Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛАБА №1 оформленная .doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.07.2019
Размер:
430.59 Кб
Скачать

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

Кафедра прикладной

математики

Отчет по лабораторной работе №1

«Решение нелинейных алгебраических уравнений.

Методы решения систем линейный алгебраических уравнений.»

Выполнил: студ. гр.321

Гридин Александр

Проверил:

Федорченко И. А.

Новосибирск 2011.

1. Часть работы.

Постановка задачи. Задано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0,5х-1-(x-2)2+x=0. Решением уравнения является значение х*, такое, что f(x*)=0. Решить уравнение приближенным (итерационным) методом – значит построить последовательность {xn} (n – номер итерации, т.е. приближения к решению), сходящуюся к точному решению уравнения: =x*. Итерационный метод задается рекуррентной формулой, позволяющей определить последующее приближение по известным предыдущим. Итерационный процесс заканчивается, когда |xn-x*|<ε, где ε – точность метода, некоторое наперед заданное число. Перед тем, как начать решение уравнения итерационным методом, необходимо исследовать уравнение на наличие корней и для каждого из корней найти свой интервал изоляции [a,b], содержащего единственный корень уравнения. Условием того, что на отрезке [a,b] существует хотя бы один корень уравнения является f(a)f(b)<0.

Описание методов решения.

  1. Метод деления отрезка пополам. Определяем середину отрезка [a,b]: c=(a+b)/2 и проверяем, какому из двух отрезков (a,c) или (c,b) принадлежит искомый корень, т.е. проверяем: f(a)f(c)<0 либо f(c)f(b)<0. Концы нового отрезка, которому принадлежит корень, обозначаем a, b и повторяем процедуру до тех пор, пока не будет достигнуто условие сходимости итерационного процесса: |b-a|<ε. Последующие границы интервала изоляции корня принимаем:

ci-1, если f(ai-1)f(ci-1)>0;

ai =

ai-1, в противном случае

bi-1, если f(ai-1)f(ci-1)>0;

bi =

ci-1, в противном случае i = 1,2,3…

ci = (ai+bi)/2, i = 0,1,2…;

Вычисления оформляются в виде таблицы:

i

a

b

c

f(a)

f(c)

|b-a|

0

1

  1. Метод простой итерации. Приведем исходное уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации: x = φ(x), где, например, φ(x) = x-τf(x). Параметр τ подберем таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости метода: |φ'(x)|<1 для всех xє[a,b].Выберем начальное приближение х0 = (a+b)/2. Следующие итерации находим по формуле: xk+1 = φ(xk). Часто τ берут в виде: τ=2/(M+m), где M = max(f '(x)), m = min(f '(x)). Условие окончания итерационного процесса |xi-xi-1|<ε.

i

x

|xi-xi-1|

0

x0

|x1-x0|

1

x1

  1. Метод Ньютона. Выберем начальное приближение x0є[a,b]:

a, если f(a)f ''(a)>0 ;

х0 =

b, в противном случае.

Следующие итерации определяются о формуле xk+1 = xk-f(xk)/f '(xk). Условие окончания итерационного процесса |xi-xi-1|<ε. Вычисления оформляются в виде таблицы:

i

x

f(x)

f '(x)

|xi-xi-1|

0

x0

f(x0)

f '(x0)

|x1-xi-1|

1

x1

f(x1)

f '(x1)

Формулировка задания.

  1. Исследовать функцию f(x)=0,5х-1-(x-2)2+x=0 на наличие корней графически. Найти интервалы, на которых существует единственный корень уравнения.

  2. Для каждого интервала изоляции [a,b] с заданной точностью ε=0.001 найти корни уравнения с использованием метода деления отрезка пополам, метода простой итерации, метода Ньютона.

Исследование функции f(x)=0,5х-1-(x-2)2+x=0:

х

f(x)

-8

147

-7

39

-6

-7

-5

-23

-4

-25

-3

-21

-2

-15

-1

-9

0

-4

1

-0,5

2

1,25

3

1,125

4

-0,9375

5

-4,96875

6

-10,9844

7

-18,9922

8

-28,9961

9

-40,998

10

-54,999

Интервал изоляции [-7;-6], [1;2], [3;4].

Решение уравнения.

  1. Метод деления отрезка пополам.

Интервал изоляции [-7;-6].

i

a

b

c

F(a)

F(c)

|b-a|

0

-7

-6

-6,5

39

10,75967

1

1

-6,5

-6

-6,25

10,759668

0,796755

0,5

2

-6,25

-6

-6,125

0,7967554

-3,34813

0,25

3

-6,25

-6,125

-6,1875

0,7967554

-1,34018

0,125

4

-6,25

-6,1875

-6,21875

0,7967554

-0,28821

0,0625

5

-6,25

-6,21875

-6,23438

0,7967554

0,250101

0,03125

6

-6,23438

-6,21875

-6,22656

0,2501008

-0,02009

0,015625

7

-6,23438

-6,22656

-6,23047

0,2501008

0,114745

0,007813

8

-6,23047

-6,22656

-6,22852

0,1147445

0,047261

0,003906

9

-6,22852

-6,22656

-6,22754

0,0472615

0,013569

0,001953

10

-6,22754

-6,22656

-6,22705

0,0135686

-0,00327

0,000977

c=(-7-6)/2=-6,5

f(a)=0,5-7-1-(-7-2)2-7=39

f(c)=0,5-6,5-1-(-6,5-2)2-6,5=10,75967

f(a)* f(c)>0

Интервал изоляции [1;2].

i

a

b

c

F(a)

F(c)

|b-a|

0

1

2

1,5

-0,5

0,603553

1

1

1

1,5

1,25

-0,5

0,107948

0,5

2

1

1,25

1,125

-0,5

-0,18212

0,25

3

1,125

1,25

1,1875

-0,182123

-0,03359

0,125

4

1,1875

1,25

1,21875

-0,033593

0,038053

0,0625

5

1,1875

1,21875

1,203125

-0,033593

0,002449

0,03125

6

1,1875

1,203125

1,195313

-0,033593

-0,01552

0,015625

7

1,195313

1,203125

1,199219

-0,015518

-0,00652

0,007813

8

1,199219

1,203125

1,201172

-0,006521

-0,00203

0,003906

9

1,201172

1,203125

1,202148

-0,002033

0,000209

0,001953

10

1,201172

1,202148

1,20166

-0,002033

-0,00091

0,000977

c=(1+2)/2=1,5

f(a)=0,51-1-(2-2)2+1=-0,5

f(c)=0,51,5-1-(1,5-2)2+1,5=0,603553

f(a)* f(c)<0

Интервал изоляции [3;4].

i

a

b

c

F(a)

F(c)

|b-a|

0

3

4

3,5

1,125

0,338388

1

1

3,5

4

3,75

0,338388

-0,23817

0,5

2

3,5

3,75

3,625

0,338388

0,065427

0,25

3

3,625

3,75

3,6875

0,065427

-0,08254

0,125

4

3,625

3,6875

3,65625

0,065427

-0,0076

0,0625

5

3,625

3,65625

3,640625

0,065427

0,029154

0,03125

6

3,640625

3,65625

3,648438

0,029154

0,010838

0,015625

7

3,648438

3,65625

3,652344

0,010838

0,001635

0,007813

8

3,652344

3,65625

3,654297

0,001635

-0,00298

0,003906

9

3,652344

3,654297

3,65332

0,001635

-0,00067

0,001953

10

3,652344

3,65332

3,652832

0,001635

0,000482

0,000977

c=(3+4)/2=3,5

f(a)=0,53-1-(3-2)2+3=1,125

f(c)=0,53,5-1-(3,5-2)2+3,5=0,338388

f(a)* f(c)>0

  1. Метод Ньютона.

Условие начального приближения

f(x)*f''(x)>0

Интервал изоляции [-7;-6].

k

xi

Xi+1 –Xi

F(xi)

f'(xi)

0

-7

0,559358

39

-69,7228

1

-6,44064

0,193172

8,176259

-42,3264

2

-6,24747

0,020124

0,7077

-35,1676

3

-6,22735

0,000202

0,006952

-34,4783

4

-6,22715

 

6,91E-07

-34,4715



x

f

f''

-7

39

59,497986

-6

-7

28,748993

f(-7)=0,5-7-1-(-7-2)2-7=39

f''(x)=0,5x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5x*(ln0.5)2-5;

f'(-7)= 0,5-7 *ln0.5-5*(-7)+5 =-69.7228

f(-7)* f''(-7)= 39*59.497986>0

x1=x0- f(x)/ f'(x)=-7+39/(-69.7228)=-6.44064

|X1-X0|=-0,55936>0,001

Интервал изоляции [1;2].

k

xi

Xi+1 –Xi

F(xi)

f'(xi)

0

1

0,188436

-0,5

2,653426

1

1,188436

0,01355

-0,03142

2,318991

2

1,201986

7,16E-05

-0,00016

2,294734

3

1,202057

 

-4,6E-09

2,294605



x

f

f''

1

-0,5

-1,759773

2

1,25

-1,879887

f(1)=-0.5

f''(x)=0,5x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5x*(ln0.5)2-5;

f'(1) =-1.759773

f(1)* f''(1)= -0.5*(-1.759773)>0

x1=x0- f(x)/ f'(x)=1+0.5/2.653426=1.188436

|X1-X0|>0,001

Интервал изоляции [3;4].

k

xi

Xi+1 –Xi

F(xi)

f'(xi)

0

4

-0,30805

-0,9375

-3,04332

1

3,691948

-0,0383

-0,09336

-2,43753

2

3,653646

-0,00061

-0,00144

-2,36237

3

3,653036

 

-3,6E-07

-2,36117



x

f

f''

3

1,125

-1,939943

4

-0,9375

-1,969972

f(4)=-0.9375

f''(x)=0,5x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5x*(ln0.5)2-5;

f'(4) =-3.04332

f(4)* f''(4)= -0.9375*(-1.939943)>0

x1=x0- f(x)/ f'(x)=4+0.9375/(-3.04332)=3.691948

|X1-X0|>0,001

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.