ЛАБ_ПРАК_MathCad

В MathCad имеется функция root, которая позволяет находить корень из заданного интервала для любых уравнений. В частности для уравнений n-ой степени имеется два способа использования этой функции.

Примечание: В данной функции реализован метод Ньютона для нахождения корней уравнения, поэтому необходимо задавать начальное значение x, с которого и начинается поиск корня.

Первый способ. Задаем начальное значение x: x := −1.

Вызываем функцию:

X11 := root(y(x) ,x,−2 ,−1) ,

где y(x) – заданная левая часть уравнения y(x)=0; x – приближенное значение аргумента; (–2) – левый край интервала, которому принадлежит искомый корень; (–1) – правый край интервала.

Для просмотра полученного значения достаточно набрать X11=, получим:

.

Оставшиеся два корня ищутся аналогично:

Второй способ. Задаем начальное значение x:=-1 и вызываем функцию:

41

X1 := root(y(x) ,x) .

Здесь интервалы не указываем, и функция ищет ближайший, к заданному значению, корень

X1 = −1.5 .

Для нахождения второго корня задаем значение x:=1 и исключаем из функции уже найденный корень:

2.Выполним проверку полученного решения:

Мы видим, что корень из интервала [1; 2] более точно найден функцией solve.

3. Трансцендентные уравнения можно решать графически, разбив уравнения на два более простых. Например, наше уравнение, заданное в виде

Y(x) := e2x + cos(3 x) ,

разобьем на два:

42

Построим графики этих уравнений

2

2

y1( X)

0

y2( X)

По графику видно, что все корни уравнения лежат в интервале (-∞;0). Найдем несколько корней при помощи функции root (интервалы можно подобрать по графику):

4.Выполним проверку полученного решения:

43

Y(X1) = 0 Y(X2) = 0 Y(X3) = 0

Можно увидеть, что корни находятся с достаточно хорошей точностью, но с удалением от точки 0 точность начинает ухудшаться.

5. Зададим систему уравнений матрицей А и вектором правых частей f:

Проведем исследование данной системы на разрешимость, для этого вычислим определитель матрицы А:

A = 36 .

Так как определитель матрицы не равен нулю, следовательно, наша система разрешима и имеет единственное решение.

Получим данное решение графически. Для этого построим каждую плоскость отдельно. В MathCad плоскости задаются так

z3(x,y) := (f2 − A2,0 x − A2,1 y)

.

44

Графическое представление этих плоскостей имеет

вид

Видно, что в пересечении мы получим одну общую точку для всех плоскостей, которая и будет решением данной системы.

6. Решим систему уравнений матричным методом. Для этого найдем обратную матрицу:

B := A− 1 .

Теперь можно найти решение системы:

X := B f .

Вектор неизвестных имеет вид

45

Задание:

1.По заданной выборке построить аппроксимацию на основе заданного набора базисных функций с помощью метода наименьших квадратов.

2.На основе набора базисных функций, предложенного в пункте 1, построить регрессию для заданной выборки.

3.Провести сравнение результатов пункта 1 и пункта

2.

Варианты выборок находятся в таблице № 2 (см. лаб. работу №2), а вариант набора базисных функций представлены в таблице № 4.

Таблица № 4: Варианты набора базисных функций.

47

Пример выполнения задания:

Задание:

X Y

0 1

0.50.833

0.20.667

1.50.54

48

2.50.286

2 0.25

3.50.222

Базис произвольных функций: cos(x), x2, ex, ln(x+1),

sin(x).

1. Для удобства работы рекомендуем отсортировать выборки так, как это делалось в Лабораторной работе № 2. Получим:

Зададим константы: N – номер последнего элемента выборки, n – число базисных функций минус единица и параметр i:

Вычислим значения заданных функций в точках выборки x:

49

Сформируем матрицу системы уравнений для нахождения коэффициентов пробной функции. Для этого зададим параметры:

Далее строим вектор правых частей для данной системы уравнений:

Решаем нашу систему уравнений M*a=f (см. лаб. работа №3).

После чего получаем требуемую аппроксимацию: P(X) := a0 f0(X) + a1 f1(X) + a2 f2(X) + a3 f3(X) + a4 f4(X) .

График аппроксимации P(X) и экспериментальные точки представлены на рисунке

50