Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / СинТок

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

780.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Решение

Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление ХС емкости С на частоте ω = 314 с–1:

ХС =

106

=40 Ом.

ωC

314 79,62

Полное сопротивление цепи

Z = R2 + XC2 = 302 + 402 =50 Ом.

Амплитудные значения:

тока i : Im =

141

= 2,82 А;

напряжения на резисторе R: UmR = RIm = 30 2,82 = 84,6

В;

напряжения на емкости С: UmC = X C Im = 40 2,82 = 112,8 В.

Угол сдвига фаз между напряжением u и током i

ϕ = arctg

X эк

= arctg

− XC

= arctg

− 40

= – 53°.

Начальная фаза тока i определяется из соотношения ψu −ψi

= ϕ. Откуда,

ψi = −ϕ = 53°.

Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи:

i = Im sin(ωt + ψi )=2,82 sin(314t +53 )А;

uR =UmR sin(ωt + ψi )=84,6 sin(314t +53 )t В;

uC =UmC sin(ωt + ψi −90 )=112,8 sin(314t −37 )В.

Действующие значения:

I = Im =2 А;

UR = UmR =60 В;

UC = UmC =80 В.

Задача 1.3

Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; ϕ = 30°.

Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника.

Решение.

Имеем по определению:

Z = UI =5 Ом;

Rэк	= Z cos ϕ = 5cos30	=4,33 Ом;
X эк	= Z sin ϕ = 5sin 30	= 2,5 Ом.
Задача 1.4

В цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах f1 =500 Гц

f2 =1000 Гц равны, соответственно, I1 = 1 А и I2 = 1,8 А.

Определить параметры цепи R и С, если на этих частотах напряжение на входе

U = 100 B.

Решение

По определению на частотах

f1 и f2

имеем:

Z1 =

;

Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим:

; Z2 = R +

Z1 = R + ω C

C .

Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений

2 ;

= Z

ω C

= Z2 .

ω2C

Программа расчета в пакете Mathcad.

← Присвоение переменным заданных

100

500 f2

1000

1 I2

1.8

z1 = 100

z2 = 55.556

условием задачи величин.

← Расчет полных сопротивлений на

ω1

2.π.f1

ω2

2.π.f2

частотах f1 и f2.

100

10 6.1

← Расчет угловой частоты.

Given

← Задание

приближенных

значений

z12

параметров R и С цепи.

← Решение системы нелинейных урав-

ω1.C

нений.

нажмите [Ctrl]

z22

Для набора

ω2.C

RC Find(R, C)

27.962

RC =

3.315 10 6

←Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и С цепи.

←R = 27, 9 Ом, С = 3,3 мкФ.

Значения параметров цепи: R = 28 Ом; С = 3,3 мкФ.

Задача 1.5

Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью G = 0,011 Ом–1 и реактивной проводимостью В = 0,016 Ом –1. Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В.

Решение

Полная проводимость

Y =

G2 + B2 = 0,0112 + 0,0162 = 0,019 Ом–1.

Действующее значение тока

I =YU = 0,019 30 = 0,58 А.

Активная мощность

P =UI cos ϕ =UI

= 30 0,58

0,011

= 10,1 Вт.

0,019

Задача 1.6

Действующее значение синусоидального тока ветви с

резистором R равно 0,1 А (рис1.11). Найти действующие

значения напряжения u, токов iL и i, если R = 430 Ом;

X L = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и пол- u

ная мощности этого двухполюсника?

Решение

Положительные направления напряжения и токов ука-

Рис. 1.11

заны на рис. 1.11.

Действующее значение тока IR =0,1 А.

По закону Ома U = IR R = 0,1 430 = 43 В.

Ток

IL =

= 0,072 А.

600

X L

Ток

I = IR2 + IL2 = 0,12 + 0,0722 = 0,123 А.

Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имеем

	1	2		1	2		1	2		1	2	–3	–1
Y =	1			1		=	1			1	= 2,86 10	–3	–1
Y =			+			=			+		= 2,86 10		Ом .
	R			X L			430			600

Ток

I =YU = 2,86 10 –3 43 = 0,123 А.

Мощности:

P = IR2 R = 4,3 Вт; Q = IL2 X L = 3,082 ВА, S =UI =5,29 ВА.

Выполняется соотношение P2 +Q2 = S 2 .

Задача 1.7

Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 UC =24 В.

Найти действующие значения напряжения u и тока i, если ХС = 12 Ом;

R = 16 Ом.

Решение

Определяем действующее

I = UC = 24 = 2 А.

XC 12

Полное сопротивление цепи

Z = R2 + XC2 = 162 +122 = 20 Ом.

Действующее значение напряжения u U = IZ = 2 20 = 40 В.

Задача 1.8

Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения и токаи активной мощности

(рис. 1.12).

Показания приборов:

i	A	W	I

			iC	C
	u	U			П
			U
		Рис. 1.12

А → 0,5 А; U → 100 В; W → 30 Вт.

Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (ВС < Вэк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника.

Решение

Действующие значения: I = 0,5 А, U = 100 В. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, Р = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника

Z =

100

= 200 Ом.

0,5

Эквивалентное активное сопротивление

а)

б)

= 120 Ом.

эк

I 2

0,25

I ′

I′

Эквивалентное реактивное сопротивление

ϕ< 0

X эк

Z 2 − R2

= 2002 −1202 =

ϕ> 0

= 160 Ом.

Рис. 1.13

Характер реактивного сопротивления индуктивный ( Хэк = X L ,

ϕ > 0 ). После

включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I′ < I . Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13, б.

Полная проводимость двухполюсника

Y = UI = 1000,5 = 5 10−3 Ом –1 .

Эквивалентная активная проводимость

Gэк = UP2 = 100302 = 3 10−3 Ом –1 .

Эквивалентная реактивная проводимость

B = Y 2	−G2	= 25 10−6 −9 10−6 = 4 10−3 Ом –1 .
эк	эк

Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,

ZR = GY и XZ = YB .

Следовательно,

Gэк = RZэк2 = 2001202 = 3 10−3 Ом –1; Bэк = XZэк2 = 2001602 = 4 10−3 Ом –1.

1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону uL =141sin(1000t −30 ) .

Найти мгновенное значение тока в индуктивности.

2. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен i = 0,1sin(400t + π3) А. Найти мгновенное значение напряжения на емкости.

3. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением

R = 160 Ом и емкостью С = 26, 54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока i = 0,1sin 314t А.

Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?

4.Записать уравнения идеальных элементов в цепи синусоидального тока. Нарисовать векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов.

5.Определить понятие угла сдвига фаз ϕ. Почему возникает угол ϕ в цепях синусоидального тока?

6.Как определить действующее значение синусоидального тока (напряжения)? Какой физический смысл имеют эти величины?

7.Дать определение активной мощности. В каких единицах измеряется активная мощность? Нарисовать схему включения ваттметра.

8.В чем заключается разница между активной, реактивной и полной мощностями?

9.Определить понятия активных и реактивных составляющих напряжения и тока.

10.Как определяются полное, эквивалентные активное и реактивное сопротивления пассивного двухполюсника?

11.Как определяются полная, эквивалентные активная и реактивная проводимости пассивного двухполюсника?

12.Как экспериментально определить эквивалентные параметры пассивного двухполюсника?

13.На участке цепи последовательно включены сопротивление R = 1000 Ом и индуктивность L = 0,12 Гн. Действующее значение синусоидального напряжения U R = 10 В. Частота f = 1000 Гц.

Найти действующие значения тока и напряжения на участке цепи.

14.Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентным активным сопротивлением R = 160 Ом и эквивалентным реактивным сопротивлением Х = 120 Ом . Напряжение на входе двухполюсника U = 20 В.

15.Найти действующее значение тока i в электрических цепях со схемами рис.

1.14, а, б, в. U = 100 В, R = 80 Ом, X L = 100 Ом, X C = 60 Ом.

i	R	а)	i		б)	i		в)
i		а)
u		X L	u	R	X C	u	R	X	L
u		X L	u	R	X C				L

Рис. 1.14 16. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; ϕ = – 30°.

Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления и проводимости двухполюсника.

2. Комплексный метод расчета

2.1. Общие сведения

При расчетах установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока мгновенным значениям синусоидальных функций времени ставят в соответствие комплексные мгновенного значения. Например, для тока i(t) = Im sin(ωt + ψi ) комплексные мгновенного значение имеет вид

i = Ime j(ωt+ψi ) = Ime jψi e jωt = Im cos(ωt + ψi ) + jIm sin(ωt + ψi ) .

Мнимая часть комплексного мгновенного значения равна i(t) : i(t) = Im[Ime j(ωt+ψi ) ].

Комплексное число Im = Ime jψi называют комплексным амплитудным значением или комплексной амплитудой, а

I = Im2 = Ie jψi

– комплексным действующим значением тока.

Аналогично определяются комплексные мгновенные значения синусоидальных напряжений, э. д. с., электрических зарядов, магнитных потоков и т. д.

Так, напряжению u(t) =Um sin(ωt + ψu ) и э. д. с. e(t) = Em sin(ωt + ψe ) соответствуют комплексные мгновенные значения

u =Ume jψu e jωt , e = Eme jψe e jωt ,

комплексные амплитуды Um =Ume jψu , Em = Eme jψe и комплексные действующие значения

U =Ue jψu , E = Ee jψe .

Производной от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция умножения на jω комплексного мгновенного значения:

dtd (Im sin(ωt + ψi ))= ωIm sin(ωt + ψi + π2) →

→ ωIme jωt e jψi e j 2 = jωIme jωt e jψi = jωi .

Интегралу от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция деления на jω комплексного мгновенного значения:

∫(Im sin(ωt + ψi ))= 1 Im sin(ωt + ψi − π 2) →

→

m e

jωt

jψ

i e

− j π

m e

jωt

jψ

i =

2 =

jω

В последних выражениях использовалась формула Эйлера:

e± jα = cos α ± j sin α.

При α =

π имеем: e j 2 = j ,

e− j 2 = − j = 1 .

Математические модели идеальных элементов в комплексной форме при-

ведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Установившийся синусоидальный режим

Идеальный

Математическая модель

элемент

элемента относительно ве-

элемента в комплексной

щественных функций вре-

форме

мени

Сопротивление

uR = RI m sin(ωt + ψi )

U R

= IR

Индуктивность

π)

uL = ωLIm

sin(ωt + ψi +

U L = jωLI = jX L I = X L Ie j 2

Емкость

− j

uC = ωC Im sin(ωt + ψi −

UC =

jωC = − jXC I = X C Ie

Для пассивного двухполюсника (рис. 2. 1, а), вводятся по определению

следующие величины:

Комплексное сопротивление

Z = U

= Ue jψu

= Ze j(ψu −ψi ) = Ze jϕ = Z cos ϕ+ jZ sin ϕ = R + jX ,

Ie jψi

Комплексная проводимость

Y =

I =

Ie jψi =Ye− j(ψu −ψi ) =Ye− jϕ =Y cos ϕ− jY sin ϕ = G − jB .

Ue jψu

Из последних выражений следует, что этот участок цепи можно представить в виде последовательно соединенных эквивалентных активного R и реактивного X сопротивлений (рис. 2. 1, б), либо параллельно соединенных эквивалентных активной G и реактивной B проводимостей (рис. 2. 1, в). Выше приве-

денные выражения имеют место при ϕ > 0.

I	I	R	jX	I

U	П	U	U	G	− jB
	а)
		б)			в)

Рис. 2.1

В таблице 2.2 приведены схемы типичных участков цепи синусоидального тока и комплексные сопротивления этих участков.

Таблица 2.2

Схема участка цепи

Комплексное сопротивление

Z R = R

Z L =

jωL = jX L = X Le

j π2

Z C = − j

== − jX C = XC e

− j π

ωC

Z 2

Z = Z1 + Z 2

Z1 Z 2

Z 2

Z =

Z1 + Z 2

Переход к комплексным сопротивлениям и проводимостям и комплекс-

ным действующим значениям напряжений и токов позволяет:

1. Записать закон Ома для участка цепи U = ZI ,

2. Первый закон Кирхгофа для любого узла ∑Ik = 0 (алгебраическая сумма

по всем k ветвям узла),

3. Второй закон Кирхгофа для любого контура ∑Ul = ∑El (алгебраические

l l

суммы по всем l ветвям контура),

Мощности источников и пассивных участков цепи в комплексной форме записи имеют вид

S =UI =Ue jψu Ie− jψi = Se jϕ = S cos ϕ+ jS sin ϕ = P + jQ,

где S комплексная мощность, I = Ie− jψi сопряженный комплекс действующего

значения тока, S полная мощность.

В цепи синусоидального тока выполняется баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников и нагрузок

∑S EJ = ∑S Z , ∑PEJ = ∑PZ , ∑QEJ = ∑QZ , l l l l l l

где S EJ , PEJ , QEJ комплексная, активная и реактивная мощности источников э. д. с. и тока, S Z , PZ , QZ комплексная, активная и реактивная мощности нагрузок Z . Суммирование в этих выражениях ведется по всем ветвям цепи.

Комплексная мощность источника э. д. с. E или тока J в зависимости от выбранных положительных направлений напряжений и токов определяется по выражениям, приведенным в таблице 2.3.

I						Таблица 2.3
I		I	J			J
E		E	J	U		J
E		E		U			U
							U
S = EI		S = −EI	S	=	UJ	S	= −
			S		UJ	S	UJ
Комплексную мощность нагрузки			Z удобно вычислять по выражению
		S Z =UZ I = ZII = ZI 2 = I 2 R + jI 2 X ,
где UZ комплексное действующее значение напряжения на нагрузке Z .
2.2. Решение типовых задач
Задача 2.1
Мгновенное	значение напряжения u =14,1sin(100t −30 )					В. Записать ком-

плексное мгновенное значение напряжения. Чему равна комплексная амплитуда и комплексное действующее значение этого напряжения?

Решение

По определению

-	комплексное мгновенное значение u =14,1e j(100t−30 ) В,
-	комплексная амплитуда Um =14,1e− j30 В,
-	комплексное действующее значение U =Um 2 =10e− j30 В.

Задача 2.2

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб43КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб132Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб41Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб37Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб43Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб38СинТок.pdf