глава 1; элементы линейной алгебры / глава1. ответы и решения

Глава 1. Элементы линейной алгебры..

Тема. Матрицы.

Ответы и решения.

Упражнение 1.2.

Упражнение 1.3. 3) Указание. Умножьте матрицу на столбец и приравняйте левую и правую части.

Упражнение1.4. Ответ

2) Решение.

1 шаг. Умножаем число на матрицу

;

2 шаг. Производим сложение полученных матриц

=+= .

2) Ответ = .

;

Упражнение 1.5. Вычисляем произведения

Ответы: ;;;

4); 5) Не существует. Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу. 6);7) Решение. Из правила 2 следует, что результатом произведения является матрица С размером , а именно . Применяя правило 2, получаем последовательно

=.

Вычисляем произведение . Ответы: 1),2),3) не существуют . Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу.

; 5) ; 6) Не существует. Нарушено правило 2 умножения матрицы на матрицу. 7).

Упражнение 1.6. Ответы: 1) ;2);

3) ;

Упражнение 1.7. Вычисляем миноры первой матрицы

1. Вычисляем минор элемента ( вычёркиваем первую строку и первый столбец).

=4.

2) Вычисляем минор элемента ( вычёркиваем первую строку и второй столбец).

.

3) Вычисляем минорэлемента ( вычёркиваем вторую строку и первый столбец).

.

4) Вычисляем минорэлемента ( вычёркиваем вторую строку и второй столбец).

.

Вычисляем миноры остальных матриц

2)

3)

Упражнение 1.8 Вычисляем определители разложением по первой строке .

Упражнение 1.9. Да, являются. Указание. Перемножьте матрицы.

Упражнение 1.10. При вычислении используем формулы выражения обратной

матрицы

Ответы:

Упражнение 1.11 Ответы :

;

;

.

Упражнение 1.12. Ответы:.

Упражнение 1.13. Ответы:.

Упражнение 1.14. Ответы: ; 2); 3) .

Упражнение 1.15. Ответы: .

Упражнение 1.16. 1) Находим обратную матрицу =.

Умножаем слева уравнение на обратную матрицу

.

2)

Системы линейных алгебраических уравнений.

Ответы и решения.

Упражнение 2.2. К первой. Найдём решение этой системы. Выписываем главную матрицу системы и вычисляем её определитель. Так как , то систему можно решать методом Крамера. Вычисляя и , применяя формулы Крамера , находим:. Отсюда . Поверяем полученный результат

Решение найдено верно.

Упражнение 2.3. Ответы: .

Упражнение 2.5. Ответы: . Приведём подробное решение первой системы: 1 шаг. Записываем систему в матричном виде

2 шаг. Вычисляем определитель главной матрицы . Вычисляем обратную матрицу по формуле

3 шаг. Умножаем обе части системы слева на обратную матрицу

Отсюда Проверка найденного решения . Решение найдено верно.

Упражнение 2.6. Ответы:

_{Упражнение 2.}7. Ответы:

Указания. Обратными матрицами к главным матрицам данных систем являются соответственно матрицы

Упражнение 2.8.

_{Решение. Система имеет ступенчатый вид. Каждое следующее уравнение имеет неизвестных на единицу меньше. Такие системы исследуются и решаются просто. Из третьего уравнения находим}. Подставляя найденное значение во второе уравнение находим : . Подставляя найденные значения в первое уравнение находим

Получаем ответ .

Упражнение 2.11. Решение. Выписываем расширенную матрицу системы

и начинаем элементарными преобразованиями приводить её к ступенчатому виду.

1 шаг. Переставляем первую и вторую строки матриц

2 шаг. Умножаем первую строку матрицы на (-2) и прибавим ко второй строке. Затем первую строку прибавим третьей строке. В результате будем иметь

3 шаг. Умножаем вторую строку на

4 шаг. К третьей строке прибавим вторую строку и в результате получаем ступенчатую матрицу

5 шаг. Согласно полученной матрице выписываем систему линейных уравнений, равносильную первоначальной системе.

6 шаг. Совершаем обратный ход. Из третьего уравнения системы получаем

Подставляя полученное во второе уравнение находим =2. Подставляя полученные в первое уравнение, находим =1.

Ответ: система имеет единственное решение

Упражнение 2.12. Ответы: 1) ; 2) система несовместна.

Упражнение 2.13.

Ответы: