1.5 Практическая ширина спектра сигнала.

Как следует из рядов Фурье, при ,n₁  то есть спектр сигнала бесконечен. В технике нет таких устройств, которые пропустили бы такой спектр сигнала. Любой усилитель, преобразователь, детектор и т. д. Имеет ограниченную полосу пропускания. Отсюда следует вывод о необходимости разумного ограничения полосы частот занимаемой сигналом.

Можно руководствоваться несколькими критериями ограничения полосы в зависимость от решаемой задачи. Разберем их.

а.) За основу может быть принято степень уменьшение амплитуд спектральных составляющих (уменьшение амплитуд гармоник) А₁, А₂, А₃… .

Например, найти =n₁ при котором A_n в 10 раз меньше А₁.

б.) Немаловажную роль играет спектр в формировании временной функции сигнала. Высокие частоты формируют сигнал в области малых времен, а низкие в области больших. Искажения полученные при ограничении спектра могут быть положены в основу соответствующего критерия. На рис. 11 показана искаженная форма сигнала, что может привести к задержки срабатывания последующих устройств.

Исходный сигнал

Искаженный сигнал

U_пор

t’₀ – время задержки срабатывания устройства

t₀

Рис.11 Искажения сигнала при ограничении спектра

На рис. 12 для иллюстрации связи спектра с искажениями сигнала показан исходный сигнал в виде меандра и его форма полученная сложением первой, третьей и пятой гармоник (четные гармоники такого сигнала будут равны нулю (26)).

1-й член ряда

3-й член ряда

Сумма гармоник

5-й член ряда

Сумма гармоник

Рис. 12 Связь искажений сигнала с его частотным составом

Из рис. 12 следует, чем шире спектр сигнала, тем меньше его искажения во временной форме.

в.) В задачах оптимального приема, разделения сигнала используется энергетическая характеристика сигнала, его средняя мощность. Мы уже знаем, что ее можно определить по временной функции и по спектру (18), (25). На это связи основывается третий критерий. Задаваясь степенью приближения мощности ограниченного по спектру сигнала к полной мощности, можно определить число гармоник спектра m и граничную частоту спектра сигнала m₁=_гр.

1.6 Ортогональные ряды Уолша

Представление таким рядом сигнала очень удобно при применении вычислительной и цифровой техники ввиду особенностей их базисных функции. Они представляют собой прямоугольные импульсы единичными амплитудами и разными знаками мгновенных значений (+1, -1), обозначаются как wal_n(t), где n порядок. Их вид показан на рис. 13.

Легко доказывается их ортогональность; для этого достаточно рассмотреть интеграл

. (27)

Так как произведение базисных функций при mn дает либо +1, либо-1 на части периода, а число таких частей четное, результат интегрирования получается нулевым . При m=n произведение имеет один знак и интеграл не равен нулю. Ряд Уолша имеет следующий вид:

. (28)

wal₀

+1

0 T/4 T/2 3T/4 T t

wal₁

+1

-1

wal₂

+1

-1

Рис. 13 Базисные функции Уолша

Рассмотрим пример применения ряда Уолша для линейно изменяющегося сигнала (рис. 14).

U(t)

U

t

Рис. 14 Линейный сигнал

Его математическая форма

. (29)

По формуле (7) для ортогонального ряда (28) определим коэффициенты a_n , :

, (30)

. (31)

Теперь мы можем определить два члена рядя Уолша и по ним синтезировать сигнал; результаты приведены на рис. 15.

сигнал, полученный

рядом Уолша U

исходный сигнал

1-й член ряда

2-й член ряда

-1/2 0 ½ t

Рис. 15 Представление сигнала рядом Уолша

Чем больше членов ряда Уолша тем ближе будет приближаться сигнал разложенный в ряд Уолша к истинному сигналу.

В настоящее время области применения рядов Уолша следующие:

а.) Формирование псевдослучайных (шумоподобных) сигналов.

б.) Синтез непрерывных сигналов средствами цифровых устройств.