Бандурин Методичка расчет ПП

Рис. 2.22. Операторная схема замещения.

3) Применим метод контурных токов. Составляем систему контурных уравнений для схемы рис.2.18 в операторной форме:

i1(t ) Ak epk t 2 1,5e 1000t A

2.4. Метод интегралов наложения (Дюамеля)

При воздействии на цепь сигнала сложной формы в виде кусочно– непрерывной функции времени для расчёта переходного процесса широко используется интеграл Дюамеля. Суть его в использовании принципа суперпозиции (наложения) при нахождении реакции цепи на воздействие сигнала сложной формы. При этом разлагают сложный сигнал на элементарные (стандартной формы), для которых реакция цепи известна или её легко найти. Реакцию цепи находят как сумму реакций на каждую из элементарных составляющих.

В качестве элементарных сигналов выбирают единичную функцию Хевисайда 1(t) или единичный импульс Дирака (дельта–функция) (t).

31

2.4.1. Единичная функция и переходная характеристика

Единичным скачком, единичной функцией или функцией Хевисайда называют функцию, удовлетворяющую условию:

На рис. 2.23 данная функция представлена графически.

Рис. 2.23. Единичная функция.

Любая функция времени, умноженная на 1(t), становится равной 0 при t < 0 и не меняет своего значения при t 0. Если скачок от 0 до 1 происходит в момент времени t1, функцию записывают 1( t t1 ), где t1 – вре-

мя запаздывания.

Реакцию цепи с нулевыми начальными условиями на единичную функцию (единичный скачок) называют переходной характеристикой или переходной функцией и обозначают h(t).

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными

действием источника постоянной ЭДС e(t) E const (рис. 2.24). Пере-

ходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а постоянную ЭДС E const (рис. 2.24 a) заменить скачкообразной e(t) E 1(t) со

скачком в момент t 0(рис. 2.24 b).

Рис. 2.24. Подключение постоянной ЭДС к электрической цепи с нулевыми начальными условиями: а) с помощью ключа, б) с заменой ключа на скачкообразную ЭДС.

Возникающие на участках цепи токи ik (t)и напряжения uk (t) прямопропорциональны скачкообразной ЭДС e(t) E 1(t):

32

ik (t) e(t) hi (t) e(t) g(t); uk (t) e(t) hu (t) e(t) k(t),

где hi (t) g(t) переходная функция по току, или переходная проводимость, hu (t) k(t) переходная функция по напряжению.

Переходной функцией по току g(t) или по напряжению k(t) называется функция по времени, численно равная соответствующему току i(t) или напряжению u(t) при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику численно равному единичной функции e(t) 1(t). Переходные функцииg(t) и k(t) могут быть рассчитаны для любой схемы

классическим или операторным методом.

Размерность переходной характеристики определяется выбором входной и выходной величин, поскольку определяется отношением выходной величины к входной. Если на входе цепи действует единичный скачок напряжения, то переходная характеристика цепи может быть либо переходной проводимостью (при определении тока какой–то ветви), либо переходной функцией напряжения – переходным коэффициентом передачи напряжения (при определении напряжения в какой–либо ветви).

При действии на входе цепи единичного скачка тока переходная характеристика является переходным сопротивлением, когда определяется напряжение, или передаточной функцией тока, когда определяется ток.

Итак, переходные характеристики – это токи или напряжения в переходном режиме при воздействии на цепь постоянным напряжением или током единичной величины.

Пример 2.15.

Для цепи (рис. 2.25) определить входную переходную проводимость и переходный коэффициент передачи напряжения h(t) u2(t), полагая па-

раметры цепи известными.

Рис. 2.25. Исходная схема.

Поскольку переходные характеристики – реакции цепи на единичное воздействие, найдем их, рассчитав входной ток i1(t) и выходное напряжение h(t) u2(t) при подключении цепи с нулевыми начальными условиями

33

uJ (0 ) J (R1 R2) R1 R2.

Тогда A uJ (0 ) uJпр R1 R2 R1 R22 R22

и, следовательно, переходная характеристика hu (t) R1 R22 (1 e pt ).

2.4.2. Единичный импульс и импульсная характеристика

Функцией Дирака, единичным импульсом или дельта–функцией называют функцию, равную бесконечности при обращении её аргумента в нуль и равную нулю при всех других значениях:

при t = 0,(t) =

0 0 < t < 0.

0

Площадь (t) – функции равна единице: (t)dt 1.

0

Функция Дирака обладает "фильтрующим" свойством, суть которого видна из следующих равенств:

Реакцию цепи на импульсную функцию при нулевых начальных условиях называют импульсной переходной характеристикой h (t).

Функция Дирака формально может быть представлена производной от функции Хевисайда (t) d1(dtt) и, следовательно, импульсная переход-

ная характеристика k(t)может быть определена как производная от переходной характеристики:

dh(t),если hdt

k(t)

h (t) dhdt1(t),если h Здесьh1(t) h(t)приt 0 .

h1(t)– функция, подобная h, но не имеющая начального значения (скачка).

Размерность импульсной переходной характеристики равна размерности переходной характеристики, деленной на время.

35

Пример 2.17.

Для цепи (рис. 2.25) определить импульсную переходную характеристику выходного напряжения ku2(t), полагая параметры цепи известными.

Решение. Поскольку импульсная переходная характеристика представляет собой производную от переходной характеристики, воспользуемся найденной в примере 2.16 переходной характеристикой

2.4.3. Интегралы наложения (Дюамеля)

Сложное воздействие f(t) – ток или напряжение, удовлетворяющее условиям Дирихле, можно приближённо заменить суммой ступенчатых воздействий (рис. 2.26, а). Тогда f(t) f(0) 1(t) + f( ) 1(t ).

Элементарный скачок воздействия (при малых )

f( ) = f( ) f ( ) f ( ) .

а б Рис. 2.26. К выводу формулы интеграла Дюамеля.

Если реакция цепи (h) на единичное воздействие известна, то, просуммировав реакции от всех элементарных воздействий и начального скачка f(0), найдем реакцию цепи на сложное воздействие:

fp(t) = f(0) h(t) + f ( ) h(t ) .

Переходя от к d , получаем интеграл Дюамеля:

36

В качестве элементарных составляющих сложного воздействия f(t) можно выбрать прямоугольные импульсы, подобные импульсной функции

(t) с площадью f( ) (рис. 2.26, б).

Реакцией цепи на каждый из импульсов будет функция

f p f ( ) k(t ).

Суммируя действия всех импульсов и переходя к пределу по переменной , получаем:

t

f p f( ) k(t - )d .

0

Учитывая связь переходной и импульсной характеристик, можно записать интеграл Дюамеля в форме (**):

Пример 2.18.

Определить закон изменения напряжения импульсного источника тока для момента времени t t1 в схеме (рис. 2.27, а), полагая параметры цепи и импульса тока (рис. 2.27, б), известными.

Решение. Переходную характеристику цепи – переходное сопротивление hR (t) определим классическим методом:

а) б)

Рис. 2.27. Исходные данные: а) схема, б) входное воздействие.

37

Внутреннеё сопротивление источника тока считаем бесконечно большим, поэтому:

Для интервала времени 0< t t1 искомое напряжение:

2.4.4. Порядок расчёта переходных процессов методом интегралов наложения (Дюамеля)

1.Любым методом находят переходную характеристику цепи.

2.Выбирают форму интеграла Дюамеля.

3.Вычисляют производную подынтегральной функции интеграла Дюамеля (входного воздействия или переходной характеристики в зависимости от формы записи интеграла).

4.Подставляют найденные функции в интеграл Дюамеля, указывают

пределы интегрирования по переменной и производят интегрирование.

38

3. Расчётное задание

«Расчёт переходного процесса в линейной электрической цепи»

I. Для заданной схемы при коммутации ключа K1 в момент времени t=0, когда ключ K2 еще не сработал, выполнить следующее.

1.При постоянном источнике ЭДС e(t)=E или тока J(t)=J определить ток i(t) или напряжение uJ(t):

а) классическим методом; б) операторным методом;

в) построить график зависимости тока i(t) или напряжения uJ(t). 2. При гармоническом источнике ЭДС e (t) = 2E sin(ωt +ψ) или

тока J (t) = 2J sin (ωt +ψ) определить ток i(t) или напряжение uJ(t): а) классическим методом; б) комбинированным (операторно–классическим) методом;

в) на интервале времени0 t 2 построить график зависимости

тока i(t) или напряжения uJ(t).

3. При импульсном источнике ЭДСe t Ee2pt или тока J t Je2pt

и при нулевых начальных условиях определить интегралом Дюамеля ток i(t) или напряжение uJ(t), построить их график зависимости (p– корень характеристического уравнения из п.1, а).

II. Для заданной схемы с постоянным источником ЭДС e(t)=E или тока J(t)=J при коммутации ключа K2 в момент времени t=0, когда ключ K1 давно уже сработал выполнить следующеё:

1.Определить ток i(t) или напряжение uJ(t): а) классическим методом; б) операторным методом;

в) методом переменных состояния;

2.Построить график зависимости тока i(t) или напряжения uJ(t).

3.Проанализировать методы расчёта, результаты вычислений, графики зависимостей и сформулировать выводы по работе.

Примечание.

Объем и номер задания (трехзначное число) определяет преподаватель. При этом:

1–ая цифра номера задания – номер строки в табл. 1; 2–ая цифра номера задания – номер строки в табл.2; 3–ья цифра номера задания – номер схемы.

Расчётные схемы

40