ТПС / Лекции / Лекция 7

Лекция 7

Спектр случайного сигнала

На рис.1 показана функция случайного сигнала и поскольку он изменяется во времени, у него должна быть частотная характеристика – спектр.

Рис. 1. Случайная функция сигнала.

Если воспользоваться для введения спектра известным интегральным преобразованием Фурье, то спектральная плотность будет случайной величиной, что для анализа совершенно неприемлемо. Можно поступить следующим образом. Допустим, найдены спектральные плотности S1(jω), S2(jω), и т.д для ряда реализаций случайного сигнала продолжительностью Т. Этим предполагается, что сигнал стационарный, но конечный во времени. Найдем плотность распределения спектра W() и усредним квадрат модуля спектральной плотности M[S²(ω)]_т . Нормируем его по времени, это и будет искомая спектральная плотность:

. (1)

Размерность S(ω) - [B/Гц], то G(ω)-[B²/(Гц)], а так как B² это мощность в Ваттах, мы получили энергетический спектр, характеризующий распределение мощности сигнала

В отличие от регулярного сигнала, в котором спектр плотности характеризует распределение напряжения по частоте, для случайного сигнала спектр - характеристика распределения мощности по частоте.

Путем математических преобразований и выводов были получены выражения спектральной плотности в виде удобном для вычисления.

Путём математических преобразований и выводов были получены выражения спектральной плотности в удобном для вычислений виде, которая называется пара преобразований Винера – Хинчина или преобразование Фурье для случайного сигнала:

Свойства спектра случайного сигнала

1. 

2. ,

т.к. второе слагаемое есть произведение чётной функции на нечётную функцию.

3. ,

,

где – бесконечно малая мощность случайного сигнала на частоте .

4. Практическая ширина спектра случайного сигнала определяется его полосой частот :

5. Н ормированная спектральная характеристика:

, -1 < g () < 1

П усть заданы два сигнала X(t) и Y(t):

А втокорреляционная функция для этих сигналов будет иметь вид:

АКФ качественно определяет спектр случайного сигнала, аналогично тому как временная функция в регулярных сигналах определяет спектр регулярного сигнала. Чем уже АКФ, тем шире спектр случайного сигнала.

м одели случайных сигналов