Лекция 5

Преобразование сигналов в цифровых системах связи

В цифровом канале любой вид информации преобразуется в цифровую форму – код. Для такого преобразования с сигналом необходимо выполнить ряд преобразований. Познакомимся с ними.

1. Выборка сигналов.

Допустим имеется непрерывный сигнал U(t), рис. 1. Представим его отдельными отсчетами U_i , взятыми с шагом t.

U(t)

U₆

U₅

U₃

U₄

U₂

t₂

t₃

t₄

t₅

t₆

t

Рис.1 Непрерывный сигнал и его выборка

Выборкой сигнала называются его мгновенные значения, которые сняты с шагом t. Шаг выборки может быть равномерным или неравномерным. В системах связи применяется равномерный шаг. Запишем математически выборку. Для этого введем специальную функцию, дельта-функцию Дирака; ее вид показан на рис. 2. Такой сигнал, бесконечно большой по величине и бесконечно малый по длительности, не существует и является математической абстракцией. Хотя она и сосредоточена в одной точке, тем не менее имеет единичный интеграл:

. (2)

Рис.2 Дельта функция Дирака.

Математически эта форма запишется так:

. (1)

На основании дельта-функции введем в рассмотрение обобщенную функцию

, (3)

называемую дискретизирующей последовательностью (рис. 3).

(t)

t

2t

3t

4t

t

Рис.3 Дискретизирующая последовательность

Она дает возможность записать выборку сигнала:

. (4)

Формула (4) указывает путь практической реализации устройства для дискретизации любого аналогового сигнала. Работа устройства основана на стробировании (перемножении) обрабатываемого сигнала и дискретизирующей последовательности (t). В равноотстоящие моменты времени возникают отсчетные значения обрабатываемого сигнала. Получить выборку можно с помощью импульсного модулятора, показанного на рис. 4.

U(t)

U_k(t)

Рис. 4 Импульсный модулятор.

Очевидно, что чем меньше шаг выборки, тем точнее она отражает сигнал. Однако существует теоретическое обоснование шага t. Для достоверного и убедительного представления сигнала выборкой, её шаг определяется по граничной частоте спектра сигнала - F_с.. Эта связь устанавливается теоремой отсчетов (теоремой Котельникова).

Шаг выборки определяется как или частоту дискретизирующей последовательности равна f_д2F_c. Имея гармонический сигнал с частотой Fc, достаточно иметь всего лишь два его значения за период (рис. 5).

t

Рис. 5 Теорема отсчетов для синусоиды

Для восстановления сигнала по выборке применяется ортогональный ряд Котельникова. Допустим имеется непрерывная функция сигнала S(t), тогда

. (5)

В качестве базисных функций ряда здесь применяется функция отсчетов вида sinx/x; она имеет осциллирующий вид (рис. 6)

1

0

t

Рис. 6 Функция отсчётов при n=0.

Отметим одно интересное свойство этой функции. Когда ее аргумент равен нулю (t = nt), то . При следующем отсчете t = (n + 1)t, sin2F_c((n+1)t-nt)= sin2F_ct = sin = 0.

Таким образом, каждая функция отсчётов равна единице при данном отсчёте и равна нулю при других отсчётах. Это дает основание утверждать, что ряд всегда точно восстанавливает сигнал в моменты отсчетов. Это положение проиллюстрировано на рис. 7 для непрерывной функции S(t).

S(t)

t

1-й член ряда

t

2-й член ряда

t

Рис. 7 Ряд Котельникова

Погрешность представления непрерывного сигнала выборки будет нулевая только в те моменты времени, в который берутся сами отсчёты.

В качестве примера рассмотрим представление рядом простейшего сигнала, прямоугольного импульса. Ограничим спектр сигнала величиной , где  длительность импульса. Тогда частота дискретизирующей последовательности будет и шаг . Получается, что за время импульса необходимо иметь два ненулевых отсчета.

1-й член ряда

2-й член ряда

Сумма членов

Рис. 8 Представление прямоугольного сигнала рядом Котельникова.

Таким образом, мы доказали суть теоремы Котельникова. Её значимость для связи заключается в том, что любой непрерывный сигнал можно представить выборкой с шагом . Далее эту выборку можно передать любым способом. В приёмнике возможно по выборке восстановить исходную функцию сигнала.