глава 1; элементы линейной алгебры / глава1. ответы и решения
.docxГлава 1. Элементы линейной алгебры..
Тема. Матрицы.
Ответы и решения.
Упражнение 1.2.
Упражнение 1.3. 3) Указание. Умножьте матрицу на столбец и приравняйте левую и правую части.
Упражнение1.4. Ответ
2) Решение.
1 шаг. Умножаем число на матрицу
;
2 шаг. Производим сложение полученных матриц
=+= .
2) Ответ = .
;
Упражнение 1.5. Вычисляем произведения
Ответы: ;;;
4); 5) Не существует. Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу. 6);7) Решение. Из правила 2 следует, что результатом произведения является матрица С размером , а именно . Применяя правило 2, получаем последовательно
=.
Вычисляем произведение . Ответы: 1),2),3) не существуют . Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу.
; 5) ; 6) Не существует. Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу. 7).
Упражнение 1.6. Ответы: 1) ;2);
3) ;
Упражнение 1.7. Вычисляем миноры первой матрицы
-
Вычисляем минор элемента ( вычёркиваем первую строку и первый столбец).
=4.
2) Вычисляем минор элемента ( вычёркиваем первую строку и второй столбец).
.
3) Вычисляем минорэлемента ( вычёркиваем вторую строку и первый столбец).
.
4) Вычисляем минорэлемента ( вычёркиваем вторую строку и второй столбец).
.
Вычисляем миноры остальных матриц
2)
3)
Упражнение 1.8 Вычисляем определители разложением по первой строке .
Упражнение 1.9. Да, являются. Указание. Перемножьте матрицы.
Упражнение 1.10. При вычислении используем формулы выражения обратной
матрицы
Ответы:
Упражнение 1.11 Ответы :
;
;
.
Упражнение 1.12. Ответы:.
Упражнение 1.13. Ответы:.
Упражнение 1.14. Ответы: ; 2); 3) .
Упражнение 1.15. Ответы: .
Упражнение 1.16. 1) Находим обратную матрицу =.
Умножаем слева уравнение на обратную матрицу
.
2)
Системы линейных алгебраических уравнений.
Ответы и решения.
Упражнение 2.2. К первой. Найдём решение этой системы. Выписываем главную матрицу системы и вычисляем её определитель. Так как , то систему можно решать методом Крамера. Вычисляя и , применяя формулы Крамера , находим:. Отсюда . Поверяем полученный результат
Решение найдено верно.
Упражнение 2.3. Ответы: .
Упражнение 2.5. Ответы: . Приведём подробное решение первой системы: 1 шаг. Записываем систему в матричном виде
2 шаг. Вычисляем определитель главной матрицы . Вычисляем обратную матрицу по формуле
3 шаг. Умножаем обе части системы слева на обратную матрицу
Отсюда Проверка найденного решения . Решение найдено верно.
Упражнение 2.6. Ответы:
Упражнение 2.7. Ответы:
Указания. Обратными матрицами к главным матрицам данных систем являются соответственно матрицы
Упражнение 2.8.
Решение. Система имеет ступенчатый вид. Каждое следующее уравнение имеет неизвестных на единицу меньше. Такие системы исследуются и решаются просто. Из третьего уравнения находим. Подставляя найденное значение во второе уравнение находим : . Подставляя найденные значения в первое уравнение находим
Получаем ответ .
Упражнение 2.11. Решение. Выписываем расширенную матрицу системы
и начинаем элементарными преобразованиями приводить её к ступенчатому виду.
1 шаг. Переставляем первую и вторую строки матриц
2 шаг. Умножаем первую строку матрицы на (-2) и прибавим ко второй строке. Затем первую строку прибавим третьей строке. В результате будем иметь
3 шаг. Умножаем вторую строку на
4 шаг. К третьей строке прибавим вторую строку и в результате получаем ступенчатую матрицу
5 шаг. Согласно полученной матрице выписываем систему линейных уравнений, равносильную первоначальной системе.
6 шаг. Совершаем обратный ход. Из третьего уравнения системы получаем
Подставляя полученное во второе уравнение находим =2. Подставляя полученные в первое уравнение, находим =1.
Ответ: система имеет единственное решение
Упражнение 2.12. Ответы: 1) ; 2) система несовместна.
Упражнение 2.13.
Ответы: