В этом случае свойство эргодичности отсутствует
x
x1
x2
б)
x3
t
В этом случае свойство
эргодичности присутствует
Рис. 14. Свойство эргодичности.
В случае б) все реализации случайного сигнала идут однородно, следовательно, можно взять одну из них и определить по ней статистические параметры (при достаточной продолжительности во времени). В случае б) этого сделать нельзя.
Итак, мы имеем один источник, выдающий случайного сигнала достаточно большой продолжительности Т. Множества нет, и для определения числовых констант применяется усреднение во времени. Для математического ожидания это следующая операция:
. (27)
Если рассматривать прохождение сигнала по каналу, обычно , так как канал состоит из элементов не пропускающих постоянную составляющую (конденсатор, трансформатор и др.). Дисперсия
. (28)
Разность сигнала x(t) и среднего равна переменной составляющей сигнала, а усредненный квадрат этой разности – средняя мощность переменной составляющей сигнала. Это тем более очевидно, если , тогда и дисперсия – средняя мощность случайного сигнала.
Автокорреляционная функция (АКФ) может быть записана так:
. (29)
Если , то
. (30)
Видно, что при = 0, то и дисперсия теряет свое самостоятельное значение. Нормированная АКФ имеет значение в пределах от –1 до +1 и определится как
.
Она как и прежде характеризует статистические связи в сигнала, скорость его изменения, а если так , то и частотные свойства сигнала. Ввиду особой важности АКФ остановимся на ее свойствах.
1) При = 0 АКФ принимает максимальное значение, так как корреляционные связи в этом случае максимальны, и равна дисперсии (при ненормированной функции) или единицы (при нормированной функции).
2) АКФ четная функция . Это временной сдвиг и безразлично в какую сторону он будет сделан, .
3) АКФ чаще всего уменьшается с увеличением , так как убывают статистические связи между случайным сигналом в его сечениях. Однако, если в сигнале есть какая- то периодичность, этот принцип может нарушаться. Корреляционные связи будут расти через интервал равный периоду и АКФ возрастет. Характер убывания не будет монотонным (рис. 15).
K()
Dx
монотонное
убывание
у
случайного сигнала есть скрытая
периодичность
T
0
Рис. 15. Характер убывания АКФ
В цифровой технике создание случайного сигнала происходит с помощью регистра сдвига, охваченного обратными связями, рис. 16.