В этом случае свойство эргодичности отсутствует

x₁

x₂

б)

x₃

В этом случае свойство эргодичности присутствует

Рис. 14. Свойство эргодичности.

В случае б) все реализации случайного сигнала идут однородно, следовательно, можно взять одну из них и определить по ней статистические параметры (при достаточной продолжительности во времени). В случае б) этого сделать нельзя.

Итак, мы имеем один источник, выдающий случайного сигнала достаточно большой продолжительности Т. Множества нет, и для определения числовых констант применяется усреднение во времени. Для математического ожидания это следующая операция:

. (27)

Если рассматривать прохождение сигнала по каналу, обычно , так как канал состоит из элементов не пропускающих постоянную составляющую (конденсатор, трансформатор и др.). Дисперсия

. (28)

Разность сигнала x(t) и среднего равна переменной составляющей сигнала, а усредненный квадрат этой разности – средняя мощность переменной составляющей сигнала. Это тем более очевидно, если , тогда и дисперсия – средняя мощность случайного сигнала.

Автокорреляционная функция (АКФ) может быть записана так:

. (29)

Если , то

. (30)

Видно, что при  = 0, то и дисперсия теряет свое самостоятельное значение. Нормированная АКФ имеет значение в пределах от –1 до +1 и определится как

Она как и прежде характеризует статистические связи в сигнала, скорость его изменения, а если так , то и частотные свойства сигнала. Ввиду особой важности АКФ остановимся на ее свойствах.

1) При  = 0 АКФ принимает максимальное значение, так как корреляционные связи в этом случае максимальны, и равна дисперсии (при ненормированной функции) или единицы (при нормированной функции).

2) АКФ четная функция . Это временной сдвиг и безразлично в какую сторону он будет сделан, .

3) АКФ чаще всего уменьшается с увеличением , так как убывают статистические связи между случайным сигналом в его сечениях. Однако, если в сигнале есть какая- то периодичность, этот принцип может нарушаться. Корреляционные связи будут расти через интервал равный периоду и АКФ возрастет. Характер убывания не будет монотонным (рис. 15).