354 В,

Для представления ряда в форме

u(t) =U0 + ∑Ukm sin(k 2πt + ψk )
9
k=1	T
запишем комплексные амплитуды ряда Ukm = Bk + jCk :
U1m = 3,183 + j3,183 = 4,502e j0,785		В; U2m = 3,183 В,
U3m =1,061− j1,061= 1,501e− j0,785		В; U4m = 0 В,

U5m = 0,637 + j0,637= 0,9e j0,785 В; U6m =1,061 В, U7m = 0,455 − j0,455= 0,643e− j0,785 В; U8m = 0 В, U9m = 0,354 + j0,354 = 0,5e j0,785 В.

Начальные фазы комплексных амплитуд даны в радианах. Так как 0,785 рад. = 45°, то ряд Фурье имеет вид

u(t) =2,5 + 4,502 cos(ωt + 45 ) + 3,183 cos 2ωt + 1,501 cos(3ωt − 45 )+

+ 0,9 cos(5ωt + 45 ) +1,061 cos 6ωt + 0,643cos(7ωt − 45 )+ 0,5cos(9ωt + 45 ) В.

Расчет коэффициентов ряда удобно выполнять в пакете Mathcad. Ниже

приводится программа вычисления коэффициентов ряда.

← Задание

исход-

T = 1 10 3

U1m

1000

tim

1 .. 9

ных данных,

числа

гармоник ряда Фу-

tim

1 .

U1m dt

U0 = 2.5

рье.

← Расчет постоян-

ной составляющей

2 .

tim

2.π .

2 .

tim

. 2.π .

U0.

← Расчет коэффи-

U1m sin k

U1m cos k

циентов ряда.

Расчет

ком-

arg u

←

плексных

ампли-

Umk

ψk

туд ряда Фурье.

3.183

3.183j

4.502

0.785

3.183

1.061

1.061j

1.501

0.785

6.761j.10 9

6.761.10 9

1.571

0.637

0.637j

0.9

0.785

1.988.10 15

1.061

0.455

0.455j

0.643

0.785

9.215j.10 6

9.215.10 6

1.571

0.354

0.354j

0.5

0.785

0 ,

T ..

2.T

u(t)

U1m if

t<tim

←

Определение

интервала

расчета

100

U1m if T<t<T

tim

и функции u(t) .

otherwise

2.π

←

Ряд

Фурье

uf(t)

Um .sin

uf (t).

k = 1

←

Графики

на-

пряжения

u(t)

u( t)

ряда Фурье uf (t).

По

оси

абсцисс

uf( t)

отложено время в

секундах,

по

оси

ординат–

напря-

4 10 4

8 10 4

0.0012

0.0016

0.002

жение в вольтах.

Задача 5.2

Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны: u(t) =10+ 14,1sin 314t + 14,1sin 942t В; i(t) =1+ 1,41sin(314t −30 ) А.

Найти действующие значения напряжения и тока, коэффициент мощности цепи.

Решение

Действующие значения напряжения и тока:

U = 102 +142,12 +142,12 =17,3 В;

I = 12 +1,412 2 =1,41 А.

Коэффициент мощности

kм= PS = UIP .

Активная мощность

P =10 +142,1 1,412 cos 30 = 10 + 8,66 = 18,66 Вт.

Полная мощность

S =17,3 1,41= 24,4 ВА.

Коэффициент мощности kм = 0,765.

Задача 5.3

К цепи со схемой рис. 5.2 приложено напря-			R i1	i
жение u(t) =10 + 14,1sin ωt + 14,1sin 3ωt В.				3
жение u(t) =10 + 14,1sin ωt + 14,1sin 3ωt В.				i2
Найти мгновенное значение	тока i1 ,	если
Найти мгновенное значение	тока i1 ,	если
R =10 Ом, а на частоте ω напряжения u(t) u(t)				C	L
реактивные сопротивления	XC =30	Ом,
реактивные сопротивления	XC =30	Ом,
X L =30 Ом.
X L =30 Ом.			Рис. 5.2
Решение			Рис. 5.2
Решение

Рассчитываем ток i1(0) для постоянной составляющей U0 =10 В. На постоянном

токе емкость С – разрыв, индуктивность L – короткое замыкание. По закону Ома ток

i1(0) = UR0 =1010 = 1 А.

Расчет гармонических составляющих выполняем символическим методом. Первая гармоника

u1 (t) =14,1sin ωt .

Комплексная амплитуда Um1 =14,1 В.

Рассчитывает комплексную амплитуду тока I (1)m1 на первой гармонике. Комплексное сопротивление

				1
	jωL	− j				j30	(− j30)

Z LC1 =				ωC	=			= − j∞,
	jωL − j		1			j30 − j30

			ωC

следовательно

I (1)m1 = 0 (на участке L −C имеет место резонанс токов). Третья гармоника

u3 (t) =14,1sin 3ωt .

Комплексная амплитуда Um3 =14,1 В.

Рассчитывает комплексную амплитуду тока I (3)m1 на третьей гармонике. Комплексное сопротивление

j3ωL

− j

j90 (− j10)

Z LC3

3 C

=–11,25 j Ом.

j90 − j10

j3ωL − j

Ток

3ωC

Um3

I (3)m1

14,1

=0,94e j 48,4

А.

10 −11,25 j

+ Z LC 3

Мгновенное значение

i(3) (t) = Im(I (3)m1e j3ωt )

= 0,94sin(3ωt + 48,4 ) А.

Для тока i1 получим

i1 (t) =1+ 0,94sin(3ωt + 48,4 ) А.

Задача 5.4

К цепи со схемой рис. 5.3 приложено периодическое несинусоидальное напря-

жение u(t) =10 sin 314t В (рис. 5.4).

Найти мгновенные и действующие значения тока i1 и напряжения u23 . Рассчи-

тать активную мощность, потребляемую цепью. Параметры цепи: R1 = 15 Ом;

R2 = 200 Ом; L = 0,15 Гн; С = 200 мкФ.

i1	R1	L			u(t)	B
					10,0	B
u(t)		u23	C	R2	5,0
u(t)		u23		R2	5,0
					0	0	0,01	c	t
		Рис. 5.3				0	0,01	0,02	t
		Рис. 5.3					Рис. 5.4
							Рис. 5.4

Решение

Находим ряд Фурье для заданной функции напряжения u(t) .

Функция u(t) – четная, в разложении будет постоянная составляющая U0 и гармонические составляющие Ck cos kωt . Период функции приложенного на-

пряжения Т= 0,01 с. Циклическая частота основной гармоники ω = 2Tπ = 628с–1.

Следовательно, ω = 2ω0 , где ω0 = 314 с–1. Заданную функцию можно представить в виде ряда

u(t)Φ = U0 + C1 cos ωt							+ C2 cos 2ωt + C3 cos3ωt + … =
						= U0 + C1 cos 2ω0t + C2 cos 4ω0t + C3 cos 6ω0t + … .
Вычисляем коэффициенты ряда.
Постоянная составляющая
		1		T		1	0,01
U0	=			u(t) dt =			10sin 314t dt = 6,366 В.
U0	=		T	u(t) dt =		0,01	10sin 314t dt = 6,366 В.
			T	∫0		0,01	∫0
Коэффициенты ряда первых трех гармоник:
			2 T
C		T		∫0	t cos 2ω			t d t = −4,244 В,
C	=			10sin ω	t cos 2ω			t d t = −4,244 В,
1				0			0
			2 T
C2	=			∫0
			T	∫0
				10sin ω0t cos 4ω0t d t = −0,849 В,
			2 T
C3	=			∫0
			T	∫0
				10sin ω0t cos 6ω0t d t = −0,364 В.

Ряд Фурье для постоянной составляющей, основной и двух высших гармоник имеет вид

u(t)Φ = 6,366 −4,244 cos2ω0t −0,849 cos 4ω0t −0,364 cos 6ω0t В.

Расчет для постоянной составляющей U (0) = 6,366 В.

U (0)

I1(0) = R1 + R2 =0,03 А; U23(0) = I1(0) R2 =5,92 В.

Расчет для гармонических составляющих выполняем символическим методом. Используем переменные с индексами k = 1, 2, 3.

Комплексная амплитуда гармонической составляющей с индексом k

j π

Um k = Ck e 2 .

Комплексные сопротивления участков цепи на частоте kω = k2ω0 :

= R + jkωL;

= R

; Z

;

jkωC

Z 23k =

jkωC

; Z k = Z1k + Z 23k .

R +

2 jkωC

Комплексные амплитуды тока и напряжения гармоник:

Im1k = Umk ;

Z k

Um23k = Im1k Z 23k .

Амплитудные значения и начальные фазы тока и напряжения определяются выражениями:

Im1k = Im1k ; ψi1k = arg(Im1k ) ,

Um23k = Um23k ; ψu23k = arg(Um23k ) .

Действующие значения тока и напряжения:

I1k = Im12k ; U23k = Um232 k .

Мгновенные значения гармонических составляющих тока и напряжения:

i1(1) (t) = Im11 sin(ωt +ψi11) ; i1(2) (t) = Im12 sin(2ωt +ψi12 ) ; i1(3) (t) = Im13 sin(3ωt +ψi13 ) ;

u23(1) (t) =Um231 sin(ωt +ψu231) ; u23(2) (t) =Um232 sin(2ωt +ψu232 ) ; u23(3) (t) =Um233 sin(3ωt +ψu233 ).

Действующие значения тока и напряжения:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб43КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб132Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб41Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб37Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб43Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб38СинТок.pdf