Глава I.

Матрицы. Основные определения и правила действия.

Определение 1.1. Матрица это прямоугольная таблица элементов, имеющая строк и столбцов

(1.1)

Матрица (1.1) называется прямоугольной матрицей размером . Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки. Второй индекс обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.

Если число строк равно числу столбцов, то такую матрицу называют квадратной матрицей размером .

Пример 1.1. Матрица размером имеет 2 строки и 3 столбца

Матрица размером (32) имеет 3 строки и 2 столбца .

Пример 1.2. Элемент расположен на пересечении второй строки и третьего столбца. Элемент расположен на пересечении третьей строки и второго столбца. Элемент расположен на пересечении-ой строки и -го столбца.

Определение 1.2. Матрицы обозначаются заглавными буквами. Например, матрица , матрица . Две - матрицы и равны, если соответствующие элементы матриц равны. То есть для всех. Между матрицами разных размеров равенства быть не может.

Элементы алгебры матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется -матрица , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом С=А+В если для всех.

Пример 1.3. Вычислить сумму матриц

Решение.

;

Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя.

Определение 1.3. Чтобы умножить число на матрицу нужно каждый элемент матрицыумножить на число .

Определение 1.4. Выражение , где -числа, а - матрицы называют линейной комбинацией матриц и .

Правило 1. Умножение вектор строки на вектор – столбец.

Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д. и затем полученные произведения сложить.

Пример 1.4. Пусть заданы: вектор- строка и вектор- столбецтребуется перемножить А на В.

РЕШЕНИЕ. =.

Правило 2. Умножение матрицы А размером ( ) на матрицу В размером ().

При умножении матрицы А размером на матрицу В размером получается матрица С размером . Причем элемент матрицы С получается перемножением

ой строки А матрицы и го столбца В матрицы.

Замечание. Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то такие матрицы перемножать можно .

Пример 1.5. Перемножить матрицы А и В

РЕШЕНИЕ. Условия перемножения матриц выполнены. Начнём с вычисления элемента . Нужно первую строку А матрицы умножить на первый столбец В матрицы: =. Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на второй столбец В матрицы:=.

Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на третий столбец

матрицы В матрицы: =.

Остальные элементы С матрицы находим аналогично. Рекомендуем читателю самостоятельно их вычислить.

Ответ: .

Пример 1.6. Умножение столбца на строку. Перемножить.

Решение. Выписываем правило. В результате должна получиться матрица

С размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4))

Ответ: .

Пример 1.6. Умножение матрицы на столбец. Перемножить

Решение. Выписываем правило . Перемножать можно. В результате получается матрица-столбец размером . Выписываем ответ

=

Квадратные матрицы.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов ,называется

квадратной матрицей. Матрицу размером называют матрицей 2-го порядка.

Матрицу размером называют матрицей 3-го порядка и так далее.

Определители квадратных матриц.

Определение 1.5. Определитель матрицы обозначается или .

Определение 1.6. Определитель третьего порядка вычисляется разложением по первой строке по формуле

(1.2)

Определение 1.7. Определитель 2-го порядка также вычисляется разложением по первой строке по формуле

(1.3)

-называется минором элемента . Минор - это определитель, который получается из определителя вычёркиванием первой строки и го столбца.

Определение 1.8. Минор элемента - это определитель, который получается из заданного определителя вычёркиванием ой строки и го столбца.

Пример 1.7. Выписать миноры всех элементов определителя 3-го порядка и вычислить определитель

Решение.

Вычисляем миноры элементов первой строки.

О стальные миноры определителя вычисляются аналогично (проделайте это)

Вычисляем определитель по формуле (1.2)

Замечание. Определители любого порядка большего, чем третий также можно вычислять

разложением по первой строке по правилу

Здесь -это алгебраические дополнения .Вычисляемые по формуле.

Единичные матрицы

Определение 1.9. Матрицы вида

называются единичными матрицами второго и третьего порядков соответственно.

Замечание. . Матрица не изменится , если её умножить на единичную

матрицу (проверьте).

Обратные матрицы

Определение 1.10. Матрица называется матрицей обратной к матрице если