Глава I.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Определение 2.1. Линейным уравнением с неизвестными называется уравнение вида .

Здесь коэффициенты заданные числа.

Определение 2.2. Системой линейных уравнений с неизвестными называется выражение вида

, (2.1)

Приведём примеры конкретных систем линейных алгебраических уравнений

(2.2)

Чем различаются эти системы. В первой количество уравнений и количество неизвестных совпадают. Во второй количество уравнений меньше количества неизвестных. В третьей количество уравнений больше количества неизвестных.

Определение 2.3. Если все , то система называется однородной.

Для простоты изложения будем рассматривать системы вида

(2.3)

Решением системы (2.3) называется совокупность трёх чисел , которые после их подстановки в систему превращают каждое уравнение в тождество.

Определение 2.4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

В противном случае система несовместна.

Определение 2.5. Совместная система называется определённой, если она имеет только одно единственное решение. Совместная система называется неопределённой, если она имеет бесконечно много решений .

Определение 2.6. Главной матрицей системы (2.3) называют матрицу

(2.4)

Матрицы

Назовём вспомогательными матрицами системы (2.3)

Матрицу = (2.5)

назовём расширенной матрицей системы (2.3)

Теорема Крамера . Если определитель главной матрицы системы , то формулы

(2.6)

Дают единственное решение системы(2.3).

Замечание. Если , то существует и другой метод решения системы (2.3).

Матричный метод решения определённых систем уравнений.

1шаг. Записываем систему (2.3) в матричном виде

(2.7)

2 шаг. Находим матрицу обратную к главной матрице системы.

3шаг. Умножаем обе части матричной записи системы (2.7) на матрицу :

И так как получаем решение системы .

Пример 2.1. Решить систему

двумя способами: 1) методом Крамера и 2) матричным методом.

1. Решение системы методом Крамера

Так как определитель главной матрицы системы , то решать систему методом Крамера по формулам (3.6) можно.

Находим последовательно

отсюда

Решим эту же систему матричным методом

1 шаг. Записываем систему в матричном виде

2шаг. Вычисляем по формуле

3 шаг. Умножаем обе части системы слева на обратную матрицу

отсюда

_{Используя результаты занятия 1 (матрицы), рекомендуем читателю все вычисления проделать самостоятельно .}

Прежде чем изучать один из наиболее распространённых методов решения систем линейных уравнений, определим понятие равносильных систем уравнений.

Определение 2.7. Две системы линейных уравнений равносильны, если они имеют одни и те же решения.

Теорема 2.1. Если расширенные матрицы двух систем линейных алгебраических уравнений эквивалентны (см. определение 1.12), то системы равносильны.

Приведённый далее метод преобразования одной системы линейных алгебраических уравнений в равносильную ей систему называется методом Гаусса.