
глава 1; элементы линейной алгебры / глава1. ответы и решения
.docxГлава 1. Элементы линейной алгебры..
Тема. Матрицы.
Ответы и решения.
Упражнение 1.2.
Упражнение
1.3. 3)
Указание. Умножьте матрицу на столбец
и приравняйте левую и правую части.
Упражнение1.4.
Ответ
2) Решение.
1 шаг. Умножаем число на матрицу
;
2 шаг. Производим сложение полученных матриц
=
+
=
.
2) Ответ
=
.
;
Упражнение
1.5. Вычисляем
произведения
Ответы:
;
;
;
4);
5) Не существует.
Нарушено правило 2 умножения матрицы
на матрицу. 6)
;7)
Решение. Из правила 2 следует, что
результатом произведения
является матрица С размером
,
а именно
.
Применяя правило 2, получаем последовательно
=
.
Вычисляем
произведение
.
Ответы: 1),2),3) не существуют . Нарушено
правило 2 умножения матрицы на матрицу.
;
5)
; 6) Не существует. Нарушено правило
2 умножения матрицы на матрицу. 7)
.
Упражнение
1.6. Ответы:
1) ;2)
;
3)
;
Упражнение 1.7. Вычисляем миноры первой матрицы
-
Вычисляем минор
элемента
( вычёркиваем первую строку и первый столбец).
=4.
2)
Вычисляем минор
элемента
( вычёркиваем первую строку и второй
столбец).
.
3)
Вычисляем
минорэлемента
( вычёркиваем вторую строку и первый
столбец).
.
4)
Вычисляем
минорэлемента
(
вычёркиваем вторую строку и второй
столбец).
.
Вычисляем миноры остальных матриц
2)
3)
Упражнение 1.8 Вычисляем определители разложением по первой строке .
Упражнение 1.9. Да, являются. Указание. Перемножьте матрицы.
Упражнение 1.10. При вычислении используем формулы выражения обратной
матрицы
Ответы:
Упражнение
1.11 Ответы
:
;
;
.
Упражнение
1.12.
Ответы:.
Упражнение
1.13. Ответы:.
Упражнение
1.14. Ответы:
;
2)
;
3)
.
Упражнение
1.15. Ответы:
.
Упражнение
1.16. 1)
Находим обратную матрицу
=
.
Умножаем слева уравнение на обратную матрицу
.
2)
Системы линейных алгебраических уравнений.
Ответы и решения.
Упражнение
2.2. К первой. Найдём решение этой
системы. Выписываем главную матрицу
системы
и вычисляем её определитель
.
Так как
,
то систему можно решать методом Крамера.
Вычисляя
и
, применяя формулы Крамера , находим:
.
Отсюда
.
Поверяем полученный результат
Решение найдено верно.
Упражнение
2.3. Ответы:
.
Упражнение
2.5. Ответы:
.
Приведём подробное решение первой
системы: 1 шаг. Записываем систему в
матричном виде
2
шаг. Вычисляем определитель главной
матрицы
.
Вычисляем обратную матрицу по формуле
3 шаг. Умножаем обе части системы слева на обратную матрицу
Отсюда
Проверка
найденного решения
.
Решение найдено верно.
Упражнение
2.6. Ответы:
Упражнение
2.7. Ответы:
Указания. Обратными матрицами к главным матрицам данных систем являются соответственно матрицы
Упражнение 2.8.
Решение. Система имеет ступенчатый
вид. Каждое следующее уравнение имеет
неизвестных на единицу меньше. Такие
системы исследуются и решаются просто.
Из третьего уравнения находим.
Подставляя найденное значение во второе
уравнение находим
:
. Подставляя найденные значения в
первое уравнение находим
Получаем ответ
.
Упражнение 2.11. Решение. Выписываем расширенную матрицу системы
и начинаем элементарными преобразованиями приводить её к ступенчатому виду.
1 шаг. Переставляем первую и вторую строки матриц
2 шаг. Умножаем первую строку матрицы на (-2) и прибавим ко второй строке. Затем первую строку прибавим третьей строке. В результате будем иметь
3 шаг. Умножаем вторую строку на
4 шаг. К третьей строке прибавим вторую строку и в результате получаем ступенчатую матрицу
5 шаг. Согласно полученной матрице выписываем систему линейных уравнений, равносильную первоначальной системе.
6 шаг. Совершаем
обратный ход. Из третьего уравнения
системы получаем
Подставляя полученное
во второе уравнение находим
=2.
Подставляя полученные
в
первое уравнение, находим
=1.
Ответ: система имеет единственное
решение
Упражнение 2.12. Ответы: 1) ;
2) система несовместна.
Упражнение 2.13.
Ответы: