2. Погрешности при применении теоремы Котельникова.
Передача выборки вместо сигнала дает ряд погрешностей принципиального характера. Разберем их.
а.)
Любые сигналы, которые передаются по
каналу конечны во времени, следовательно,
и выборка будет ограничена числом
.
Будет конечным и ряд Котельникова:
.
(7)
Число
выборок конечно, конечно число членов
ряда и это приводит к известной для
ортогонального ряда средней погрешности
,
где S(t) – исходный сигнал, S’(t) – сигнал
полученный при интерполяции. Интересно
поведение мгновенной погрешности этого
же характера. Ранее мы доказали, что
точное восстановление сигнала будет в
момент отсчета (благодаря свойству
функции отсчетов). Следовательно,
погрешность будет равна нулю в моменты
отсчетов и максимальна между ними (рис.
16). Эта
максимальная погрешность тем меньше,
чем больше отсчётов. Ограниченность
выборки приводит к заметной погрешности
восстановления.
t t t
Рис. 16. Мгновенная погрешность восстановления
б.)Эта
причина погрешности заключается в
ограничении спектра сигнала величиной
Fc,
тогда как теоретически спектр бесконечен.
Чем меньше
,
тем меньше данная погрешность.
в.) причина погрешности заключается в не идеальности интерполятора, в частности не идеальности фильтра низкой частоты, ФНЧ. На рис. 17, 18 показаны характеристики реального и идеального ФНЧ.
К)
идеальный ФНЧ
Реальный ФНЧ
ср
Рис. 17. Модуль характеристики передачи ФНЧ
()
Реальный ФНЧ
Идеальный ФНЧ
ср
Рис. 18. Фазовая характеристика ФНЧ
В теории фильтров доказывается, что для неискаженной передачи характеристика модуля коэффициента передачи должна быть постоянна в полосе прозрачности, а фазовая линейно зависеть от частоты. У реальных фильтров эти требования нарушаются, что и приводит к погрешности восстановления. В частности крутизна наклона фазовой характеристики определяет задержку импульсной реакции при восстановлении, рис. 19.
g(t)
t
Рис. 19. Влияние фазовой характеристики на импульсную реакцию ФНЧ