Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2курсТОЭ / СинТок

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

780.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

I						Матрицы э. д. с. ветвей Eb , токов
	Ib		1	Jb		источников тока Jb формируются по
Ub	Y b	=	1	Jb		тем же правилам, что для цепи постоян-
Ub	Y b	=	Z b		I	ного тока. Коэффициенты в этих мат-
U			Z b	U	I	ного тока. Коэффициенты в этих мат-
U	Eb			U		рицах– комплексные действующие зна-
	Eb					чения. Коэффициенты в матрицах со-
						противлений – комплексные сопротив-
		Рис. 3.1				ления Zb , в матрицах проводимостей –
		Рис. 3.1				комплексные проводимости Y b ветвей.

Матрицы приобретают вид Zb и Yb .

Матричное уравнение метода узловых напряжений для цепи синусоидального тока имеет вид

A Yb AT Un0 = −A YbEb + A Jb .

Обозначив через Ynn = Ab Yb AT квадратную матрицу комплексных узловых проводимостей, через Jnn = − A YbEb + A Jb столбцевую матрицу ком-

плексных действующих значений узловых токов, получим узловые уравнения в матричной форме

YnnUn0 = Jnn .

Решение этого уравнения

Un0 = Ynn−1 Jnn

определяет матрицу комплексных действующих значений узловых напряжений. Далее рассчитываются напряжения

U = AT Un0 , Ub = U + E

и токи

Ib = YbUb , I = Ib − J .

Матричное контурное уравнение для цепи синусоидального тока имеет вид

B ZbBT Inn = −B ZbJb + B Eb .

Обозначив через Znn = B ZbBT квадратную матрицу комплексных контурных сопротивлений, через Enn = −B ZbJb + B Eb матрицу комплексов действующих значений э. д. с. контуров, получим контурное уравнение в матричной форме

Znn Inn = Enn .

Решение этого уравнения

Inn = Znn−1 Enn

определяет матрицу комплексных контурных токов. Далее рассчитываются токи ветвей:

I = BT Inn ; Ib = I + J ,

и напряжения:

Ub = ZbIb ; U = Ub −E.

3. 2. Решение типовых задач

Задача. 3.1

На рис. 3.1 показан фрагмент цепи синусоидального тока.
Найти действующее значение напряжения U , ес-		E	Z	I
π				I
ли E = 220 В; I =15e− j 6 А; Z =4 + j 2 Ом.


Решение
Назначаем положительные направления тока I и		U
напряжения U .	Рис. 3.1

Уравнение второго закона Кирхгофа для принятого на рис. 3.1 направления обхода контура имеет вид

U – I Z =– E .

Откуда

− j π

U = I Z – E = 15e 6 – 220 = – 267,6 – j 47,2 В.

Действующее значение напряжения равно:

U = U = 271,8 В.

Задача. 3.2
На рис. 3.2 показан фрагмент цепи синусоидального тока.
Найти ток I , если U = 380 В; E = 220 e j120 В;		I
J = − j 20 А; Z =5 – j 2 Ом.			Ib	J
Решение. Назначаем положительные на-			Z	J
правления токов ветвей и напряжения U .	U		Z
правления токов ветвей и напряжения U .	U
Уравнения Кирхгофа имеют вид			E
– I + J + Ib = 0;
– I + J + Ib = 0;
U – Ib Z =– E .
U – Ib Z =– E .
Из второго уравнения находим:		Рис. 3.2

Ib =	U + E	=	380 + 65,18 − j210	=91,25 – j 5 А.
	Z		5 − j2

Из первого уравнения получаем:

I =J + Ib = –j 20 + 91,2 – j 5 = 91,25 – j 25 = 94,75 e− j15,6 А.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

. .

← Исходные данные.

380

220.e

e = 65.185

210.121i j

j .20

ib = 91.247

5.525i

← Расчет тока ветви.

i = 91.247

25.525i I

I = 94.75

← Расчет тока I в показа-

ψi

180

.arg(i)

ψi =

15.628

тельной форме записи. Ар-

гумент в градусах.

Задача 3.3

Цепь со схемой рис. 3.3 содержит идеальный операционный усилитель ОУ. Па-

раметры цепи	R1 =R2 =R3 =R = 47 кОм, С = 0,068 мкФ. Найти напряжение
uвых , если uвх	=10 sin 314t В.

Решение

Назначаем положительные направления токов (рис. 3.3). Uвх = 102 В. Поскольку

усилитель идеальный (токи входов равны нулю), уравнение по законам Кирхгофа имеют вид

I1 + I2 = 0;

–Uвх + IС Z = 0;

–Uвх + I1 R1 – I2 R2 +Uвых = 0,

где Z = R − ωjC = (4,7 – j 4,68) 10 4 Ом.

Из второго уравнения находим

IС = UZвх .

По закону Ома

UR3 = IС R3 =UZвх R3 .

		R2
	R1	i2
	C i1	∞
uвх	C i1	uвых
uвх	iC	ОУ
	iC

		R3
	Рис. 3.3

Токи

I1	=	Uвх −U R3	;

		R1
I1	= – I2 .

Комплексное действующее значение выходного напряжения определяется из уравнения Кирхгофа

Uвых = Uвх – I1 R1 + I2 R2 .

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. Расчет ведется относительно комплексных амплитуд.

Ubxm

47.103 C

0.068.10 6 ω

314

ubxm

Ubxm

j .

z = 4.7 104

4.683 104 j

ω.C

uR3m

ubxm

i1m

ubxm

uR3m

i2m

i1m

uvxm

ubxm

i1m.R

i2m.R

uvxm= 0.035 + 10j

Uvxm

uvxm

Uvxm= 10

ψu

180

.arg(uvxm) ψu = 89.797

Амплитуда выходного напряжения

Uвых m = 10 В.

Начальная фаза

ψu = 89,8°.

Мгновенное значение выходного напряжения uвых =10sin(314t +89,8 ) В.

Задача 3.4

←Исходные данные.

←Комплексная амплитуда входного напряжения.

←Расчет комплексного сопротивления Z .

←Расчет напряжения на резисторе R3.

←Расчет тока ветвей.

←Расчет выходного напряжения в показательной форме записи. Аргумент в градусах.

В цепи со схемой рис. 3.4 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Действующее значение синусоидального напряжения U = 220 B. Активные сопротивления: R1 = 91 Ом; R3 = 510 Ом; R4 = 820 Ом. Реактивные сопро-

тивления: X1 = ω L1 = 240 Ом; X2 = 1/ ω C2 = 150 Ом; X3 = 1/ ω C3 = 190 Ом.

Расчет выполнить методом узловых напряжений.

		C2	i2
1 i				2
L1	a	R1	i1	3
	a	R1	i1	3
	u12			i3 C3	i4

u34

Рис. 3.4

Решение

Комплексные сопротивления ветвей рассчитаны в задаче 2.5. Имеем:

Z	1	= R + jX	1	= 91 + j240 = 256,67e j69	Ом;
		1
Z 2		= − jX2 = − j150 = 150e− j90 Ом;

Z	3	= R	− jX	3	= 510 − j190 = 544,24e− j20,4
	3	3		3
Z 4		= R4	= 820 Ом.					I	I2	Z 2
Для расчета			схему			цепи			I2


удобно представить						как на
удобно представить						как на
рис. 3.5.
рис. 3.5.			U34				U		I1	Z1
Рассчитываем					методом				I1	Z1
Рассчитываем					методом

Ом;

	I3	Z 4
U34	I4	Z3

узловых напряжений.

Узловое уравнение имеет вид

Рис. 3.5

(

)U34 − (

)U = 0 ,

Z 2

Z 3

Z 4

Z 2

откуда

Z 2

U34

Z 4

Z 2

Z 3

Токи ветвей:

I1	=	U −U34	= 0,46e− j97,2 А; I2	=	U −U34	= 0,78e j62 А;
		Z1
					Z1

I3 =

U34

= 0,24e j 45,6

А; I4 =

U34

= 0,16e j 25

А;

Z 4

Z 3

I = I1 + I2 = 0,39e j37,4 А.

Задача 3.5

Для цепи со схемой рис. 3.6 найти

U J

комплексы

действующих

значений

токов ветвей, если

Z 4

Z1 = j10 Ом, Z 2 = 6 + j8 Ом,

Z 3 = 3 Ом, Z 4 = Z1 , Z5 = − j7 Ом,

Z 2

J = 5А, E =110В.

Проверить

выполнение

баланса

мощностей.

U20

Решение

Z 3

U10

Назначаем

положительные направ-

ления токов ветвей.

Выбираем в качестве базисного узел

0. Напряжение узла 2 относительно

Рис. 3.6

базисного U20 = E .

Напряжения U10 и U30 определяем методов узловых напряжений. Узловые уравнения имеют вид:

Y11U10 −Y12U20 −Y13U30

= J11 ;

−Y 31U10 −Y 32U20 +Y 33U30

= J33 ,

где Y11 =

= 0,33 − 0,2 j

Ом–1;

Z 3

Z 4

j10 3

j10

Y 33 =

= 0,06 − 0,037 j

Ом–1 – собственные

Z 2

+ j8

− j

j10

Z 4

комплексные проводимости узлов 1 и 3,

Y12

= − 0,1 j Ом–1;

j10

Y13 =

= − 0,1 j Ом–1; Y 31 =Y13 ; Y 32

= 0,06 −0,08 j Ом–1

j10

Z 2

+ j8

Z 4

– общие комплексные проводимости,

J11 = J1 = 5 А; J33 = −J1 = −5 А узловые токи.

Поскольку U20

= E , решив матричное уравнение

−Y

−1 Y

E + J

1 ,

U30

−Y 31

Y 33

Y 32 E − J1

найдем значения узловых напряжений:

U10 = 2 − j42,4 В; U30

= 35,32 − j128,13 В.

Токи ветвей определяются по уравнениям:

U10 − E

= −4,24 +10,8 j =11,6e j111

А;

−U30 + E =14,73 +1,71 j = 14,83e j6,6 А;

Z 2

−U10

= −0,67 +14,13 j =14,15e j92,7

А;

Z 3

U10 −U30

= 8,57 + 3,33 j = 9,2e j21 А;

Z 4

−U30

= −18,3 −5,05 j =18,99e− j164

А;

I = I2

− I1

=18,97 – 9,09 j = 21,03e− j25,6

А.

Баланс мощностей. Комплексная мощность источников

Sист= EI + (U10 −U30 )J1 =1,92 103 +1,43 103 j ВА.

Комплексная мощность потребителей

Sпот = I12 Z1 + I22 Z 2 + I32 Z 3 + I42 Z 4 + I52 Z 5 =1,92 103 +1,43 103 j ВА.

Здесь

J1 ,

– сопряженные комплексные значения.

Баланс мощностей выполняется, Sист = Sпот.

Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

.10 z2

j .8

j .7 ← Исходные данные.

110

180

← Расчет собственных и общих

y11

y33

комплексных проводимостей.

y11 = 0.33

0.2i

y33 = 0.06

0.04i

y12

y32

y13

y31

y13

y12 =

0.1i

y32 = 0.06

0.08i

y13 =

0.1i

← Расчет комплексных узловых на-

u10

y11

y13 .

y12 e

пряжений.

y32.e

u30

y31

y33

u10 = 2

42.4i

u30 = 35.32

128.13i

u10

ψi1

rg.arg(i1)

ψi1 = 111.43

4.24 + 10.8i

I1 = 11.6

u30

ψi2

rg.arg(i2)

ψi2 = 6.64

i2 = 14.73 + 1.71i

I2 = 14.83

u10

ψi3

rg.arg(i3)

ψi3 = 92.7

0.67 + 14.13i

I3 = 14.15

u10

u30

ψi4

rg.arg(i4)

ψi4 = 21.24

= 8.57 + 3.33i

I4 = 9.2

u30

ψi5

rg.arg(i5)

ψi5 =

i5 =

18.3

5.05i

I5 = 18.99

164.59

ψi

rg.arg(i)

i = 18.97

9.09i

I = 21.03

ψi =

25.59

(u10

u30).

se = 1.92 103 + 1.43 103 i

I12.z1

I22.z2

I32.z3

I42.z4

I52.z5

sz = 1.92 103 + 1.43 103 i

Задача 3.6

← Расчет комплексных токов ветвей.

Баланс мощностей.

←Расчет комплексной мощности источников.

←Расчет комплексной мощности нагрузок.

Для цепи со схемой рис. 3.7 найти					U J
комплексные действующие	значения				J1
токов ветвей. Комплексные сопротив-					J1
ления: Z1 = j10 Ом, Z 2 = 6 + j8 Ом,		I1	Z1	J1		Z 2	I2
Z 3 = 3 Ом, Z 4 = Z1 , Z5 = − j7 Ом,		I1	Z1			Z 2	I2
Z 3 = 3 Ом, Z 4 = Z1 , Z5 = − j7 Ом,					I4
J1 = 5А, E4 = j110В.		I3			I4		I5
Проверить выполнение баланса мощ-					Z 4
ностей.		Z 3	I11		E4	I22	Z5
Решение					E4

	Назначаем положительные направле-
	Назначаем положительные направле-
	ния токов ветвей. Определяем неза-	Рис. 3.7
	висимые контуры с токами I11 и I22	Рис. 3.7
	висимые контуры с токами I11 и I22

как показано на рис. 3.7. Ветвь с источником тока не должна входить в эти контуры. Контурный ток J1 равен току источника тока.

Уравнения относительно контурных токов I11 и I22 имеют вид:

Z11I11 + Z12 I22 + Z13 J1 = −E4 ;

Z 21I11 + Z 22 I22 + Z 23 J1 = E4 ,

где:

Z11 = Z1 + Z3 + Z4 = j10 + 3 + j10 = 3 + j20 Ом;

Z 22 = Z 2 + Z5 + Z4 = 6 + j8 – j7 + j10 = 6 + j11 Ом;

Z12 = −Z4 = – j10 Ом, Z 21 = Z12 ;

Z13 = −Z1 = – j10 Ом;

Z 23 = −Z2 = – 6 – j8 Ом.

Решение уравнения

−1 − E

Z11

Z12

− Z

11 =

Z 22

I22

Z 21

− Z 23 J1

дает значения контурных токов:

I11 = 2,26 + j 3,98 А;

I22 = 11,72 + j 7,29 А.

Токи ветвей:

I1 = I11 − J1 = −2,74 + j3,98 = 4,83e j124,5

А;

= I22 − J1 = 6,72 + j7,29 = 9,91e j 47,3

А;

= I11 = 2,26 + j3,98 = 4,58e j60,4

А;

= I22 − I11 = 9,46 + j3,3 =10,02e j19,25

А;

= −I22 = −11,72 − j7,29 =13,8e− j148,1

А.

Рассчитываем баланс мощностей.

Комплексная мощность источников

Sист =U J J1 + EI4 ,

где U J – напряжение на источнике тока,

J1; I4

– сопряженные комплексные то-

ки. Напряжение

U J

= −I1 Z1 − I2 Z 2

= 90,84e− j50,5

В.

Подставляя данные, получаем

Sист = 652,26 + j689,82 ВА.

Комплексная мощность Sпот потребителей:

Sпот= I12 Z1 + I22 Z 2 + I32 Z 3 + I42 Z 4 + I52 Z 5

= 652,26 + j689,82 ВА.

Получили Sист = Sпот, баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже.

.10

.8 z3

j .7 ← Исходные данные.

5 e4

j .110

180

← Формула перевода из радиан в

градусы.

z11

z11 = 3 + 20i

← Расчет собственных и общих

z22

z22 = 6 + 11i

комплексных сопротивлений.

z12

z12 =

10i

z21

z12

z13

z13 =

10i

z23

z23 =

z13.j1

inn

z11

z12 .

z23.j1

z21

z22

i11 = 2.26 + 3.98i

i22 = 11.72 + 7.29i

i11

ψi1

rg.arg(i1)

i1 =

2.74 + 3.98i

I1 = 4.83

ψi1 = 124.51

i22

ψi2

rg.arg(i2)

= 6.72 + 7.29i

I2 = 9.91

ψi2 = 47.31

i11

ψi3

rg.arg(i3)

= 2.26 + 3.98i

I3 = 4.58

ψi3 = 60.4

i22

i11

ψi4

rg.arg(i4)

i4 = 9.46 + 3.3i

I4 = 10.02

ψi4 = 19.25

i22

ψi5

rg.arg(i5)

11.72

7.29i

I5 = 13.8

ψi5 =

148.13

i1.z1

i2.z2Uj

ψuj

rg.arg(uj)

Uj = 90.84

ψuj =

50.5

uj.

e4.

sej

sej = 652.26 + 689.82i

I12.z1

I22.z2

I32.z3

I42.z4

I52.z5

sz = 652.26 + 689.82i

Задача 3.7

←Расчет контурных токов.

←Расчет токов ветвей.

←Расчет напряжения на источнике тока.

←Расчет комплексной мощности источников.

←Расчет комплексной мощности нагрузок.

В цепи со схемой рис. 3.8 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 2 В.

Частота f = 1000 Гц; R1 = 1600 Ом; R2 = 2700 Ом; C = 0,05 мкФ; µ = – 1. На частоте f комплексное сопротивление нагрузки Z = 5100 + j3000 Ом.

Найти мгновенное значение тока в нагрузке.

Решение

Определяем направления токов ветвей и напряжений U1 и U2 узлов 1 и 2 как на рис. 3.8. Принимаем E = Е.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2курсТОЭ

#
16.03.2016360 Кб43КР_1С.pdf
#
16.03.20161.44 Mб132Лаб_20emf.pdf
#
16.03.2016445.73 Кб41Пост_Ток.pdf
#
16.03.2016196.43 Кб37Сем.задание_2.pdf
#
16.03.20161.63 Mб43Сем_Задание1.doc
#
16.03.2016780.9 Кб38СинТок.pdf