Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / Пост_Ток

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

445.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Вклад в узловые токи дают

ветви, содержащие источни-

ки. Источник, стрелка кото-

рого направлена к узлу, в

уравнение входит со знаком

плюс, из узла – со знаком

минус.

Для узла 1 (рис. 2) имеем

J11 =

−

+ J1 − J2 .

Рис. 2

Решение типовых задач Задача 1

Для цепи со схемой замещения на рис. 1 методом узловых напряжений рассчитать токи в ветвях.

Параметры элементов: R1 = 20 Ом,

R2 = 40 Ом, R3 = R4 = 50 Ом, R5 = 25 Ом; Е2 = 100 В, Е4 = 50 В, Iк = 0,5 А.

Задача 1Р

Решение

Назначаем положительные направле-

ния токов (рис. 1Р). Число узлов q = 3. Число уравнений первого закона

Кирхгофа N1= q–1 = 2. Необходимо записать два узловых уравнения.

Отмечаем цифрами узлы 1, 2; назначаем положительные направления узловых напряжений U10 , U20 и токов

ветвей.

Записываем узловые уравнения:

G11U10 −G12U20 = J11 ;

−G21U10 +G22U20 = J22 .

Рис. 1

U20

Один узел

Рис. 1Р

Iк

Матричная форма узловых уравнений имеет вид:

−G

11 .

−G21

G22 U20

J22

Собственные проводимости узлов 1 и 2:

= 0,115 1/ Ом,

G22

= 0,08 1/ Ом.

Общая проводимость

= G

= 0,04 1/ Ом.

50 50

Узловые токи узлов 1 и 2:

= −

= −100 +

50 =– 1,5 А, J

= I

−

= 0,5 − 50 =– 0,5 А.

Узловые уравнения в числовом содержании:

0,115U10 – 0,04U20 = – 1,5;

– 0,04U10 + 0,08U20 = – 0,5.

Решаем полученные уравнения относительно U10 . Для этого умножаем первое

уравнение на 0,08

0,115 0,08U10 – 0,04 0,08U20 = –1,5 0,08;

второе – на 0,04

– 0,04 0,04U10 + 0,08 0,04U20 = –0,5 0,04.

Складываем эти уравнения, находим

−1,5 0,08 −0,5 0,04

=– 18,42 В.

0,115 0,08 −0,04 0,04

Решаем узловые уравнения относительно U20 . Умножаем первое уравнение на

0,04, второе – на 0,115 и складываем, находим

U20

−1,5 0,04 −0,5 0,115

=–15,46 В.

−0,04 0,04 +0,115 0,08

Рассчитываем токи ветвей:

= −

U10

= − −18,42 =

0,92 А; I

E2 +U10

=100 −18,42 =2,04 А;

U10 −U20

−18, 42 −(−15, 46)

=– 0,06 А;

E4 +U20 −U10

50 +(−15, 46)−(−18, 42)

=1,06 А;

U20

= −15, 46 =– 0,62 А.

Баланс мощностей. Мощность источников

Pист = E2I2 + E4 I4 +U20Ik

=100 2,04 + 50 1,06 + (–15,46) 0,5 = 249,2 Вт.

Мощность нагрузок

= I 2R + I 2 R + I 2R

+ I 2 R + I 2 R

=0,922 20 + 2,04 2 40 + 0,062 50 +

1,06 2 50 + 0,622 25= 249,2 Вт.

Баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.

Решение в программе Mathcad.

Исходные данные

R1 := 20

R2 := 40

R3 := 50

R4 := 50

R5 := 25 E2 := 100

E4 := 50

Ik := .5

Определение собственных и общих проводимостей

G11 :=

G22 :=

G12 :=

Определение узловых токов

J11 :=

−E2

J22 := Ik − E4

Определение матриц узловых проводимостей и узловых токов

Gnn :=

G11

−G12

J11

G22

Jnn :=

−G12

J22

Определение узловых напряжений и токов ветвей

U10

:= Gnn− 1

Jnn

U20

I1 :=	−U10	I2 :=	E2 + U10	I3 :=	U10 − U20	I4 :=	E4 + U20	− U10	I5 :=	U20
	R1		R2		R3		R4			R5

Результаты расчета

U10		−18.421	I1	= 0.921 I2 = 2.039 I3 = −0.059	I4 = 1.059 I5 = −0.618
	=	−15.461
U20

Задача 2
Задача 2
Для цепи со схемой замещения на рис. 2
Для цепи со схемой замещения на рис. 2		R2		R1		R3
методом узловых напряжений рассчитать		R2				R3
токи в ветвях. Решение проверить балан-


сом мощностей.					R4		E
сом мощностей.							E
R1 = 200 Ом, R2 = 100 Ом,	J
R1 = 200 Ом, R2 = 100 Ом,
R3 = R4 = 125 Ом,


E = 15 B, J = 0,1 A.
E = 15 B, J = 0,1 A.			Рис. 2
Задача 2Р			Рис. 2
Задача 2Р

Решение

Число узлов q = 4 (рис. 2Р). Необходимо		I1
записать три узловых уравнения.		I1	R2		R1			R3
Принимаем в качестве базисного узел 0.				I2	R1		I3
Принимаем в качестве базисного узел 0.	1				2				3
Отмечаем цифрами узлы 1, 2 и 3. Назнача-	1				2				3
ем положительные направления узловых			U20				R		E
напряжений U10 , U20 , U30 и токов ветвей.			U20				R		E
напряжений U10 , U20 , U30 и токов ветвей.		J					4	U30
Напряжений узла 3 относительно ба-		J				I4		U30	I
зисного U30 = Е. Уравнения узловых на-		U10				I4			I
зисного U30 = Е. Уравнения узловых на-					0
пряжений имеют вид:					0
G11U10 −G12U 20 −G13U30		= J11 ,		Рис. 2Р
G11U10 −G12U 20 −G13U30		= J11 ,
−G21U10 +G22U 20 −G23U30 = J22 ,

U 30

= E .

= 0,015 Ом–1; G

= 0,01

Ом–1; G

= 5 10−3

Ом–1;

G22

= 0,026 Ом–1; G21

= G12;

G23 =

= 8 10−3 Ом–1;

J11 = J = 0,1 А; J22

= 0 .

Решение для узловых напряжений U10 и U10 в матричной форме записи имеет вид

U			G	−G	−1	J +G E
	10	=	11	12			13	.
U20		−G21		G22			G23E

Подставляем численные значения и решаем, например, в программе Mathcad. Узловые напряжения:

				U10 =55,7 В, U20			= 26,03 В.
Токи ветвей определяем по уравнениям:
I1	=	U10 −U30	=	55,7 −15	= 0,2 А, I2 =	U10 −U20		=	55,7 −26,03	= 0,3 А,
		R1		200					100
							R2

U20 −U30

26,03 −15

= 0,09

А, I4

U20

26,03

= 0,21 А,

125

I = −I1 − I3 = −0,2 −0,09 = −0,29 А.

Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников

Pист =U10 J + EI =55,7 0,5 +15 (−0,29) = 23,47 Вт.

Мощность, рассеиваемая в резисторах,

Pн = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 =

= 0,22 200 +0,32 100 +0,092 125 +0,212 125 = 23,47 Вт.

Pист = Pн , баланс мощностей выполняется, задача решена верно.

Задача 3

Найти токи ветвей и напряжение U цепи по схеме рис. 3. Проверить решение, составив баланс мощностей.

R1 = 91 Ом, R2 = 510 Ом,

R3 = 470 Ом, R4 = 330 Ом, R5 = 220 Ом,

E = 220 B, J = 1 A.

		J
	R1	U
		U
R4	R2	R3
R4	E	R
	E	5
	Рис. 3

Задача 3Р

Решение

Число узлов q = 4 (рис. 3Р). Необходимо

записать три узловых уравнения. При-

нимаем в качестве базисного узел 0.

Отмечаем цифрами узлы 1, 2 и 3. На-

значаем положительные направления уз-

ловых напряжений U

, U

и токов

ветвей. Напряжений узла 2 относительно

U10

U20

базисного U20 = Е.

U30

Уравнения

узловых

напряжений

имеют вид:

Рис. 3Р

G11U10 −G12U20 −G13U30

= J11,

U20 = E,

−G31U10 −G32U20 +G33U30 = J33.

Проводимость ветви с источником тока (ветвь с током I1 = J ) равна нулю, по-

этому собственные и общие проводимости узлов соответственно равны:

G	=	1	+	1	, G	=	1	+	1	, G	=

11		R2		33			R3		12
				R 4					R5

Узловые токи: J11 = – J, J33 = J.

Решение узловых уравнений имеет вид:

U10 = − J +G12 E , U30

G11

1 , G32 = 1 , G13 = G31 = 0.

R2 R3

= J +G32 E .

G33

Подставляем данные условия задачи, находим напряжения U10, U30:

U10= – 114 B, U30 = 220 B.

Токи ветвей


I2	=	U10 − E		= – 0,655	A, I3	=	E −U30	= 0 A,

			R2				R3
	I4		= −U10 = 0,345		A, I5	= U30 =1 A.
			R4				R5

Ток I рассчитываем по закону Кирхгофа для узла 2:

I = I3 − I2 = 0,655 А.

Для расчета напряжения U на источнике тока записываем уравнение по второму закону Кирхгофа по контуру: ветвь с источником тока и напряжения узлов 1 и 3 относительно базисного:

JR1 −U +U30 −U10 = 0,

откуда

U = JR1 +U30 −U10 .

Рассчитываем напряжение U :

U =1 91+220 −(−114) = 425 В.

Баланс мощностей. Мощность, рассеиваемая резисторами:

PR = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 =569 Вт.

Мощность источников при принятых положительных направлениях тока I и напряжения U определяется по выражению:

Pист = EI +UJ =569 Вт.

Баланс мощностей выполняется.

Задача 4

Найти токи ветвей цепи, содержащей зависимый источник напряжения µU1 ,

управляемый напряжением (рис. 4). Параметры пассивных элементов:

R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом,

R4 = 40 Ом, R5 = R2.

Параметр управления µ = 0,5;

Е1 = 15 B, Е3 = 5 B.

Проверить решение, составив баланс мощностей.

Задача 4Р

Решение

Число узлов q = 3 (рис. 4Р). Необходимо записать 2-а узловых уравнения.

Отмечаем цифрами узлы 1, 2. Назначаем положительные направления узловых напряжений U10 , U20 и токов

ветвей.

Уравнения узловых напряжений имеют вид:

G11U10 −G12U20 = J11 ,

−G21U10 +G22U20 = J22 .

	R3
	E3
U1	R	R4
U1	1
	R2	R
	E1	5
	E1
	µU1
	Рис. 4

I4 I5

µU1

U20

U10

Из схемы замещения следует:

Рис. 4Р

G =

, G =

;

R5 R3

R2 R3

= −

+ µU1 .

Выражаем напряжение U1 через узловое напряжение U10 и э. д. с. Е1. Получаем

U1 = E1 −U10 .

Узловой ток

µ(E1 −U10 )

µE

µU

J22

= −

−

10 .

Уравнения узловых напряжений принимают вид:

−

= −

µE1 .

R R

Уравнения узловых напряжений в числовом содержание: 0,183U10 – 0,033U20 = 1,667,

– 0,021U10 + 0,108U20 = 0,021.

Решаем уравнения, получаем:

U10 = 9,457 В, U20 = 2,011 В.

К45 новый

Рассчитываем напряжение U1 токи ветвей:

U1 = 15 – 9,457 = 5,543 В;

E1 −U10

15 −9,457 =0,554 А; I

U10

= 9,457 =0,473 А;

U10 −U20 −E3

= 9,457 −2,011−5

=0,082 А;

µU1 −U20

= 0,5 5,543 −2,011

=0,019 А; I5

U20

2,011

=0,101 А.

Баланс мощностей. Мощность, рассеиваемая резисторами

PR = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 =7,96 Вт.

Мощность источников

Pист = E1I1 − E3 I3 +µU1I4 =7,96 Вт.

Баланс мощностей выполняется.

Задача. 5

На рис. 5Рпредставлена схема замещения электрической цепи, содержащая зависимый источник тока, управляемый током. Найти напряжение U2 на нагрузке

R , если R1 =220 Ом; R2 =20 Ом; R3 =470 Ом; R =510 Ом. Параметр α = 0,95

– коэффициент усиления по току, напряжение Е = 5 В.

Решение
			αI1		Назначаем положительные направления
					токов. Уравнения по первому закону
I1	R1	1 I3	R3		Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:
I1	R1	1 I3	R3	2	− I1 + I2 + I3 +αI1 = 0;
E		I2	U2		− I3 −αI1 +	U	2	= 0 .
E		R2		R	− I3 −αI1 +	R		= 0 .
				R		R
					Выражаем токи ветвей через напряжения
		0			Выражаем токи ветвей через напряжения
		0			U1 и U2 узлов 1 и 2 относительно узла 0.
		Рис. 5Р			По закону Ома:

I1 =	E −U1 ; I2	= U1 ; I3	= U1 −U2 .
	R1	R2	R3

Подставляем эти выражения в уравнения по первому закону Кирхгофа, получаем узловые уравнения:

1 −α

− R

U20 =

R (1

−α);

U10

−

= α R .

− R

U10 + R

U20

Из уравнений имеем:

G =

1−α

; G

−

;

J11

(1 −α);

J22 = α

Следует обратить внимание, что в схеме замещения цепи с зависимым источником G12 ≠ G21, а каноническую форму узловых уравнений непосредственно по

виду схемы без определения неких дополнительных правил получить нельзя.

Записываем полученные уравнения в матричной форме

GnnUn0 = Jnn ,

	G	−G		J	11	–
где Gnn = −G11		G	12	– матрица узловых проводимостей, Jnn = J	11	–
	21		22		22

матрица узловых токов, Un0 = U1 матрица узловых напряжений.

Решение матричного узлового уравнения имеет вид

Un0 = G−nn1Jnn .

Подставляем численные значения, получаем:

		0,052		−2,128 10	−3		10	−3
Gnn =		0,052		−2,128 10		; Jnn = 1,136	10		;
	2,191		10−3	4,088 10−3		0,022
Un0	0,231
Un0	=		,
	5,157

откуда

U1 = 0,231 В;U2 =5,157 В.

Правильность решения проверяем балансом мощностей. Мощность, рассеиваемая в резисторах и зависимом источнике тока:

= (E −U1 )2

U12

+ (U1 −U2 )2

+α

E −U1

−U

);

пот

Pпот= 0,108 Вт;

Мощность источника

Pист = E E −U1 =0,108 Вт.

Pпот=Pист , задача решена верно.

Задача. 6

На рис. 6Р представлена схема замещения разветвленной электрической цепи. Рассчитать токи ветвей методом узловых напряжений. Параметры резисторов:

R1 = 100 Ом; R2 = 130 Ом; R3 = 43 Ом; R4 = 75 Ом; R5 = 91 Ом; R6 = 110 Ом; R7 = 200 Ом. Источники: Е1 = 15 В; Е5 = 24 В; Е7 = 8 В; J6 =0,2 А; J7 = 0,1 А.

Проверить выполнение баланса мощностей.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб44КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб134Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб42Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб38Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб44Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб39СинТок.pdf