2курсТОЭ / Пост_Ток

Решение.

В схеме q = 4 узлов. По методу узловых напряжений необходимо составить три уравнения. Положительные направления токов в ветвях указаны на рис. 2.7. Каноническая форма записи узловых уравнений имеет вид

G11U10 −G12U20 −G13U30 = J11 ,

−G21U10 +G22U20 −G23U30 = J22 ,

−G31U10 −G32U20 +G33U30 = J33 ,

или

Gnn Un0 = Jnn .

21

Решение этого уравнения

Un0 = G−nn1Jnn .

Уравнения для расчета токов ветвей:

Баланс мощностей:

− мощность PR , рассеиваемая резисторами,

PR = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 + I72 R7 ;

− мощность, генерируемая источниками,

Pист = E1I1 + E5 I5 − E7 I7 −U20 J6 +U30 J7 .

Для численного решения воспользуемся математическим пакетом MathCAD.

22

Pej = 3.511

Токи ветвей:

I1 = 0,04 A; I2 = – 0,084 A; I3 = – 0,103 A; I4 = 0,059 A;

I5 = 0,044 A; I6 = – 0,082 A; I7 = 0,063 A.

Рассеиваемая резисторами мощность PR = 3,511 Вт. Мощность, генерируемая источниками Pист =3,511 Вт. Баланс мощностей выполняется, задача решена верно

3. Метод контурных токов

3.1. Общие сведения

Метод контурных токов основан на уравнениях второго закона Кирхгофа. Метод позволяет для решения задачи расчета токов ветвей уменьшить количество совместно решаемых уравнений до числа независимых контуров b −q −bk +1

(b – число ветвей, bk – число ветвей c источниками токов, q – число узлов).

I11 (R1 + R2 + R3 + R4 )+ I22 R2 – I33R3 + I44 R4 – I55 R1 + Jk1R1 = E2 − E3 .

23

Каноническая форма уравнений по методу контурных токов для случая 3-х независимых контуров имеет вид:

I11R11 + I22 R12 + I33R13 = E11 ;

I11R21 + I22 R22 + I33 R23 = E22 ;

I11R31 + I22 R32 + I33 R33 = E33 .

Сопротивления R11 , R22 , R33 с одинаковыми индексами называются собст-

венными и определяются как суммы сопротивлений ветвей, входящих в 1-й, 2-й, 3-й контур.

Сопротивления R12 = R21 , R13 = R31, R23 = R32 с разными индексами назы-

ваются общими и определяются как алгебраические (со знаком + или –) суммы сопротивлений ветвей, входящих в 1-й и 2-й, 1-й и 3-й, 2-й и 3-й контуры. Знак плюс, если направления контурных токов на общих сопротивлениях совпадают.

Э. д. с. E11 , E22 , E33 называются собственными э. д. с. контуров и опреде-

ляются как алгебраические суммы э. д. с., входящих в соответствующие контура. Со знаком плюс берутся те э. д. с., направления которых совпадают с направлением контурного тока.

Решение типовых задач Задача 1

Методом контурных токов найти токи ветвей цепи со схемой замещения рис. 1.

Параметры элементов: R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 5 Ом,

R6 = 6 Ом; Е1 = 10 В, Е2 = 20 В, Е3 = 30 В, Е4 = 40 В, Iк = 1 А.

Задача 1Р

Решение

Назначаем положительные направления токов ветвей (рис. 1Р).

24

Рис. 1Р

На схеме замещения цепи число узлов q = 3, ветвей b = 5, ветвей с источниками токов bк = 1. Независимых контуров b – q – bк + 1 = 2. Необходимо записать 2 уравнения по методу контурных токов.

Назначаем контурные токи I11, I22 . Контурный ток I33 = Iк = 1 А.

Контурные уравнения имеют вид:

R11I11 + R12I22 + R13I33 = E11;

R21I11 + R22I22 + R23I33 = E22 .

Собственные сопротивления:

R11 = R1 + R2 + R3 + R4 = 1 + 2 + 3+ 4 = 10 Ом;

R22 = R4 + R5 + R6 = 4 + 5 + 6 = 15 Ом;.

Общие сопротивления:

R12 = R21 = −R4 = – 4 Ом; R13 = 0 ; R23 = R6 = 6 Ом.

Собственные э. д. с. контуров:

E11 = E1 + E2 −E3= 10 + 20 – 30 = 0; E22 = E3 − E4 = 30 – 40= –10 В.

Подставляем полученные числа в контурные уравнения, переносим известную величину R23I33 = 6 В в правую часть второго уравнения. Получаем:

10I11 −4I22 = 0 ;

−4I11 +15I22 = −16.

Решаем систему полученных уравнений, находим контурные токи:

I11= – 0,478 А, I22 = –1,194 А.

Токи ветвей:

I1 = I11 =– 0,478 А, I2 = I11 − I22 = 0,716 А,

I3 = I22 =–1,194 А, I4 = I22 + I33 =– 0,194 А.

Баланс мощностей.

Мощность, рассеиваемая в нагрузках:

25

Pн = I12 (R1 + R2 + R3 )+ I22R4 + I32R5 +I42R6 =

=(−0, 478)2 6 +0,7162 4 +(−1,194)2 5 +(−0,194)2 6 =10,776 Вт.

Мощность источников:

Pист =(E1 + E2 )I1 − E3I2 − E4I3 + I4 R6Ik =

= 30 (–0,478) – 30 (0,716) – 40 (–1,194) + (–0,194) 6 1 = 10,776 Вт.