1.3 Свойства ряда Фурье

а) На основании рядов Фурье вводится понятие спектра сигнала. Это две функции частоты: амплитуды Аn = f(), которая называется спектром амплитуд и _n = f() спектр фаз. Ненулевые А_n и _n существуют только на определённых частотах - n₁, поэтому спектры сигнала дискретные . Вид спектров амплитуд и фаз произвольного периодического сигнала показаны на рис. 7.

б) Для простых сигналов (немодулированных) спектры амплитуд всегда убывающие, но не обязательно монотонно, фазовый спектр не убывает с ростом частоты..

в) Спектр периодического сигнала дискретный, т.е. он занимает определённую сетку частот. Эту сетку при передаче сигнала можно выделить гребенчатым фильтром (т.е. с помощью гребенчатого фильтра можно выделить спектр сигнала). В участках спектра свободных от данного сигнала можно поместить спектр другого периодического сигнала и выделить его с помощью другого гребенчатого фильтра. Это один из элементарных способов разделения сигнала при передаче.

Характеристика гребенчатого фильтра показана на рис. 8. Здесь k()=U_вых/U_вх и называется коэффициентом передачи.

A_n

огибающая спектра амплитуд

₁ 2₁ 3₁ 4₁ 5₁ 

_n

огибающая спектра фаз



-

Рис. 7 Дискретные спектры гипотетического периодического сигнала

k()

₁ 2₁ 3₁ 

Рис. 8 Характеристика гребенчатого фильтра

Основная ценность рядов Фурье заключается в том, что они позволяют дать представление временного сигнала в области частот. Спектр периодического сигнала – это отражение в области частот параметров ортогонального ряда Фурье.

г) Предположим, что- чётная функция времени. Обратимся к нахождению коэффициентов рядаa_n и b_n. Коэффициент b_n, определяемый по (14), будет равен нулю, так как интегрирование ведется от нечетной функкции, получаемой от произведения четного сигнала и нечетной функции синуса, в пределах периода:

. (17)

Коэффициент a_n при такой функции сигнала не будет равен нулю. Еслинечетная функция, b_n0, а a_n=0. Это очень полезное свойство, так как позволяет сократить объем вычислительной работы выбором начала отсчета сигнала. На рис. 9 показано три варианта задания нулевой оси сигнала

0 0 0 S(t) – ни чётная, ни нечётная

S(t) - чётная S(t) - нечётная

Рис. 9 Выбор начала отсчета сигнала

1.4 Средняя мощность периодического сигнала

Важность этой характеристики заключается в том, что она отражает не только величину сигнала, но и его длительность. Это необходимо учитывать при приеме сигнала , при его различении. Известно, что средняя за период мощность равна

. (18)

Выразим S(t) через ряд Фурье:

(19)

Первый интеграл в (19) выражает мощность постоянной составляющей сигнала:

. (20)

Второй интеграл, берется от знакопеременной функции, имеющей целое число периодов на интервале интегрирования T. При любом n он будет равен нулю.

Прежде чем решать третий интеграл проведем анализ подынтегральной функции. Обратимся к простому примеру. Допустим вместо бесконечной суммы имеем квадрат трехчлена:

(21)

В этом простом выражении есть сумма квадратов членов и сумма произведений различных членов с дополнительным коэффициентом. Таким образом подынтегральное выражение может быть записано в виде двух сумм и третий интеграл в (19) будет:

. (22)

Интеграл от двойной суммы будет равен нулю по свойству ортогональности, а первый представляет собой хорошо известное выражение средней мощности гармонического сигнала, в качестве которого выступает n-ая гармоника:

. (23)

Таким образом, (22) является суммой средних мощностей гармоник,

, (24)

и искомая средняя мощность периодического сигнала будет равна

(25)

Это выражение получило название «равенство Парсеваля».

Интересно заметить, что мощность не зависит от фаз гармонических составляющих сигнала и результирующая мощность складывается из мощностей отдельных гармоник.

В заключении рассмотрим в качестве примера спектр меандров, прямоугольных импульсов (рис. 10).

+B

0 T t

-B

Рис. 10 Сигнал типа меандр

При таком введении начала отсчета функция сигнала нечетная и a₀= 0, b_n0 и

. (26)

При четных n получим нулевые амплитуды, так как cosn=1; ненулевыми же будут только нечетные гармоники b₁, b₃, b₅… . Фазовый спектр будет постоянным и равным /2 по двум причинам: во первых a_n=0 , во вторых b_n всегда положительно (см формулу (11)).