4. 1. 2. Задача 1.2. Статически неопределимая система

Дано:F = 40кН, q = 10кН/м, стойка изготовлена из двух различных материалов:

А₁ = 40 см², Е₁ = 2·10⁵ МПа,

α₁ = 12,5 · 10^-6 1 / град. А₂ = 80 см²,

Е₂ = 1 · 10⁵ МПа, α₂ = 16,5 · 10^-6 1 / град.

Требуется: 1. Определить опорные реакции при действии сил F₁ и q, увеличении температуры на Δt = 60⁰ при наличии монтажного зазора между верхним концом бруса и опорой величиной ∆ = 0, 1 мм = 1 · 10 ^-4 м.

2. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений u.

Решение

Допустим, что под действием силы и при повышении температуры стержень удлиняется, и зазор ∆ = 10^-4 м закрывается. Тогда в точке В возникнет опорная реакция. Разобьем стержень на грузовые участки, выставим в начале и конце каждого участка сечения, назначим систему координат, направив при этом ось абсцисс вниз, так чтобы её положительное направление соответствовало положительной продольной силе, растягивающему напряжению и положительному перемещению.

1. Определение опорных реакций

Статическая сторона задачи. Составим уравнение равновесия: ∑_X = 0; R_А – R_В + F = 0, определим степень статической неопределимости как разницу между неизвестными опорными реакциями и количеством уравнений статики n_st = 2 – 1 = 1 –задача один раз статически неопределимая и для раскрытия статической неопределимости требуется привлечь еще одно уравнение.

Геометрическая сторона задачи. В случае удлинения стержня перемещение свободного конца составит ∆ = 10^-4 м.

u_В = Δl_I + Δl_II + Δl_III = ∆ = 10^-4м .

Физическая сторона задачи. Абсолютную деформацию грузового участка, в зависимости от того, чем она вызвана, можно представить в виде следующих зависимостей: (для грузового участка, где действует равномерно распределённая нагрузка),(для грузового участка с постоянным внутренним усилием), деформация, вызванная температурным воздействием.

Подставим зависимости, полученные при рассмотрении физической стороны задачи, в уравнение для определения перемещения свободного конца стержня и получим уравнение совместности деформаций.

Запишем зависимости внутренних усилий на грузовых участках, отбросив при этом нижнюю заделку и заменим её влияние неизвестной опорной реакцией R_В:

N_I = - R_В + F - ql_II- const, N_II = – R_В – qx₂ – линейная зависимость, N_III = - R_В - const.

Подставим эти выражения в уравнение совместности деформаций и получим

После подстановки числовых значений имеем уравнение с одним неизвестным

После интегрирования функции внутреннего усилия на втором грузовом участке получим

Помножим обе части уравнения на 10 ⁴, приведем к одному знаменателю, упростим, и, окончательно получим

Решим уравнение относительно R_B и получим . Значение опорной реакции положительное, значит под действием силы и при температурном расширении, стержень удлинился и зазор закрылся, как и было предположено раньше. Подставим значениеR_B в последнее уравнение и помножим обе части на 10 ^{- 4}, в результате получим перемещение каждого грузового участка, последовательное суммирование которых дает перемещение всего стержня, равное величине зазора:

( - 0,623 - 2,244 + 3,867) · 10 ^{- 4} = 1·10 ^-4 м.

После определения опорной реакции статическая неопределимость раскрыта, задача решается как статически определимая. Строятся эпюры продольной силы, напряжений и перемещений.

2. Построение эпюр

Построение эпюры продольной силы

N_I = - R_В + F - q·l_II = - 659,833 + 40 – 10 ·3 = - 649,833кН,

N_1-1 = N_2-2 = - 649,833кН;

N_II = -R_В – q · x₂ = - 659,833 – 10 · x₂,

N_3-3 = - 689,833кН, N_4-4 = - 659,833кН;

N_III = - R_В = - 659,833 кН, N_5-5 = N_6-6 = - 659,833 кН.

Построение эпюры напряжений

σ_1-1 = σ_2-2 = N_1-1 / А₁ = ( - 649,833∙10^-3) / (40∙10^-4) = - 162,458 МПа;

σ_3-3 = N_3-3 / А₁ = ( - 689,833) / (40∙10^-4) = - 172,458 МПА;

σ_4-4 = N_4-4 / А₁ = ( - 659,833∙10^-3) / (40∙10^-4 ) = - 164,958 МПа;

σ_5-5 = σ_6-6 = N_5-5 / А₂ = (-659,833∙10^-3) / (80∙10^-4) = - 87,291 МПа.

Построение эпюры перемещений

u_2-2 = u_3-3 = u_1-1 + Δl_I = 0 - 0,623 ∙ 10^-4 = - 0,623 ∙10^-4м;

u_4-4 = u_5-5 = u_3-3 + Δl_II = ( - 0,523 - 2,244)∙10^-4 = - 2,867 ∙ 10^-4м;

u_6-6 = u_5-5 + Δl_III = ( - 2,867 + 3,867)∙10^-4 = 1 · 10^-4м.

Эп.N[кН] Эп. σ[МПа] Эп. u[10^-4м]