ЛАБ_ПРАК_MathCad
.pdf
|
|
y’(0)=1/2 |
|
|
|
|
|||
23 |
|
y''+y = x + 2ex |
|
||||||
|
|
|
y(0)=1/3 |
|
|
|
|
||
|
|
y’(0)=1/2 |
|
|
|
|
|||
24 |
|
y''+4 y'+5y = 5x2 −32x +5 |
|
||||||
|
|
|
y(0)=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=1 |
|
|
|
|
||
25 |
|
y''−3y'+2y = ex |
|
||||||
|
|
|
y(0)=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=2 |
|
|
|
|
||
26 |
|
y''+3y'= 9x |
|
|
|
||||
|
|
|
y(0)=0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=1 |
|
|
|
|
||
27 |
|
y''+4 y = 8sin(2x) |
|
||||||
|
|
|
y(0)=1/2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=0 |
|
|
|
|
||
28 |
|
y''−2y'= x2 − x |
|
||||||
|
|
|
y(0)=3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=2 |
|
|
|
|
||
29 |
|
y''+5y'+6y = e−x + e−2 x |
|
||||||
|
|
|
y(0)=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
y’(0)=1 |
|
|
|
|
||
30 |
|
y''+4y'+4y = |
e |
−2 x |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
||
|
|
y(0)=1 |
y’(0)=1/2 |
|
|||||
|
|
Пример выполнения задания: |
|
||||||
|
|
Задание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ДУ с разделяющимися |
|
Неоднородное ДУ |
|||||||
|
переменными |
|
первого порядка |
||||||
61
y'= y sin(x) |
y'+2xy = xe |
−x2 |
sin(x) |
|
y(0)=1 |
|
|||
|
y(0)=1 |
|
||
x [0; 2π] |
|
|
||
|
|
|
|
|
Неоднородное |
ДУ |
|
|
|
второго порядка |
|
|
|
|
y''+x2 y'+xy = ex cos(x)
y(0)=-8 y’(0)=3
1. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными можно представить как:
d |
y(x) |
|
f(x,y) |
y(x0) |
|
y0 |
|
|
|||||
dx |
, |
|||||
|
|
|
|
|||
где y(x) – неизвестная функция, а функция f(x,y) – представляет собой неоднородную часть ДУ, которая здесь допускает представление f(x,y)=g(x)*h(y).
Для решения данного ДУ нужно задать правую часть f(x,y), начальные условия и интервал изменения x на котором следует найти решение,
f(x,y) := y sin(x)
x0 := 0 |
y0 := 1 |
x1 := 2π . |
Далее записывается блок решения ДУ, который начинается командным словом Given и формируется при помощи панели инструментов «Булево»:
62
Given |
|
|
|
||
y'(x) |
|
f(x,y(x)) |
y(x0) |
|
y0 |
|
|
||||
|
|
||||
y := Odesolve(x,x1) |
, |
||||
|
|
|
|||
где Odesolve(x,x1) – встроенная функция пользователя, которая формирует решение ДУ, заданного командным блоком Given. x – переменная дифференцирования, x1 – конечное значение интервала интегрирования.
2. Для записи разностной схемы ДУ необходимо задать количество итераций N, итерационный параметр i и шаг по переменной интегрирования dx:
N := 50
i := 0 ..N dx := (x1 − x0) N .
Наберем вектор значений переменной интегрирования и начальное значение искомого решения y1:
xi := x0 + i dx y10 |
:= y0 |
|
. |
Запишем разностную схему:
(y1i+1 − y1i) |
|
|
f(xi,y1i) |
|
|
|
|||
dx |
|
|
||
|
|
|||
, |
||||
|
||||
где вид правой части f(x,y) был задан выше. Получаем, что разностное решение имеет вид:
63
y1i+1 := y1i + f(xi,y1i) dx.
3. Сравним два полученных выше решения графически:
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
y(x2) |
5 |
|
|
|
1 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
||
|
x0 |
x,x2 |
x1 |
. |
Из графика следует, что при уменьшении параметра N точность полученного в пункте 2 решения будет ухудшаться,
апри увеличении N – улучшаться.
4.Найдем решение неоднородного ДУ первого порядка, для этого запишем его в общем виде: y’=a(x)*y+b(x) и применим к нему готовую математическую формулу, которую можно найти в любой книге, посвященной решению обыкновенных ДУ [6]
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b(z)dz , (2) |
y(x,C) = C exp |
∫a(t)dt |
+ ∫exp ∫a(t)dt |
||||
|
0 |
|
0 |
z |
|
|
где С – константа интегрирования.
64
Заметим, что у нас a(x) = −2 x и b(x) = x e−x2 , запишем формулу (2) в MathCad:
⌠x |
|
⌠x |
⌠x |
|
y(x,C) := C exp |
−2 t dt |
+ |
exp |
−2 t dt z exp(−z2) sin(z) dz |
⌡0 |
|
⌡ |
⌡z |
|
|
|
0 |
|
. |
Получим следующий результат:
y(x,C) → C exp(−x2)+ (sin(x) − x cos(x)) exp(−x2).
Подставим начальное условие: Y0 := 1
y(x,Y0)→ exp(−x2)+ (sin(x) − x cos(x)) exp(−x2).
Для графика полученного решения необходимо задать интервал изменения переменной x и шаг ее изменения:
x := −5 ,−4.95..5 .
Теперь можно построить график:
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x,Y0) |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− 0.015 0.5 |
5 |
0 |
5 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
− 6 |
x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
65
5. Сделаем проверку полученного в пункте 4 решения. Для этого подставим полученную функцию в исходное уравнение и воспользуемся символьной функцией simplify:
d y(x,C) + 2 x y(x,C) simplify→ x sin(x) exp(−x2) |
|
dx |
. |
|
Как мы можем убедиться, что полученный результат полностью совпадает с исходной правой частью.
6. Для решения неоднородного ДУ второго порядка, как и пункте 1, используется блок начинающийся с командного слова Given и встроенная функция пользователя
Odesolve:
|
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d2 |
2 |
|
d |
|
|
|
|
|
x |
cos(x) |
||||
|
|
|
y(x) + x |
|
|
|
y(x) + x y(x) |
|
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx2 |
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y(0) |
|
|
−8 |
|
|
|
y'(0) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y := odesolve(x,6 ,100) |
|
|
|
|
, |
|||||||||
где x – аргумент |
функции, |
6 – конечное значение |
|||||||||||||
аргумента, 100 – количество шагов.
Для графического представления зададим x следующим образом
x := 0 ,0.06..6 .
Тогда график y(x) примет вид
66
5
2.681
0
y(x)
5 |
|
|
|
|
|
− 8 10 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
||||
|
0 |
|
x |
6 |
. |
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 «Программирование в MathCad»
Цель работы: Познакомить читателя с возможностями программирования в системе MathCad.
Рекомендуемая литература: [1-4, 7].
Задание:
67
1.С помощью условного оператора создать формулу для вычисления значений функции двух переменных.
2.Построить поверхность, заданную формулой из пункта 1..
3.С помощью циклического оператора вычислить 10 значений ряда.
4.Вычислить сумму и произведение элементов ряда лежащих в заданном интервале.
5.Вычислить абсолютную и относительную разницу между i- частичной суммой и суммой ряда.
6.Найти разброс i – частичных сумм относительно суммы ряда.
Таблица № 6.1: Варианты лабораторной работы № 6 . «Программирование в MathCad»
№ |
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вар. |
|
|
Поверхности |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
если |
x |
2 |
+y |
2 |
≤1 |
|
||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||||||
|
Z(x, y) = 0 |
|
если 1<x2 +y2 ≤2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
если |
x |
2 |
+y |
2 |
>2 |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
x + y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
если |
|
т.(x, y) I квадранту |
||||||||||||||
|
Z (x, y) = |
0 |
|
вост. |
|
|
|
|
|
случаях |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
x |
2 |
+y |
2 |
если |
x |
2 |
|
+y |
2 |
≤9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Z(x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
вост. |
|
случаях |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
68
4
5
6
7
8
9
1
10
x |
если |
x и y четные |
|
если |
x и y нечетные |
Z (x, y) = y |
||
|
вост. |
случаях |
0 |
| x + y |
| |
если |
|
|x + y|- четная |
||||||
Z(x, y) = |
|
|
|
|
если |
|x + y|- нечетная |
||||
| x − y | |
||||||||||
|
|
|
+y |
|
|
если |
2 |
2 |
||
Z(x, y) = 2x |
|
|
x |
+y ≤16 |
||||||
x−2y |
|
|
вост. |
случаях |
||||||
|
1−x2 |
+y2 |
если x <y |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
если x =y |
||||
Z(x, y) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
если x >y |
|||
|
1+x |
|
−y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
если |
xy < 3 |
|||||
Z(x, y) = x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
вост. |
случаях |
||
|
2 |
|
+ y |
2 |
если |
x > y |
||||
Z(x, y) = x |
|
|
|
|
||||||
y2 +x |
вост. |
случаях |
||||||||
xy
Z (x, y) = xy
x + y
2 |
|
если |
x и y четные |
если |
x и y нечетные |
вост. |
случаях |
69
11
12
13
14
15
16
17
1
18
Z(x, y)
Z(x, y)
sin(2x3 + y)
=
2x3 + y
x +sin(x + y)
= y +sin(x + y)
если |
xy > 0 |
вост. |
случаях |
если |
x > y |
вост. |
случаях |
|
xy |
|
если |
2 |
2 |
|
|
|
x |
+y ≤1 |
|||
Z(x, y) = | x+y| |
если 1<x2 +y2 ≤2 |
|||||
|
|
|
|
если |
2 |
2 |
| x−y| |
x |
+y >2 |
||||
Z(x, y) = |
|
2 |
+ y |
если |
|
xy < 0 |
x |
|
|
||||
|
x2 |
− y |
вост. |
случаях |
||
Z(x, y) = x3 + y −1 |
если |
0 < xy <3 |
|||||||||
y3 + x −1 вост. |
|
|
случаях |
||||||||
|
|
2 |
если |
x |
2 |
+y |
2 |
≤1 |
|||
x |
|
|
|
||||||||
Z(x, y) = 1 |
если 1<x2 +y2 ≤2 |
||||||||||
|
|
2 |
если |
x |
2 |
+y |
2 |
>2 |
|||
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
+ y +1 |
если |
|
|
|
x > y |
||||
Z(x, y) = x |
|
|
|
|
|||||||
|
y −x |
вост. |
случаях |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ y |
если |
|
|
|
x > y |
|||
Z(x, y) = |
x |
|
|
|
|||||||
y2 −x +2 |
вост. |
|
случаях |
||||||||
70