Лекция 10

Критерии оптимального приема

Критерий оптимального наблюдателя (Котельникова).

Остановимся на критерии, который часто применяется в системах связи, так как в приемнике решается задаче распознавания сигналов.

Запишем вероятность правильного приема S_i сигнала через функцию правдоподобия:

, (1)

а полная вероятность правильного приема всех сигналов будет

. (2)

Вероятность ошибки

, (3)

и полная вероятность ошибки при ij

. (4)

Потребуем, чтобы . Очевидно это будет выполнено, если каждый член суммы (2) будет больше каждого члена суммы (4), или

. (5)

Это и есть математическая форма критерия идеального наблюдателя.

Согласно этому критерию за наилучшие прием принимается такой, при котором максимизируется вероятность правильного приема всех сигналов или минимизируется вероятность правильного приема.

Приемник должен проверять неравенство (5) для всех S_j и если оно выполняется, регистрировать S_i сигнал.

Поскольку интегрирование идет по одинаковым областям β_i, интеграл можно снять и сравнивать подынтегральные функции:

, (6)

или

. (7)

Выражение в левой части неравенства называется отношением правдоподобия.

На рис. 1 показано как с помощью неравенства (7) можно определить области принятия решения в пользу того или иного сигнала в пространстве принимаемого сигнала y(t). Функция правдоподобия определяется законом распределения помехи.

Как и любой критерию ему присущи некоторые недостатки. Отметим некоторые из них.

1. Требуется знать априорные вероятности передачи сигнала p(S_i) и p(S_j). В некоторых случаях это не представляет проблему; например, в двоичном канале связи «0» и «1» биты, сигналы соответствующие буквам алфавита , которые можно определить собрав статистику и т. д. Но есть сообщения (сигналы) для которых определить это невозможно. Например, вероятность пожара в помещении и соответствующего сигнала. Здесь требуется ввести другой критерий.

Рис. 1. Выбор порогов по критерию идеального

наблюдателя.

2. При использовании критерия ошибки обесцениваются. У каждой ошибки имеется смысл и значимость. Преодолеть это противоречие можно введением весовых коэффициентов k_ij. Тогда

. (8)

Для двоичного канала с априорными вероятностями p(0) и p(1), условными вероятностями переходов p(1/0) и p(0/1), вероятности ошибок будут p_ош0=p(0)p(1/0) и p_ош1=p(1)p(0/1). Таким образом, каждой ошибки придается свой веси может быть устранен данный недостаток критерия.

Что касается первого недостатка, знание априорных вероятностей сигнала, он исключается в следующем критерии оптимальности – критерии Пирсона.

Критерий Пирсона.

Этот критерий применяется в задаче обнаружения сигнала. Пример тому следующий. Имеем систему пожарной сигнализации, сигнал тревоги поступает на пульт дежурного. При приеме могут быть два состояния: есть сигнал – состояние «1» и нет сигнала – состояние «0». Как и прежде введем функции правдоподобия, их может быть всего лишь две: W(y/1) – функция правдоподобия при наличии сигнала и W(y/0) – функция правдоподобия при отсутствии сигнала. Для упрощения понимания будем считать, что пространство «y» принимаемого сигнала одномерное (принимаем вольты). Разделим его на две части одна из которых предназначена для наличия сигнала, а другая для его отсутствия. При одномерном пространстве это будет какая-то граница y_пор. Теперь можно записать вероятности правильного приема сигнала р_пр и ложного обнаружения сигнала р_ло :

, (9)

. (10)

Критерий Пирсона заключается в следующем: принимать решения о сигнале следует таким образом, чтобы при заданной вероятности ложного обнаружения р_ло , вероятность правильного обнаружения р_пр была максимальной. На практике обычно задают пороговый уровень  и требуют, чтобы

. (11)