Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / Пост_Ток

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

445.73 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока

Существует две задачи теории электрических цепей – задача анализа и задача синтеза. Задачей анализа является расчёт мгновенных значений токов ветвей электрической цепи, заданной схемой замещения. Параметры активных и пассивных элементов схемы – заданные величины.

Целью синтеза является отыскание структуры электрической цепи и величин параметров её элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданным закономерностям.

Методы решения задачи анализа рассмотрим на примерах цепей постоянного тока.

1. Метод эквивалентных преобразований

Идея метода эквивалентных преобразований заключается в замене двухполюсника одной структуры на двухполюсник с более простой структурой. Эквивалентные преобразования выполняются на основе законов Кирхгофа.

На рис. 1.1 представлен пассивный двухполюсник с последовательным соединением резистивных элементов. На рис. 1.2 – эквивалентная схема замещения двухполюсника.

RЭК

Рис. 1.1

Рис. 1.2

RЭК = R1 + R2 +…+ Rn ;

IR1 + IR2 +…+ IRn =U ; I =

R1 + R2 +…+ Rn

I =

ЭК

На рис. 1.3 представлен пассивный двухполюсник с параллельным соединением резистивных элементов. На рис. 1.4 – эквивалентная схема замещения двухполюсника.

	I			In	I
	I	I	2	In
U	1		2	U	RЭК
U	R1	R		U	RЭК
	R1	R		Rn
			2
	Рис. 1.3				Рис. 1.4

I = I1 + I2 +…+ In ; I1

; I2 =

; In

;

+…+

;

ЭК

	1		1		1		I =	U
I =U		+		+…+		.			.
								RЭК
	R		R		R			RЭК
	1		2		n

В случае n = 2 имеем:	1	=	1	+	1	, откуда R	=	R1R2	.

	RЭК		R1			ЭК		R1 + R2
					R2

Пассивный двухполюсник (рис. 1.5) не содержит участков с последовательным или параллельным соединением резистивных элементов. Соединение резисторов на участке 1-2-3 носит название треугольника (рис. 1.6). Для получения эквивалентного двухполюсника используется преобразование треугольник

– звезда (рис. 1.7). После преобразования получается двухполюсник (рис. 1.8).

I	1	1			1			1
						R12		R12
	R	R2	R1	R2		R12
	1 R			R3		U	R13	R
U	3	3				U	R13	23
U	2	3	2	3	R13	R23
	R4	R5	2	3		R23	2	3
			Рис. 1.6				2	3
			Рис. 1.6			3	R	R5
					2		R	R5
							4

	Рис. 1.5				Рис. 1.7		Рис. 1.8
	Рис. 1.5						Рис. 1.8

Формулы эквивалентных преобразований треугольник – звезда имеют вид:

R12 = R1R2 D ; R13 = R1R3 D ; R23 = R2 R3 D , где D = R1 + R2 + R3 .

Электрическую цепь по схеме рис. 1.9 называют делителем напряжения. Ток и напряжения делителя определяются по закону Ома выражениями:

I =

, U

= IR =

UR1

, U

= IR =

UR2

R1 + R2

+ R2

Напряжения U1 и U2 делятся пропорционально величинам резисторов R1 и R2 (большему резистору соответствует большее напряжение).

Электрическую цепь по схеме рис. 1.10 называют делителем тока. При заданном токе I напряжение делителя U , токи I1 и I2 определяется выражениями:

U = I	R1R2	, I1 =	U	= I	R2	, I2 =	U	= I	R1	.
					R1 + R2
	R1 + R2		R1				R2		R1 + R2

U1 R1

U2 R2

Рис. 1.9

Токи I1 и I2 делятся обратно пропорционально величинам				I
резисторов R1 и R2.				U	I1	I2
Активными называются двухполюсники, в которых				U	R1	R
есть источники э. д. с. и (или) тока. Схема замещения та-					R1	R
кого двухполюсника представлена на рис. 1.11.						2
кого двухполюсника представлена на рис. 1.11.
Результатом эквивалентных преобразований активно-				Рис. 1.10
го двухполюсника является источники напряжения или				Рис. 1.10
тока (рис.1.12).			а)			б)
I		I	а)		I	б)
U		RЭК	U	IЭК	RЭК	U
U		EЭК	U		RЭК	U
		EЭК
Рис. 1.11			Рис. 1.12
			Рис. 1.12
Для двухполюсника по схеме рис. 1.12, а имеем
U (I )= EЭК − RЭКI .
Внешняя характеристика двухполюсника по схеме рис. 1.12, б определится
из уравнения −IЭК + I +U RЭК = 0, откуда
U (I )= RЭКIЭК − RЭКI .
Двухполюсники на рис. 1.12 эквивалентны, если имеют одинаковые внеш-
ние характеристики U (I ) , следовательно
IЭК = EЭК	RЭК ;	EЭК = RЭКIЭК .
Решение типовых задач
Задача 1
На рис. 1 представлена схема замещения цепи постоянного тока. Параметры ре-
зисторов R1 = 100 Ом; R2 = 50 Ом. Напряжение U1 на резисторе R1					равно 10 В.
Рассчитать ток и величину напряжения U.
	R1	R2
U	U1
	Рис. 1
						3

Задача 1Р

Решение

Назначаем положительное направление тока (рис. 1Р)

I	R1	R2
U	U1
	Рис. 1Р

По закону Ома ток

I = U1 = 10 =0,1 А. R1 100

Резисторы соединены последовательно, эквивалентное сопротивление

RЭК = R1 + R2 =100 + 50 = 150 Ом.

Напряжение

U = IRЭК =0,1 150 = 15 В.

Задача 2

Для цепи со схемой замещения на рис. 2 Р рассчитать токи в ветвях и напряжение Uab при R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 15 Ом, R5 = 20 Ом.

Напряжение U = 27 B.

	R1
		R2	R3
U	a	Uab	b
U	a		b
		R	R5
		4
	Рис. 2 Р

Задача 2Р

Решение

Назначаем положительные направления токов

I1, I2, I3 и напряжений U2 и Uab (рис. 2.1Р). Резисторы R2, R4 и R3, R5 соединены последовательно. Поэтому:

R24 = R2 +R4 = 10 + 15 =25 Ом;

R35 = R3+ R5 = 30 + 20 = 50 Ом.

Ветви с токами I2 и I3 соединены параллельно:

R =	R24 R35		=	25 50	= 16, 67 Ом.
				25 +50
	R	+ R
	24	35

Рассчитаем делитель напряжения R1 – R (рис. 2.2Р). По закону Ома получаем:

I	=	U	=	27	=1,25 А;

1		R1 + R		5+16,67

U2	= I1R =1,25 16, 67 = 20,77 В.
Рассчитываем токи:


I2	=		U2	=	20,77	=0,83 А;
			R24		25

I3	=	U2		=	20,77	=0,415 А.
		R35			50

Для расчета напряжения Uab записываем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура на рис. 2.3Р:

−Uab + I2 R4 − I3R5 = 0 .

Напряжение

Uab = I2 R4 − I3 R5 ,

Uab =0,83 15 – 0,415 20 = 4,15 В.

Задача 3

Для цепи со схемой замещения на рис. 3 рассчитать токи в ветвях и напряжение U на источнике тока IК = 1 А.

Параметры резистивных участков: R1 = 5

Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 30 Ом,

R4 = 15 Ом, R5 = 20 Ом.

Uab

Рис. 2.1Р

Рис. 2.2Р

Uab

Рис. 2.3Р

I		R	R3
I	К	1	R5
U
		R2	R4

Рис. 3

Задача 3Р

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 3.1Р). Выполняем преобразование треугольник R1, R3, R5 – звезда R13, R15, R35 (рис. 3.2Р).

IК

D = R1 + R3 + R5 =

= 5 + 30 + 20=55 Ом;

IК

R13 = R1R3 D =

= 5 30/55 = 2,73 Ом;

R35

R15 = R1R5 D =

U5 U4

= 5 20/55 = 1,82Ом;

R2 R4

R35 = R3 R5 D =

=30 20/55 = 10,91 Ом.

Рис. 3.1Р

Рис. 3.2Р

Рассчитываем делитель тока IК.

Токи:

R35 + R4

10,91+15

I2 = IК

=0,687 А;

+ R + R

+ R

1,82 +10

+10,91

+15

I4 = IК

R15 + R2

1,82 +10

=0,313А.

+ R + R

+ R

1,82 +10

+10,91+15

Рассчитываем напряжения:

U2 = I2 R2 =0,687 10 = 6,87 В;

U4 = I4 R4 =3,13 15 = 4,7 В;

U5 = U2 – U4 = 2,17 В.

Токи:

I5 = U5 = 2,17 =0,11 А;

R5 20

I1 = I2 + I5 = 0,687 + 0,11 = 0,797 А;

I3 = I4 – I5 = 0,313 – 0,11 = 0,203 А.

Напряжение на источнике тока:

U = I1R1 + I2 R2 =0,797 5 + 0,687 10 = 10,8 В.

Задача 4

Для цепи со схемой замещения на рис. 4 рассчитать токи в ветвях.

Параметры элементов: R1 = 75 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 15 Ом, Ом;

Е2 = 40 В, Е4 = 20 В, Iк1 = 1 А.

	R1
	Iк1
R2	R3	R4
	R3	E4
E2		E4
E2
	Рис. 4

Задача 4Р

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 4.1Р). Выполняем эквивалентные преобразования активных двухполюсников (рис. 4.2Р):

	R			E					R4
	1			E
				R4	4
I1				R4					Iк4
I1	Iк1		I4
	Iк1		I4
R2		R	R4	Ik 4 =	E4	=	20	=1,33 А.
		R			R4		15
		3	E4	R1
E2			E4	R1				R1	E
	I2	I3			Iк1			R1	1
		I3

Рис. 4.1Р

E1 = Iк1R1 =1 75 = 75 В.

Получаем схему замещения на рис. 4.3Р.

Рис. 4.2Р

Эквивалентное сопротивление

R =

R3R4

30 15

=10 Ом.

+ R4

30 +15

Ik 4

R34

Ik 4R34

Рис. 4.3Р Получаем схему замещения на рис. 4.4Р.

R1	E1
R	R34
2
E	Ik 4R34
2 I2

Рис. 4.4Р

Записываем уравнение закона Кирхгофа: I2 (R1 + R2 + R34 )= E2 − E1 − Ik 4 R34 .

Ток	E2 −E1 − Ik 4R34		40 −75 −1,33 10
I2 =		=		= – 0,509 А.
			75 +10 +10
	R1 + R2 + R34

Возвращаемся к схеме замещения условия задачи. Назначаем положительное направление напряжения U (рис. 4.5Р).

R1	Из уравнения закона Кирхгофа для узла 1:
	−I1	+ Iк1 + I2	= 0 ,

I1			2	I4	определяем ток
1					I1 = Iк1 + I2 =1 – 0,509 = 0,491 А.
	I
R2		к1		R4	Для указанного на рис.4.5Р контура записыва-
			R3		ем уравнение закона Кирхгофа
		U		E4	−U + I1R1 + I2 R2 = E2 .

E2		I2	I3		Рассчитываем напряжение U:
					U = −E2 + I1R1 + I2 R2 ;

		Рис. 4.5Р			U =– 40 + 0,491 75 + (– 0,509) 10 =– 8,246 В.

Ток I3 = U = −8, 246 = – 0,275 А.

R3 30

Из уравнения закона Кирхгофа для узла 2:

I1 −Iк1 + I3 + I4 = 0,

определяем ток

I4 = −I1 + Iк1 − I3 = –0,491 + 1 – (– 0,275 ) = 0,784 А.

Проверяем выполнение баланса мощностей. Мощность нагрузки:

PH = I12R1 + I22R2 + I32 R3 + I42R4 ,

Pн = 0,4912 75 + 0,5092 10 + 0,2752 30+ 0,7842 15 = 32,164 Вт.

Мощность источников:

Pист = Ik I1R1 + E2 I2 + E4 I4 ,

Pист =1 0,491 75 + 40 (– 0,509) + 20 0,784 = 32,164 Вт.

Баланс мощностей Pн = Pист выполняется.

Задача 5

Для цепи со схемой замещения на рис. 5 рассчитать мощность на резисторе Rн. Параметры элементов: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, Rн = 10 Ом. Ток источника тока J = 2 А. Параметр управления α = 0,9.

R αI

Iн

Решение

Рис. 5

Рассчитываем токи:

I = J

= 0,667 А; Iн =αI

=0,9 0,667

=0,45 А.

+ R2

10 +20

+ Rн

30 +10

Мощность

P = I 2 R

= 0,452 10 = 2,025 Вт.

н н

2. Метод узловых напряжений

2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В соответствии с методом определяются напряжения q −1 узла электрической

цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются узловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимаются от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых напряжений равно числу независимых узлов q −1.

Напряжение на любой ветви равно		m	I g		Eg			Rg		k
разности узловых напряжений. Ток I g


любой ветви определяется по второму									Uk 0
закону Кирхгофа для контура: ветвь– на-				Um0					Uk 0
пряжения узлов ветви относительно ба-				Um0
зисного (рис. 2.1). Так для фрагмента це-
пи со схемой рис. 2.1 уравнение второго							0
закона Кирхгофа имеет вид
закона Кирхгофа имеет вид
Ig R +Uk 0 −Um0 = Eg ,						Рис. 2.1
откуда	Eg −Uk 0	+Um0
Ig =	Eg −Uk 0	+Um0		.
Ig =	R			.
	R

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид:

G11 U10 –G12 U20 –G13 U30 = J11 ;

–G21 U10 +G22 U20 –G23 U30 = J22 ;

–G31 U10 –G32 U20 +G33 U30 = J33 .

Собственная проводимость ветвей узла 1 (рис. 2):

G11 = 1 + 1 + 1 + 1

R1 R2 R3 R4

определяется как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 1.

Общие проводимости (рис. 2):

G	=G	=	1	; G	=G	=	1	+	1	;
			R
n1	1n			1k	k1		R R
			1				3		4

Gnk =Gkn =0

определяются как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих соответственно узлам 1–n, 1– k или n – k одновременно.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб43КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб132Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб41Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб37Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб43Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб38СинТок.pdf