Бандурин Методичка расчет ПП

Рис. 4.14. График переходного процесса.

Расчёт переходного процесса после срабатывания ключа К2, когда ключ К1 давно сработал.

1. Расчёт переходного процесса при постоянном источнике тока

Требуется рассчитать напряжение uJ (t) в переходном процессе при замыкании ключа K1 в схеме, изображенной на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Исходная схема.

1.1. Расчёт классическим методом.

Будем искать сначала напряжение на ёмкости, а величину uJ (t)

определим по закону Кирхгофа:

uJ (t) RJ uC (t).

1.1.1. Определяем независимые начальные условия iL(0–) и uC(0–). Рассчитываем схему до замыкания ключа К2 в установившемся ре-

жиме (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Схема замещения для установившегося режима до коммутации.

51

Из схемы рис. 4.16 находим: iL (0 ) J2 =0.5 А.

По закону коммутации iL (0 ) iL (0 ) iL (0) =0.5 А.

До коммутации конденсатор не заряжен. Поэтому: uC (0 ) uC (0 ) uC (0) 0.

Рис. 4.17. Схема замещения для момента времени t=0+.

Используя метод наложения:

iC (0 ) J iL (0)=1– 0.5=0.5 А.

1.1.3.Определяем принуждённую составляющую uCпр(t) (рис. 4.18:

С – разрыв, L –закоротка).

uCпр(t) J R2 =25 В.

1.1.4. Определяем выражение свободной составляющей uCсв(t).

Рис. 4.18. Схема замещения для установившегося режима после коммутации.

Определяем корень характеристического уравнения. Используем метод сопротивления цепи после коммутации (рис. 4.19).

52

Рис. 4.19. Расчётная схема для составления характеристического уравнения.

Свободная составляющая напряжения:

uCсв(t) e 268t Asin( t )

Общее выражение полного решения:

uC (t) uCпр(t) uCсв(t) 25 e 268t Asin( t )

и его производной:

uC (t) 268e 268t (Asin( t ) 267e 268t (Acos( t ).

1.1.6. Определяем постоянные интегрирования из системы уравне-

ний:

uC (0) uCпр(0) uCсв(0); uC (0) uCпр(0) uCсв(0)

или подставив значения: 0 25 Asin ;

7100 267Acos 268Asin .

Решив систему уравнений, определяем постоянные интегрирования. Ниже приводится решение в Mathcad.

А=25.045; θ=–1.511.

Полное решение для напряжения на ёмкости: uC (t) 25 25,045sin(268t 1,511) В.

53

Полное решение для напряжения uJ (t):

uJ (t) RJ uJ (t) 75 25.045sin(268t 1.511) В. 1.1.7.Строим график uJ (t) (рис. 4.20).

1.2.Расчёт операторным методом.

1.2.1. Из расчёта установившегося режима до коммутации находим независимые начальные условия (п. 4.1.1).

iL (0) 0.5 А; uC (0) 0.

Рис. 4.20. График переходного процесса.

1.2.2. Из операторной схемы рис. 4.21 имеем:

UJ (p) R Jp Uab (p).

Рис. 4.21. Операторная схема замещения.

Для определения Uab (p) применим метод двух узлов.

54

24,9cos(267t 3,07) 24,9sin(267t 1,5) В.

1.3. Находим uJ (t) методом переменных состояния.

1.3.1. Начальные условия (п. 4.1.1).

iL (0) 0.5 А; uC (0) 0.

1.3.2. По законам Кирхгофа составляем уравнения состояния:

Рис. 4.22. Расчётная схема после коммутации.

iR iL iC J; iR J iL C dudtC ; RiR uC ; RJ RiL RC dudtC uC ; RiL uL uC ; RiL L didtL uC .

55

После преобразований получаем дифференциальные уравнения относительно переменных состояния uC и iL :

RC1 uC C1 iL C1 J ; dt L1uC RL iL

и уравнение для выходной величины uJ: uJ RJ uC .

Решаем с использованием Mathcad.

56

Решаем систему диффернциальных уравнений численно.

Строим график uJ (t) (рис. 4.23).

Рис. 4.23. График переходного процесса.

Полученный график для напряжения u j (t) полностью совпадает с ранее построенным графиком.

57

Литература

1.Теоретические основы электротехники; В 3–х томах. Учебник для ВУЗов. Том 2. – 4–е изд. /К.С.Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Чечурин. – СПб.: Питер. 2003. – 576 с.: ил.

2.Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528с.

Солнышкин Николай Иванович Бандурин Иван Иванович

58

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Задания и методические указания по выполнению расчётно–графической работы

(для студентов, обучающихся по направлению «электроэнергетика и электротехника» квалификация «бакалавр»)

Технический редактор: Н.И.Солнышкин Компьютерная верстка: Н.И.Солнышкин Корректор: С.Н. Емельянова

_______________________________________________________

60