4. 1. 3. Задача 1.3. Статически неопределимая стержневая система
Дано: ОВС – жёсткий стержень, стержень ВЕ: ЕВЕ = 2 ·1 0 5 МПа, R = 200 МПа, σs,ВЕ = 300 МПа, площадь поперечного сечения А; стержень СD: ЕСD = 1 · 10 5 МПа, R = 120 МПа, σs,СD = 180 МПа и площадь поперечного сечения 2А.
Требуется:
1. Определить усилия в стержнях при действии силы F.
2. Определить параметр площади поперечного сечения А.
3. Найти значение нагрузки Fs по методу предельного равновесия и допустимое значение силы Fadm. Сравнить Fadm с заданной нагрузкой. Принять коэффициент запаса прочности для обоих стержней k = 1,5.
Решение
Определение опорных реакций
Статическая сторона задачи. Составим уравнения равновесия:
∑X = 0; НО - RЕ + F = 0, ∑Y = 0;VО +RD – 2 · 4 ·q= 0,
∑mО = 0; 1,5 · F + 2 · 4 · q – 4 · RD – 3 · RЕ = 0 =>
7,5 · F – 4 · RD - 3RЕ = 0.
Уравнений статики – три, неизвестных опорных реакций – 4, степень статической неопределимости nst = 4 – 3 = 1 – задача один раз статически неопределимая, т.е. требуется привлечь еще одно уравнение для раскрытия статической неопределимости.
Геометрическая
сторона задачи. Под
действием нагрузки стержень ВЕ
растягивается, а стержень СD
сжимается, стержень ОВС поворачивается
по ходу часовой стрелки относительно
точки О. Точка В переходит в точку В1
по дуге окружности, но в связи с малостью
деформаций и небольшой кривизной дуги
будем считать, что перемещение точки В
осуществляется вдоль оси стержня ВЕ и
составляет удлинение стержня. Точка С
переходит в точку С1
по дуге окружности (радиус окружности
ОС = ОС1),
пренебрегаем малостью кривизны и
принимаем, что перемещение точки С в С1
происходит по прямой (СС1
ОС,
СС1
ОС1).
Разложим перемещение точки С на две
составляющих: сначала точка С вдоль оси
стержня СD
переходит в С2,
это перемещение составляет абсолютную
деформацию стержня. Далее С2
по перпендикуляру перемещается в С1.
Выполним чертеж, иллюстрирующий
перемещение системы.
ОС
= 5 м (египетский треугольник), sinα = 3 / 5 =
0,6, cosα = 4 / 5 = 0,8. ΔОВВ1
подобен ΔОСС1
(по двум углам), тогда:
Из
ΔСС2С1:
СС1
=
СС2
/
cosα = СС2
/
0,8 = ΔlСD
/
0,8. Воспользуемся предыдущими вычислениями
и получим ΔlВЕ
= 0,6 · СС
=
= 0,6 · ΔlСD / 0,8 = 0,75 · ΔlСD, итак ΔlВЕ = 0,75 · ΔlСD.
Физическая сторона задачи. Абсолютная деформация стержней определяется как: Δl = N · l / ЕA. Следует отметить, что NВЕ = RЕ, NСD = RD.
ΔlВЕ = (NВЕ · lВЕ) / (ЕВЕAВЕ) = (RЕ · 1) / (2 · 108 · А),
ΔlСD = (NСD · lСD) / (ЕСDAСD) = (RD · 2) / (1 · 108 · 2·А).
Подставим последние зависимости в геометрическую сторону задачи и получим
(RЕ · 1) / (2 · 108 · А) = 0,75 · (RD · 2) / (1 · 108 · 2 · А), помножим обе части уравнения на площадь А, тогда выражение примет вид: RЕ = 1,5 RD. Решая совместно RЕ = 1,5 RD и 7,5 · F – 4 · RD - 3RЕ = 0 поучим RЕ = 1058,8 кН, RD = 705,9 кН.
Статическая неопределимость задачи раскрыта, далее задача решается как статически определимая.
2. Определение площади поперечного сечения
Запишем условия прочности для стержней ВЕ и СD, приравняем напряжение к расчётному сопротивлению и выразим площадь:
.
Найдём
площадь для каждого стержня. Необходимо
учесть, заданное по условию задачи
соотношение площадей: AВЕ
= А = RЕ
/ R = 1058,8 /
(200 · 103)
=
= 52,9 · 10-4 м2 => А = 52,9см2,
AСD = 2 А = RD / R = 705,9 / (200 · 103) = 58,8 10-4 м2 = 58,8 см2 => А = 29,4см2. Окончательно принимаем к расчёту наибольшую площадь А = 52,9см2.
3. Расчёт по предельной несущей способности
Найдем силу Fs, соответствующую предельному состоянию. Для этого используем уравнение статики 7,5 · F – 4 · RD- 3 · RЕ = 0, подставив в него внутренние усилия, соответствующие предельному состоянию и выразим Fs.
NВЕ,s = σs,ВЕ · AВЕ = 300 · 10 3 · 52,9 · 10 -4,
NСD,s = σs,СD · AСD = 180 · 10 3 · 2 · 52,9 · 10 -4, тогда уравнение статики примет вид:
7,5 Fs – 4 (180 · 10 3 · 2 · 52,9 · 10-4) – 3 (300 · 10 3 · 52,9 · 10 -4) = 0
Fs = 1653 кН, тогда Fadm = Fs / k = 1653 / 1,5 = 1102 кН > 800 кН.
Расчёт по предельной несущей способности дает большие значения допустимой силы, чем расчёт с использованием условий прочности и расчетных сопротивлений.