1. Определитель матрицы

2. 

Правило вычисления обратной матрицы размером даётся формулой

(1.4)

Здесь - это определитель матрицы. -миноры матрицы _.

Замечание. Обратите внимание на порядок расположения миноров и знаки миноров в формуле обратной матрицы (1.4).

_{Формула вычисления обратной матрицы}

(1.5)

Замечание. Формулы вычисления обратной матрицы порядков больших, чем три смотрите в любом курсе линейной алгебры.

Пример 1.8. Найти матрицу обратную к данной .

Решение. По определению 1.10 обратная матрица существует если .

В нашем случае определитель и все миноры найдены в примере 1.7. Подставляя найденные значения в формулу (1.4) получаем

_{Сделаем проверку} (см. определение 1.10 пункт 2)) найденного решения. Вычислим произведение

Аналогично проверяется равенство . Обратная матрица найдена верно.

Элементарные преобразования матриц

Для дальнейшего нам понадобятся следующие преобразования матриц.

Определение 1.11. Данные ниже преобразования матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы

1. Перемена местами двух строк.

2. Умножение строки на отличное от нуля число.

3. Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки умноженной на число

Замечание. Другие элементарные преобразования матрицы можно посмотреть в курсе линейной алгебры.

Эквивалентные матрицы.

Определение 1.12. Две матрицы одинаковых размеров эквивалентны, если одну из них можно получить из другой элементарными преобразованиями.

Определение ступенчатой матрицы

У ступенчатой матрицы в первом столбце все элементы начиная со второго равны нулю. Во втором столбце все элементы, начиная с третьего равны нулю и т.д.

Пример 1.9. Матрицы

являются ступенчатыми матрицами.

Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями

Пример 1.10. Используя элементарные преобразования привести матрицу к ступенчатому виду

Решение. 1 шаг. Переставим местами первую и вторую строки данной матрицы

2 шаг. Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на (-7)

3 шаг. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-5)

4 шаг. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на (-2)

5 шаг. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-24). А к четвёртой строке прибавляем вторую, умноженную на (-16). В результате получаем

6 шаг. Умножаем третью строку на и получаем матрицу

7 шаг. Прибавляя к четвёртой строке третью строку , умноженную на(-60) получаем ступенчатую матрицу