Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / СинТок

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

780.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Уравнения метода узловых напряжений имеют вид

− R

= E

U2 = µU1,

откуда

		C	IC
R1	1	R2	2	I
I1		I2	I3	I
I1		I2	I3
;	U1	µU1	U2	Z
E		µU1
		Рис. 3.8

U1	=		E R1		.
		1	R1 +(1−µ)(1 R2 +1	Z C )

Комплексное сопротивление емкости С на частоте ω = 2π f = 6283 c-1

Z C = − j ωC = −3,18 103 j Ом.

Тогда

2 1600

=0,83e j155

В;

+ (1

1600

+1)

2700

− j3,18

U2 = µU1 = e− j180

0,83e j155

= 0,83e− j25

В.

Комплексное действующее значение тока нагрузки

I = UZ2 = −8,026 10−5 +1154, 10−4 =1,405 10−4 e j125 А.

Мгновенное значение тока определяется по выражению:

i = Im( 2Ie jωt ) = Im( 2 1,405 10−4 e j125 e jωt ) = 2 10−4 sin(ωt +125 ) А.

Задача 3. 8
В цепи со схемой замещения			IC	C
рис. 3.9 действующее значе-
ние синусоидальной э. д. с.		R1 1	I3	R3
Е = 2 В. Частота f = 1000 Гц;	I1	R1 1	I3	R3	2
R1 = 160 Ом; R2 = 2700 Ом;	I1	I2	U10		I4	I
R3 = 30000 Ом; C = 0,1 мкФ,		U1	U10
G = 0,001 Ом–1. На частоте f		E	R2	U20	GU1	Z
комплексное сопротивление		E
комплексное сопротивление			0
нагрузки			0
Z = 300 + j600 Ом.			Рис. 3.9

Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Рассчитать баланс мощностей.

Решение

Назначаем направления токов и напряжений U10 ; U20 узлов как на рис. 3.9.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:

− I1 + I2 + I3 + IC = 0;

I − I4 − I3 − IC = 0.

Выражаем токи ветвей через напряжения U10

и U20 :

I1 =

E −U10

; I2

U10

;

U10 −U20

; IC

U10 −U20

; I =

U20

;

Z C

I4 = GU1 = G(E −U10 ) ,

получаем узловые уравнения:

+ Z

;

U10

− R

U20

= GE.

− R

−G U10

+ Z

U20

В узловых уравнениях для схем цепей с зависимыми источниками в общем случае

Y12 ≠ Y 21 .

Ток нагрузки равен

I =

U20

Комплексные мощности источника Sист и нагрузок Sпот соответственно равны:

Sист =

E −U10

;

U 2

Sпот =

−U20 I4 ,

Z C

где E и I4 – сопряженные комплексные значения э. д. с. E и тока I4 , U1 ; U10 ; U12 ; U20 – действующие значения напряжений.

Внимание. При расчете по этим выражением комплексных мощностей знак + перед реактивной мощностью в выражении S = P + jQ соответствует емкостному характеру нагрузки.

Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже.

160.0

2700

30000 z

300

j .600

← Исходные данные

0.1.10 6

0.001

1000 E

← Расчет комплексного сопро-

тивления емкости на частоте f

2.π.f

ω = 6.283 103

ω.C

Y11

Y22

Y12

Y21

Ynn

Y11

Y12

Y21

Y22

J11

J22

G.E

Jnn

J11

J22

Un0

Ynn 1.Jnn

Un0 =

1.738

0.215j

0.605 +

1.247j

u10

Un00 u20

Un01

u20 =

0.605 + 1.247j

u20

i = 1.259 10

+ 1.638 10

3 j

Im = 2.922 10

ψi

180.arg(i)

ψi = 52.457

u10

U10

u10

U12

u10

u20

U20

u20

U12

U102

U122

U202

U122

u20.G.(E

. E

u10

Sz = 3.28 10

+ 2.687 10

3 j

Se = 3.28 10

+ 2.687 10

3 j

←Расчет собственных и общих комплексных проводимостей

←Расчет матрицы узловых проводимостей

←Расчет узловых токов

←Расчет узловых напряжений

←Расчет комплекса действующего значения тока нагрузки

←Расчет амплитудного значения тока нагрузки

←Расчет начальной фазы тока нагрузки

←Расчет действующих значений напряжений для баланса мощностей

u10) ←грузокКомплексная мощность на-

← Комплексная мощность источника Sист

Из расчета следует:

−амплитудное значение тока нагрузки Im = 2,92 мА;

−начальная фаза ψi =52,5°,

следовательно, мгновенное значение тока i(t) = 2,92sin(ωt +52,5 ) мА.

Комплексные мощности:

− Sист = 3,28 10−3 + 2,687 10−3 j ВА; − Sпот = 3,28 10−3 + 2,687 10−3 j ВА.

Баланс выполняется, Sист = Sпот .

Задача 3. 9

В цепи с операционным усилителем ОУ (схема на рис. 3.10) действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 1 В. Частота f = 1000 Гц. Найти амплитудное значение напряжения Uвых и угол сдвига фаз ψ между этим напряжением и э. д. с. E . Параметры элементов ветвей: R1 = 2300 Ом; R2 = R1; R = 5100 Ом; С1 = 0,068 мкФ; С2 = С1. Операционный усилитель – идеальный.

IC1			C1
IC1				ОУ
I1 R1		R2	1	Iвых
a	I2	IC2	2	R
Ua		IC2		R
Ua				Uвых
E		C2
		C2	U1 =U2 R
		Рис. 3. 10

Решение

Назначаем положительные направления токов ветвей как на рис. 3.10. Пусть

E = E = 1 В.

Идеальный ОУ не потребляет ток по входам 1 и 2, поэтому I2 = IC2 Напряжение

U1 =U2 =Uвых 2 .

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов а и 1 имеют вид:

−I1 + I2 − IC1 = 0

−I2 + IC2 = 0.

Выражаем токи ветвей через напряжения Ua и Uвых :

I1 =

E −Ua

; I2

Ua −Uвых

; IC1

Uвых −Ua

; IC 2

Uвых

Z C1

2Z C 2

Получаем узловые уравнения:

+ R +

;

Ua −

Uвых = R

вых = 0 .

−

+ 2Z

Ua +

C 2

Следует обратить внимание, что в узловых уравнениях Y12 ≠ Y 21 . Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже.

2300

5100

0.068.10 6

180

1000

ω0

6283

zc1

zc2

j .ω0.C1

.ω0.C2

zc1

2.R2

zc1

. R1

ub_x

2.R2 2.zc2

1.034

0.981i

ub_x

0.071

2.033i

ub_x = 0.07

2.03i

ψub_x

rg.arg(ub_x)

ψub_x =

Ub_xm

ub_x

Ub_xm = 2.88

Комплексное действующее значение

Uвых

= 0,07 − 2,03 j = 2,033e− j88 В.

Амплитудное значение

Um = 2 2,033 = 2,88 В.

Поскольку E =1e j0 , то угол сдвига фаз

ψ = 0 − (−88 ) = 88 .

←Исходные данные.

←Формула перевода из радиан в градусы.

←Расчет комплексных сопротивлений емкостей на частоте f.

←Расчет узловых напряже-

ний Ua и Uвых .

←Расчет Uвых .

←Расчет начальной фазы выходного напряжения.

←Расчет амплитудного значения выходного напряжения.

Примечания. Для цепи со схемой рис. 3.10 узловые уравнения можно записать непосредственно по виду схемы:

Ua −

U1 −

Uвых =

;

= 0 ;

−

+ Z

+ R

C 2

U1 −Uвых2 = 0,

откуда

−

;

Z C1

2R2

Z C1

вых

	1		1		1
−				+
	R		2R		2Z
		Ua +				C 2	Uвых = 0 .
	2		2

Задача 3.10

Для электрической цепи со схемой рис. 3. 11 найти комплексное действующее значение тока I .

	Z	I
		I
J		Z 3
Y1		Z 2
		E
	Рис. 3.11

Параметра элементов ветвей:

Y 1	= j 0,02 Ом –1; Z 2 = j 80 Ом;
Z 3	= 60 Ом; Z =50 Ом;

E =– 100 В; J = j 0,1 j А.

Решение

Для расчета тока одной ветви удобно избрать метод эквивалентного генератора.

Определяем э. д. с. эквивалентного генератора. Разрываем ветвь с сопротивлением Z . Рассчитываем напряжение холостого хода U0 (рис. 1.12).

U0	Уравнение второго закона Кирхгофа
	для контура, указанного на рис. 3.12,

имеет вид

J	Z 3	U0	+ I2 Z 2 –		I1	= 0,
Y1	Z 2	U0	+ I2 Z 2 –		Y1	= 0,
	E	откуда			Y1
	E	откуда
I1	I2	U0	=	I1 – I2 Z 2 .
	Рис. 3.12			Y1
	Рис. 3.12

Находим:

−100

=1e j127 А; I1 = J = j 0,1 А;

Z 2

+ Z 3

j80 + 60

U0 = j0,1 j0,02 – 1e j127

80 j = 69 + 48 j = 84 e j35

В.

Z Г

Определение комплексного сопротив-

ления эквивалентного генератора

Z Г

Z 3

поясняет схема рис. 3.13.

Y 1

Z 2

Z Г =

Z 2 Z 3

Z 2 + Z 3

= 38,4– 21,2 j = 43,86 e− j 29

Ом.

Рис. 3.13

Ток I определяем из уравнения

I =	U	0	=	84e j35		=0,615+0,69j = 0,82e j 47,5 А.
	Z Г + Z			43,86e− j 29	+50

Рассчитаем ток I			методом наложения.

В соответствие с методом ток ветви линейной электрической цепи определяется как алгебраическая сумма частичных токов, вызываемых действием каждого источника в отдельности.

Рассчитаем ток

I01

от действия источ-

I01

ника тока J (схема рис. 3.14).

Комплексное сопротивление

Z 023 = Z +

Z 2 Z 3

Z 2

Z 3

Z 2 + Z 3

= 50 + 38,4 + 28,8j = 88,4 + 28,8j =

= 93 e j18 Ом.

Рис. 3.14

Комплексная проводимость

Y =Y1 +

=0, 02 j + 0.0102 – 3.33 10 –3 j

= 0,0102 + 0,017 j =

Z 023

Ток

= 0,0196 e j58

Ом–1.

I01 =

0,1 j

0,0196e j58 93e j18

Y Z 023

Рассчитаем ток

I02 от действия источ-

ника тока

J (схема рис. 3.15).

Комплексные сопротивления:

Z 2

Z +

Z 02

Z 2 + Z +

= 0,0535+0,013j А.

Z	I02
Y1	Z 3
Y1	Z 2
	E

= 94,12+23,53 j = 97 e j14

Ом;

Рис. 3.15

Z 302 = Z 3 + Z 02

= 60 + 94,12+23,53 j =156 e j8,7 Ом.

Ток

I02

−100

97e j14

=– 0,56– 0,68 j А.

Z 302

Z +

156e j8,7

70,7e− j 45

Ток

I = I01 – I02 = 0,0535+0,013j + 0,56+ 0,68 j = 0,615 + 0,69j = 0,82e j 47,5 А.

3.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1.Записать канонические формы узловых и контурных уравнения.

2.Как определяются собственные Y nn и общие Y km комплексные проводимо-

сти узлов?

3.Определить понятие узлового тока J nn .

4.Как определяются собственные Z nn и общие Z km комплексные сопротивления контуров?

5.Определить понятие собственной э. д. с. контура Enn .

6.Нарисовать граф и схему обобщенной ветви.

7.Записать для схемы рис. 3.16 узловые и контурные уравнения.

8.Определить правила записи то-

пологические матриц инциденций			J1
А, главных контуров В, э. д. с. Eb	I1		J1	Z1
А, главных контуров В, э. д. с. Eb
и токов источников тока Jb
и токов источников тока Jb
обобщенных ветвей.	I2	Z2		I5	Z 5
9. Нарисовать направленный граф	I2	Z2		I5	Z 5
для схемы рис. 3.16. Записать	I3				I6
матрицы инциденций и главных	I3				Z 6
контуров для этого графа.	Z 3				Z 6
10. Записать топологические мат-	Z 3			J4	Z 4
рицы А, Eb и Jb для графа схе-	E3				E6
мы рис. 3.16.					I4
11. Записать уравнения по мето-
ду контурных токов для цепей со				Рис. 3.16
схемами рис. 3.8 и 3.9.				Рис. 3.16

4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами

4. 1. Общие сведения

На рис. 4.1 а, б показаны фрагменты схем электрических цепей с индуктивно связанными элементами. Точками отмечены так называемые одноименные зажимы. Зажимы называются одноименными, если при одинаковом способе «подтекания» тока к этим зажимам потокосцепления само – и взаимоиндукции складываются.

I1		M a)	I1	б)
	L	M a)	обход L1 L1	M L2
обход L1	L	L2	обход L1 L1	M L2
U1	1		U1
	I2	обход L2	I2	обход L2
		U2		U2

Рис. 4.1

В установившимся режиме синусоидального тока напряжение на индуктивно связанных элементах определяются составляющими напряжений само – и взаимоиндукции. Для элементовL1 и L2 напряжения соответственно равны:

	U1 =U L1 ±U M 2 = jωL1I1 ± jωMI2 ;
	U2 =U L2 ±U M1 = jωL2 I2 ± jωMI1 .
	При записи уравнений второго закона Кирхгофа для индуктивно связан-
ных	элементов составляющая напряжения самоиндукции UL1 = jωL1I1 и
UL2	= jωL2 I2 записывается по тем же правилам, что при отсутствии индуктив-

ной связи: знак плюс ставится, если положительное направление тока и направление обхода элемента L1 или L2 совпадают.

Составляющая напряжения взаимоиндукции UM 2 =U12 = jωMI2 в урав-

нение для элемента L1 входит со знаком плюс, если направление обхода элемента L1 и направление тока I2 в элементе L2 относительно одноименных зажимов совпадают и со знаком минус, если не совпадают.

Правило знаков для UM 1 =U21 = jωMI1 после замены индексов 1 на 2 и

2 на 1 остается таким же.

Для цепей со схемами рис. 4.1, а, б соответственно имеем:

U1 = jωL1I1 + jωMI2 ; U2 = jωL2 I2 + jωMI1 , U1 = jωL1I1 − jωMI2 ; U2 = jωL2 I2 − jωMI1 .

Каноническая форма уравнений метода контурных токов для цепи с индуктивно связанными элементами могут быть получены непосредственно по

виду схемы электрической цепи.				a)			б)
На рис. 4.2 пока-		L1			L1
заны фрагменты	элек-		M	L2		M	L2
трической цепи с кон-
турным током	Ikk и	Ikk				Ikk
индуктивно связанны-
				Рис. 4.2
ми элементами.			Z kk
В собственное сопротивление				кроме сопротивлений прочих ветвей
войдет величина +2Z M , так как контурный ток Ikk					по отношению одноимен-

ных зажимов ориентирован одинаковым образом (рис. 4.2, а) или − 2Z M , так как контурный ток Ikk по отношению одноименных зажимов ориентирован не одинаковым образом (рис. 4.2, б).

На рис. 4.3 пока-				M	a)			б)
заны фрагменты	элек-							б)
заны фрагменты	элек-							M L2
трической цепи с кон- I		kk	L	L2	I	kk	L	M L2
турными токами	Ikk ,	kk	1			kk	1
турными токами	Ikk ,
Imm и индуктивно свя-				Imm				Imm
занными элементами в					Рис. 4.3
этих контурах.					Рис. 4.3
этих контурах.

В общее сопротивление контуров Z km = Z mk кроме сопротивлений ветвей общих для этих контуров войдет величина + Z M , если контурные токи Ikk и Imm по отношению одноименных зажимов ориентированы одинаковым образом (рис. 4.3, а) или − Z M , если контурные токи Ikk и Imm по отношению одноименных зажимов ориентированы не одинаковым образом (рис. 4.3, б).

Уравнения метода узловых напряжений могу быть получены по виду схемы, если сделать развязку индуктивных связей (рис. 4.4).

jωL1		jωM	jω(L1 −M )
jωL2 M	→		jω(L2 − M )
jωL1			jω(L1 + M )
M	→	− jωM	jω(L2 + M )
M	→
jωL2

Рис. 4.4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб43КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб132Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб41Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб37Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб43Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб38СинТок.pdf