Задания для выполнения

строятся на основе исключительно формальных законов. Инструментом такого построения и анализа служит булева алгебра, которая применительно к цифровой технике называется алгеброй логики.

Введем основные понятия алгебры логики.

Логическая переменная – это переменная, которая может принимать только два значения, называемых логическим нулем (0) и логической единицей (1).

Логическая функция – логическая (зависимая) переменная, значение которой является функцией одной или нескольких логических (независимых) переменных.

Таблица истинности – таблица, в которой заданы значения логической функции для всех возможных значений независимых переменных.

Существуют три основные логические функции:

1)логическое отрицание, или инверсия, обозначается чертой над выражением функции либо аргументом: Y X (табл. 3.1) и именуемая функцией НЕ;

2)логическое умножение, или конъюнкция, обозначается знаками « », « », «&» или «*»: Y X1 X 2 (табл. 3.2). Отметим, что данная функция равна

логической единице только тогда, когда оба аргумента равны единице, поэтому операцию конъюнкции называют функцией И;

3) логическое сложение, или дизъюнкция, обозначается знаками « » или «+»: Y X1 X 2 (табл. 3.3). При дизъюнкции двух переменных функция равна логической единице тогда, когда хотя бы один из аргументов равен единице, поэтому дизъюнкцию называют функцией ИЛИ.

Кроме основных логических функций существуют логические функции, базирующиеся на основных, которые часто применяются в алгебре логики:

1)ИЛИ-НЕ: Y X1 X 2 ;

2)И-НЕ: Y X 1 X 2 ;

3)равнозначность: Y X1 X 2 X1 X 2 ;

4)неравнозначность: Y X1 X 2 X1 X 2 .

Табл. 3.4 – 3.7 – таблицы истинности перечисленных выше функций. Применительно к логическим операциям в алгебре логики существуют

следующие законы:

1) переместительный: X1 X 2 X 2 X1 ; X1 X 2 X 2 X1 ;

Помимо приведенных законов применяют также следующие правила:

1)повторения: X X X или X X X ;

2)отрицания: X X 0 или X X 1;

3)двойного отрицания: ( X ) X ;

4) операций с нулем и единицей: X 1 X ;

X 1 1; 0 1; 1 0 .

Отметим, что некоторые из приведенных законов и правил известны из алгебры чисел, остальные для чисел несправедливы, а понятие «отрицание» для чисел вообще не определено.

Функция алгебры логики считается полностью определенной, если заданы ее значения для всех сочетаний аргументов. К способам задания функций относят:

1) табличный – функция представляется таблицей истинности (соответствия), содержащей 2n строк и (n + 1) столбцов для n аргументов. В последнем (n + 1)-м столбце находятся значения функции, соответствующие сочетанию значений аргументов, записанных в первых n столбцах. Структура таблицы истинности для трех аргументов приведена на рис. 3.1;

2) алгебраический – функция представляет собой алгебраическое выражение, в котором определен порядок выполнения логических операций над аргументами, например: f a(b c) или f x1 x2 x3 ;

3) числовой – функция задается номерами наборов, для которых значение функции равно единице. В соответствии с этим для функции, приведенной на

например: f = {1, 2, 3/5, 7} a, b, c. Другой вариант записи функции предполагает указание обязательных и запрещенных сочетаний в виде: f = {1, 2, 3, (0, 4, 6)} a, b, c. В обоих случаях функция равна единице на наборах 1, 2, 3, имеет безразличное состояние в сочетаниях 5 и 7, а в остальных случаях (0, 4, 6) равна нулю;

4) координатный – функция задается в виде координатной карты состояний (карты Карно), содержащей 2n клеток, где в каждой клетке содержится значение функции для определенного сочетания значений

аргументов. На рис. 3.2, а представлена карта для функции f (a, b, c) (см. рис. 3.1). На рис. 3.2, б, в показаны карты для трех и четырех аргументов соответственно, где в каждой клетке вместо значения функции приведен номер сочетания аргументов.

Проставление координат карт производится произвольно, с учетом того, чтобы каждой клетке соответствовало одно сочетание значений аргументов таблицы истинности. Координатный вид задания удобен для логических функций не более чем пяти аргументов и служит для наглядного представления функции с целью проведения дальнейших преобразований и минимизации.

Каноническими формами представления логических функций являются дизъюнктивная (ДНФ) и конъюнктивная (КНФ) нормальные формы. Если каждое слагаемое (сомножитель) ДНФ (КНФ) содержит все аргументы функции, то такая форма является совершенной – СДНФ (СКНФ).

СДНФ может быть получена непосредственно из таблицы истинности, если представить в виде логических произведений наборы аргументов, на которых функция равна единице, а затем объединить их знаками логического сложения.

Для получения СКНФ из таблицы истинности необходимо представить в виде инверсий наборы аргументов, на которых функция принимает значение ноль, и объединить их знаками логического умножения.

По каноническим формам (СДНФ и СКНФ) могут быть построены логические устройства, но, как правило, схемы в этих случаях содержат избыточное количество элементов и, прежде чем их составить, функции должны быть упрощены и должны быть получены минимальные формы (МДНФ или МКНФ).

При минимизации функций алгебры логики, заданных перечисленными выше способами, могут быть использованы алгебраический (последовательный) метод и метод карт Карно.

Алгебраический метод минимизации основан на применении законов и правил алгебры логики для преобразования выражения функции с целью получения минимальной формы. При этом первоначальная запись функции может быть любой, а метод применим для любого числа аргументов.

Метод Карно применяется для небольшого числа аргументов (не более пяти) и основан на работе с координатной картой Карно (см. рис. 3.2), отличается простотой и наглядностью процесса минимизации.

При использовании метода Карно заданную функцию следует представить координатной картой, провести операции склеивания путем объединения в замкнутые области значений функции, равных единице или нулю, и исключить из выражения функции аргументы, изменяющие свои значения в пределах выделенных областей. Координатная карта представляет собой непрерывную поверхность, поэтому возможно объединение единиц, находящихся у противоположных границ карты. Функция запишется в минимальной дизъюнктивной нормальной форме, если операции склеивания проводились с наборами аргументов, на которых функция равна единице, и в минимальной конъюнктивной нормальной форме при проведении операций склеивания с наборами, на которых функция равна нулю. Следует помнить о том, что в одну область объединяются 2k клеток, где k = 1, 2, 3 и т. д.

Логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих логических элементов, выполненных по технологии интегральных микросхем. Для упрощения разработки схем и анализа их работы приняты условные графические изображения для таких элементов, не раскрывающие внутреннее строение, а показывающие лишь логическую функцию элемента. Логические элементы, реализующие простейшие логические функции, показаны на рис. 3.3.

В табл. 3.8 приведены способы получения схем, реализующих основные логические функции для базисов 2И-НЕ и 2ИЛИ-НЕ, где цифра обозначает количество входных линий логического элемента.

Интегральные микросхемы, реализующие логические функции, отличаются по потребляемой мощности, напряжению питания, значениям высокого и низкого уровня логических нуля и единицы, времени задержки распространения сигнала (быстродействию) и нагрузочной способности (коэффициент разветвления по выходу).

Интегральные микросхемы выполняются на основе различных логик: резистивно-транзисторной (РТЛ), диодно-транзисторной (ДТЛ), транзисторнотранзисторной (ТТЛ), эмиттерно-связанной (ЭСЛ), комплементарной МОП (КМОП) (с использованием полевых транзисторов с изолированным затвором).

Среди перечисленных наиболее распространенными являются логики ТТЛ и КМОП. Каждая из приведенных разновидностей логических схем позволяет наиболее просто реализовать одну из основных логических функций. Так, для логик РТЛ, ЭСЛ и КМОП это ИЛИ-НЕ; ДТЛ, ТТЛ – И-НЕ. Используя любой из этих базовых элементов (базис И-НЕ или ИЛИ-НЕ), можно получить остальные основные логические элементы, а следовательно, и любую логическую функцию.

3.2. Задание для самостоятельной работы

Ц е л ь р а б о т ы по данному разделу: изучить принципы функционирования логических элементов, научиться минимизировать логические функции алгебраическим методом и с помощью карт Карно, а также реализовывать цифровые комбинационные схемы в различных базисах.

В соответствии с номером варианта из табл. 3.9 выбирается исходная функция, заданная в числовом виде, для которой необходимо выполнить следующее:

1)представить заданную функцию таблицей истинности;

2)записать СДНФ и СКНФ;

3)минимизировать функцию алгебраическим методом;

4)составить карту Карно;

5)минимизировать функцию методом карт Карно;

6)составить электрические схемы реализации функции на логических элементах базисов И-ИЛИ-НЕ, И-НЕ и ИЛИ-НЕ;

7)выполнить моделирование синтезированных схем в среде EWB.

– для сочетаний 0, 1, 3, 5 и 7 (табл. 3.10).

Для записи СДНФ из таблицы истинности выбираем те строки, в которых значение функции равно единице. Для каждой такой строки составляем конъюнкцию всех входных переменных, записывая сомножитель, если эта переменная принимает значение единицы. Записываем логическую сумму всех найденных произведений и приходим к выражению вида:

f a b c a b c a b c .

Для записи СКНФ из таблицы истинности выбираем строки, в которых значение функции равно нулю, инвертируем аргументы и получаем:

fСКНФ (a b c)(a b c)(a b c)(a b c)(a b c) .

Учитывая законы алгебры логики, упрощаем выражение СДНФ функции. Используем распределительный закон для суммы произведений, выносим за скобки общие множители:

f (a b a b a b)c ((a a)b a b)c .

Применяя правило отрицания, согласно которому сумма прямого и инверсного значения переменной a в скобках равна единице, запишем функцию в виде:

f (b a b)c .

Для дальнейших преобразований используем распределительный закон для произведения сумм логических переменных:

f(b a)(b b)c .

Иокончательно, применяя правило отрицания для суммы прямого и инверсного значений переменной b, записываем выражение:

f (b a)c .

Составляем карту Карно для функции f. Поскольку имеется три аргумента (a, b, c), то карта содержит 23 = 8 клеток. Обозначаем координаты a, b, c карты, проставляем единицы в клетки, соответствующие 2, 4 и 6 наборам (используем выражение СДНФ, полученное ранее), во все остальные клетки записываем нули (рис. 3.4, а).

Минимизация функции, заданной в виде координатной карты, предполагает склеивание четного количества (2, 4 и 8) находящихся рядом единиц для получения МДНФ, причем чем больше единиц будет объединено, тем более компактную алгебраическую запись будет иметь функция.

Объединяемые единицы выделяем графически на карте, как показано на рис. 3.4, б. Полученные произведения аргументов записываем в виде слагаемых МДНФ с последующим вынесением за скобки общего множителя:

f b c a c (b a)c .

Реализуем полученную функцию на логических элементах базисов И-ИЛИ-НЕ (рис. 3.5, а), 2ИЛИ-НЕ (рис. 3.5, б, в) и 2И-НЕ (рис. 3.5, г). Исходные схемы можно составлять в соответствии с формальным подходом, реализуя элементарные логические действия в соответствии с рекомендациями, представленными в табл. 3.8 (см. рис. 3.5, б). Далее необходимо провести аппаратную минимизацию полученного варианта схемы (см. рис. 3.5, в), устраняя в цепи передачи одного и того же сигнала повторение инвертирования.

В базисе 2И-НЕ для данной логической функции f аппаратная минимизация невозможна, так как схема рис. 3.5, г не имеет повторного инвертирования.

Моделирование синтезированных схем имеет следующие особенности:

в качестве источников сигналов а, b, c используем источники постоянного напряжения, которые задают уровень «единицы», при этом значение напряжения источника можно оставить по умолчанию;

управление процессом смены комбинаций входных сигналов в соответствии с таблицей истинности осуществляем вручную с помощью ключей 1, 2 и 3;

определение значения логической функции на выходы схем осуществляем десятисегментными индикаторами, наличие сигнала на которых отмечается красным цветом индикаторной полоски;

все схемы собираем на одном рабочем столе, это позволит провести одновременную проверку правильности их работы по одинаковому состоянию индикаторов на выходе схем.

Чтобы ключи 1, 2, 3 (см. рис. 3.6) переключались независимо друг от друга, для их переключения назначаем разные клавиши. Для этого дважды