Матрицы.

5. Укажите размерность матриц и определите, чему равны элементы

5. Определить параметры из условий

8. Можно ли вычислить линейную комбинацию

. Ответ поясните.

9. Вычислить линейную комбинацию матриц

1); 2).

3) ; 4).

10. Вычислить линейную комбинацию матриц , где Е- единичная матрица

размером и

11. Решить уравнение

12. Вычислить произведение матриц , когда это возможно

13. Вычислить произведения матриц

4) 5)

6) 7)

14. Вычислить: , где

единичная матрица;

15. Найти миноры всех элементов матрицы

16. Определить максимальный и минимальный миноры элементов матриц

1) 2)3)

17. Проверить, что где матрицыизаданы

17. Пусть единичная матрица. Вычислитьгде

18. Найти ненулевую матрицу из уравнения, гденулевая матрица.

19. Проверьте, являются ли матрицы взаимно обратными?

20. Какая из двух матриц имеет обратную

.

Ответ пояснить.

17. Вычислить матрицу обратную к данной матрице

.

и сделать проверку полученного результата.

23. Используя элементарные преобразования , привести матрицу А к ступенчатому виду

;

24. Перемножить матрицы

25. Решить матричное уравнение, где

Указание. Используйте обратную матрицу.

Системы линейных алгебраических уравнений

26. Проверить являются ли числарешением данной системы

линейных уравнений

27. Проверить является ли множество чисел, зависящее от параметра

t, решением данной системы линейных уравнений

28. К какой из данных систем можно применить метод Крамера

Определив эту систему, решите её.

_{29. Решить данные системы методом Крамера}

_{Сделать проверку полученных результатов.}

_{30. Записать данные системы уравнений в матричном виде}

31. Решить системы матричным методом

Сделать проверку полученных результатов.

32. Решить системы линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом

Крамера

Если количество уравнений в системе не совпадает с числом неизвестных или определитель главной матрицы равен нулю, то решить такую систему методом Крамера или матричным методом невозможно. В этом случае система либо несовместна, ( не имеет решения), либо неопределенна ( имеет бесконечно много решений). Для решения таких систем используют метод Гаусса или его модификацию.

33. Решить систему линейных уравнений ступенчатого вида

Метод Гаусса заключается в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому виду и затем её решение.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

34. Для данных систем уравнений

написать расширенные матрицы.

35. По данным расширенным матрицам

написать задающие их системы уравнений.

36. Проверить, что данные системы уравнений равносильны

37. Решить данные системы уравнений методом Гаусса

38. Решить данные системы методом Гаусса

1)2)

39. Решить данные системы методом Гаусса

1) 2) 3)

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости.

40. Написать уравнение горизонтальной прямой линии проходящей через точку .

41. Написать уравнение вертикальной прямой проходящей через точку.

42. Написать уравненияпрямой линии:

    1. проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент;

2) проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент ;

3) проходящей через точку параллельно оси ОХ;

4) проходящей через точку параллельно оси ОУ;

5) проходящей через точки ;

6) переписать уравнение прямой линии в общем виде;

7) переписать общее уравнение прямой линии в виде уравнения

с угловым коэффициентом.

42. На прямой линии найти точки: 1) у которой абсцисса; 2) у которой ордината; 3) Лежат ли точкина прямой.

43. Написать уравнение прямой линии проходящей через точку параллельно прямой линии

1) 2) 3) 4)

42. Написать уравнение прямой линии проходящей через точку и

перпендикулярно прямой линии:

1) 2)3)4)

42. Нарисовать эскизы графиков прямых

42. Используя калькулятор вычислить угол наклона прямых линий

1) 2)3)4)

42. Найти точки пересечения прямой линии с осями ОХ, ОУ.

43. Найти точки пересечения прямых линий. Сделать чертёж.

1. ;

2. ,;

3)

4)

42. Найти координаты вершин треугольника со сторонами определяемыми уравнениями

42. Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны , имеющего вершины

.

42. Найти острый угол между прямыми линиями:

42. Определить какие из точек

лежат выше прямой, на прямой и ниже прямой, проходящей через точки .

42. Даны уравнения сторон четырёхугольника Найти уравнения его диагоналей.

43. Найти абсциссу, чтобы четырёхугольник с вершинами был параллелограммом.

44. Доказать, что диагонали четырёхугольника с вершинами взаимно перпендикулярны.

45. Используя калькулятор вычислить расстояние от начала координат до прямой.

46. Используя калькулятор вычислить расстояние от точки до прямой .

47. Даны вершины:.Найти : 1) уравнение стороны; 2) уравнение высоты; 3) уравнение медианы; 4)точку пересечения высотыи медианы; 5) уравнение прямой, проходящей через вершинупараллельно стороне; 6) длину высоты; 7) величины углов.

48. Найти точку симметричную точкеотносительно прямой.

Кривые второго порядка

Парабола.

42. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ОХ и её параметр равен 3.

43. Определить величину параметра и дать эскизы парабол

42. Определить величину параметра, фокус, директрису и дать эскиз.

1) 2)3)4)

42. Написать уравнение параболы, которая имеет фокуси вершину в начале координат.

43. Написать уравнение параболы, которая имеет фокус и вершину в начале координат.

44. Написать уравнение параболы, у которой фокус и уравнение директрисы.

45. Написать уравнение параболы с вершиной и осью симметрии. Парабола проходит через точку

1) ; 2).

42. Написать уравнение параболы с вершиной и осью симметрии. Парабола проходит через точку

1) ; 2).

69. Найти точки пересечения прямой и параболы:

1) 2)

Окружность

70. Написать уравнение окружности, зная

1. её центр Ои радиус; 2) её центр Ои радиус;

71. Найти точки пересечения окружности с осями координат.

Эллипс.

72. Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси

абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1. его полуоси равны 3 и 4;

2. его большая полуось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=12;

3. расстояние между его фокусами 2с=8, а эксцентриситет

4. расстояние между его директрисами равно и расстояние между

фокусами 2с=12.

Пункты 2 и 4 снабдить подробным чертежём.

73. Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что (пункты 2,4 и 6 снабдить подробным чертежем )

1) его полуоси равны 3 и 4;

2. его большая полуось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=16;

3. расстояние между его фокусами 2с=12, а эксцентриситет ;

4. расстояние между его директрисами равно и расстояние между

фокусами 2с=12;

Пункты 2 и4 снабдить подробным чертежём.

74. Дан эллипс. Найти его

1. полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

Дать эскиз.

75. Дать эскиз графика кривой и указать, что это за кривая

1)2).

_{76. Ординату каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1.}

_{уменьшили в 3 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры и сделать}

_{эскиз её графика.}

_{77. Абсциссу каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1.}

_{уменьшили в 2 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры и сделать}

_{эскиз её графика.}

78. Даны фокусы эллипса . Написать уравнения осей его симметрии.

79. Даны: уравнение директрисы параболы и её фокус . Написать уравнение

оси симметрии параболы.

Гипербола.

80. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что

1. её полуоси;

2. её горизонтальная ось 8 , а расстояние между фокусами;

3. расстояние между её фокусами 2с=10, а эксцентриситет ;

4. расстояние между её директрисами равно и расстояние между

фокусами 2с=20;

Пункты 2 и 4 снабдить подробным чертежем.

81. Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что

1. её полуоси равны

2. её горизонтальная полуось равна 3, а расстояние между фокусами ;

3. расстояние между её фокусами 2с=20, а эксцентриситет ;

4. расстояние между её директрисами равно и расстояние между

фокусами 2с=20;

Пункты 2 и 4 снабдить подробным чертежем.

82. Определить, на какой из координатных осей лежат фокусы данных кривых второго

порядка

83. Дано уравнение гиперболы . Найти её

1. полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис; 5) уравнение асимптот.

Построить чертеж гиперболы.

84. Пусть задано уравнение кривой второго порядка: .

Определить:

1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокуса(ов) и их расположение;

4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрисы(с) кривой.

Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Построить чертеж кривой.

85. Пусть задано уравнение кривой второго порядка:. Определить:

1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокуса(ов) и их расположение;

4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрисы(с) кривой.

Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Построить чертеж кривой.

86. Пусть задано уравнение кривой второго порядка:. Определить:

1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокуса(ов) и их расположение;

4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрисы(с) кривой.

Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения. Построить чертеж кривой.

87. Определить тип кривой и построить чертеж кривой:

88. Определить тип кривой и построить чертеж кривой: