m1

Волгоградский государственный технический университет

Кафедра: ЭВМ и Систем

Методические указания к лабораторной работе № 1

по курсу "Моделирование систем"

Волгоград 2007

УДК 681.3

Методические указания к лабораторной работе № 1 по курсу «Моделирование сис- тем» / Сост. Земцов А.Н.; Волгоград. гос. техн. ун-т, Волгоград, 2007.– 17 с.

Содержатся сведения, необходимые для освоения студентами основных положений

теории массового обслуживания и методике имитационного моделирования компьютерных сетей.

Предназначены для студентов дневного и вечернего отделений специальностей 22.01

и 22.04.

Табл. 6. Ил. 0. Библиогр.: 0 назв.

Рецензент: доц. каф. вычислительной техники ВолгГТУ к.т.н. Игнатьев А.Н.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государ- ственного технического университета.

© Земцов А.Н., 2007 © Волгоградский государственный

технический университет, 2007

2

1 Введение

Конец 20-го и начало 21-го веков ознаменовались бурным ростом компьютерных се- тей. Эту тенденцию, которая сохранится в ближайшие десятилетия, можно проиллюстриро- вать лавинообразным ростом сети Интернет, охватывающей все города, регионы, страны и континенты, проникшей во все сферы человеческой деятельности, включая науку, экономи- ку, культуру, промышленность, образование и т.д.

Современные компьютерные сети являются мультисервисными, т.е. обеспечивают конечным пользователям широкий набор услуг, включая электронную почту, передачу голо- совых и видеоданных, совершение покупок и другие услуги. Анализ существующих сетей связи, основанных на передаче самых различных потоков информации, и проектирование новых с учетом различным параметров и ограничений являются актуальными задачами.

2 Общие положения и определения

Математическая теория систем обслуживания - область прикладной математики, ис- пользующая методы теории вероятностей и математической статистики. Часто ее называют теорией массового обслуживания (ТМО, англоязычное название – queuing theory – теория очередей. Ее основоположником считается датский ученый А.К. Эрланг, занимавшийся во- просами проектирования телефонных сетей. В дальнейшем теория получила интенсивное развитие и применение в различных областях науки, техники, экономики и производства. Это объясняется тем, что теория изучает широко распространенные в человеческой практике ситуации, когда имеется некоторый ограниченный ресурс и множество (поток) запросов на его использование, следствием чего являются задержки или отказы в обслуживании некото- рых запросов. Стремление понять объективные причины этих задержек или отказов и по

возможности уменьшить их воздействие является побудительным мотивом развития теории массового обслуживания.

Как правило, поступление запросов происходит в случайные моменты времени и для их удовлетворения необходим некоторый ресурс или его часть, который используется неко- торое случайное время. Стимулом к развитию теории массового обслуживания является

стремление научиться предсказывать случайно изменяющиеся потребности по результатам наблюдений и на основе этих знаний организовывать обслуживание с приемлемым временем ожидания. Например, организация поддерживает определенное количество рабочих станций и терминалов, подключенных к 100-мегабитной локальной сети. Предполагается расширение сети организации за счет подключения к сети дополнительного отдела в соседнем здании.

3

Сможет ли существующая локальная сеть выдержать увеличение нагрузки или лучше соз- дать вторую локальную сеть и соединить ее с первой сетью мостом? Или, бывают другие случаи, когда сеть еще не существует, но на основе имеющихся требований необходимо соз- дать проект сети. Интегральным критерием оценки эффективности решения, как правило,

является пропускная способность сети при учете стоимости ее прокладки и поддержания в работоспособном состоянии. Практические исследования показывают, что поведение боль- шинства систем при изменении нагрузки оказывается довольно неожиданным. В случае, ес- ли имеется окружение, в котором есть коллективно используемый ресурс, тогда производи- тельность такой системы, как правило, отвечает на увеличение нагрузки экспоненциальным увеличением времени отклика.

Под системой массового обслуживания (СМО) понимается объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций.

СМО состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем. Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований. Обслуживающая система состоит из накопителя и механизма обслуживания.

Требование (заявка) − каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.

Источник требования − объект (человек, механизм, и т.п.), который может послать в обслуживающую систему одновременно только одно требование.

Входящий поток требований (ВПТ) − требования, поступающие от всех источников в обслуживающую систему.

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Накопитель − место, где требования ожидают обслуживания.

Обслуживание – удовлетворение поступившего запроса на выполнение услуги. Мас- совое обслуживание показывает, что речь не о конкретном объекте, а о совокупности опре- деленных объектов, имеющих общие потребности в обслуживании.

Обслуживающий аппарат – часть механизма обслуживания, которая способна удов- летворять одновременно одно требование (ремонтный рабочий, экскаватор, пост мойки и т.п.).

Интенсивность обслуживания – количество требований, обслуживаемых одним об- служивающим аппаратом в единицу времени.

Канал обслуживания – обслуживание, состоящее из последовательности фаз обслу- живания. Фаза обслуживания – последовательность операций, выполняемая на отдельном обслуживающем аппарате.

Выходящий поток требований − поток требований, покидающий систему после об-

4

служивания.

Время обслуживания − время, в течение которого выполняется заявка.

3 Структура и классификация СМО

СМО считается заданной, если определены элементы, которые существенно влияют на результаты функционирования системы, или на основные ее параметры, или часть их.

Обобщенную модель СМО можно представить в виде схемы, показанной на рисунке

1.

Рисунок 1. Обобщенная модель СМО.

Поскольку каждый из этих элементов может иметь самые различные проявления, то теоретически существует очень широкий спектр возможных СМО. В связи с этим возникла необходимость их классифицировать.

Классификацию СМО проведем по следующим признакам:

По количеству требований, которые одновременно могут находиться в системе: с ог- раниченным потоком требований (мощностью источника) и с неограниченным потоком тре- бований;

По числу обслуживающих аппаратов: с ограниченным числом аппаратов обслужива- ния и с неограниченным;

По количеству фаз обслуживания: однофазные и многофазные; По количеству источников требований все СМО делятся на две группы: замкнутые с

ограниченным числом источников и разомкнутые с неограниченным (очень большим) чис- лом источников, когда характеристики потока требований не зависят от того, в каком со- стоянии находится СМО.

По дисциплине очереди (поведению требований, поступающих в систему в тот мо- мент, когда все каналы заняты) различают: с отказами, с ожиданием, смешанные. В системе с ожиданием требование, поступающее в систему, встает в очередь и ожидает обслуживания

5

до тех пор, пока не освободится какой-либо канал обслуживания. В системе с отказами тре- бование, поступившее в систему и обнаружившее занятыми все каналы, покидает систему. В системе смешанного типа (см. рисунок 2) различают следующие ситуации: а) требование встает в очередь и если по истечению какого-то времени канал не освобождается, то оно по- кидает систему; б) требование поступает в систему с ограниченной очередью и если все мес- та в накопители заняты, то оно покидает систему;

чивших отказ в обслуживании μ − интенсивность обслуживания тре-

бований

Nс − количество требований в СМО Тс − время пребывания в СМО

Рисунок 2. Структура и параметры одноканальной СМО.

Центральным элементом системы является сервер. На сервер поступают требования, которые серверу предстоит обслужить. Если сервер не занят обслуживанием требований, вновь поступившее требование обслуживается незамедлительно. В противном случае требо- вание помещается в очередь, из которой заявки на обслуживание выбираются сервером ав- томатически. Примером поступивших требований можно считать пакеты, поступающие в очередь маршрутизатора, или звонки, поступающие на телефонный коммутатор.

Многоканальные системы с очередью также бывают двух основных видов: а) системы с общей для нескольких серверов очередью; б) системы с очередью к каждому серверу. Во втором случае система представляет собой n параллельных независимо работающих однока- нальных СМО, но не независимых, т.к. входной поток требований в СМО является общим! В силу того, что поток требований принимается за простейший с интенсивностью λ , то со- гласно свойствам данного вида потока его можно разбить на n простейших потоков с интен-

сивностью λn .

По форме внутренней организации обслуживания в системе различают: а) системы с приоритетом и без приоритета; б) с упорядоченным обслуживанием и с неупорядоченным. В системе с приоритетом некоторые требования, независимо от времени появления их в систе- ме должны быть обслужены в первую очередь. В системе без приоритета обслуживание вы-

6

полняется по принципу FIFO (First In First Out) – "первым пришел, первым поступил на об- служивание". В системе с упорядоченным обслуживанием некоторые требования должны обслуживаться на определенных каналах. В системе с неупорядоченным обслуживанием лю- бое требование будет обслуживаться первым освободившимся каналом.

4 Математическая модель СМО

Математическая модель СМО − это совокупность математических выражений, опи- сывающих входящий поток требований, время обслуживания и их взаимосвязь.

4.1Входящий поток требований

Поток требований − последовательность требований, следующих одно за другим в некоторые случайные моменты времени. Входящий поток требований (ВПТ) формируется из заявок на обслуживание. В системах массового обслуживания один из центральных вопросов их организации – выяснение тех закономерностей, которым подчиняются моменты поступ-

ления требований на обслуживание с целью определить способность СМО справляться с ВПТ.

Графически ВПТ можно представить в виде временной оси, на которой точками отме- чена последовательность моментов поступления требований в систему (см. рисунок 3).

t

Рисунок 3. Входящий поток требований.

Здесь ti − моменты времени поступления требований в СМО.

Важной характеристикой потока требований является интенсивность − среднее ко- личество требований, приходящееся на единицу времени.

Потоки требований могут быть регулярными − требования появляются строго через равные промежутки времени, и стохастическими (вероятностными) – моменты появления требований представляют собой случайные величины, которые нельзя или довольно трудно предсказать.

ТМО изучает стохастические потоки. Для описания таких потоков, в первую очередь, должен быть найден закон распределения вероятностей промежутков времени между посту- плениями требований в систему. Реальные потоки требований могут иметь различные зако-

7

ны распределения случайных величин – нормальный, экспоненциальный и др.

Задача анализа закона распределения в общем случае является весьма трудной. Ис- следование задач теории массового обслуживания становится значительно проще, если счи- тать, что ВПТ является простейшим.

Поток требований называется простейшим, если он обладает тремя свойствами: ста- ционарности, ординарности и отсутствия последействия.

Поток требований называется стационарным, если вероятность того, что за опреде-

ленный промежуток времени (t, t + a) в систему поступит k (определенное количество) тре-

бований, одно и тоже для всех промежутков длиной a, расположенных на любом участке оси времени (оси абсцисс). Для стационарного потока интенсивность является постоянной вели- чиной.

Поток называется рекуррентным (потоком Пальма), если он обладает свойствами стационарности и ординарности, а интервалы времени между требованиями t1 , t2 , t3 ,... пред-

ставляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределе- нием.

Поток называется ординарным, если вероятность совмещения двух и более требова- ний в один и тот же момент времени пренебрежимо мала, т.е. практически в каждый момент времени может поступить лишь одно требование.

Поток называется с отсутствием последействия, если протекание процесса, в каком- либо промежутке времени, не зависит от протекания процесса в любом другом промежутке времени, и эти промежутки не перекрываются. Условие отсутствия последействия означает, что каждое требование поступает в систему независимо друг от друга.

ВПТ, обладающий этими свойствами, описывается законом Пуассона и часто называ-

ется пуассоновским потоком:

Pk (t) = (λkt!)k e−λt ,

где Pk (t) − вероятность поступления за время t ровно k требований, λ − интенсив-

ность ВПТ.

Поток, получающийся просеиванием простейшего, т.е. исключением (k −1) требова-

ний, называется потоком Эрланга k-го порядка, и описывается функцией плотности рас- пределения:

f (t) = ((λt)k−)1 e−λt k −1!

8

4.2Время обслуживания требований

В СМО время обслуживания также носит случайный характер. Нельзя заранее пред- видеть, что на обслуживание какого-то требования будет затрачено определенное время.

На рисунке 4 представлена модель работы системы с некоторым случайным потоком требований. Мощность источника требований для простоты обычно принимается равной бесконечности. В случае, если совокупность требований конечна, то, как правило, интенсив- ность поступления требований пропорционально уменьшается по мере поступления требо- ваний в СМО. Размер очереди также часто принимается равным бесконечности, т.к. во мно- гих случаях такое допущение не оказывает существенного влияния на результаты моделиро- вания, но, следует отметить, что на практике всякая очередь конечна. Поскольку известен промежуток между поступлениями требований, то время обслуживания выбрано так, чтобы полностью загрузить систему. Для системы со стохастическим потоком требований ситуация совершенно иная – требования приходят в различные моменты времени и время обслужива- ния тоже является случайной величиной, которое может быть описано неким законом рас- пределения.

t

Заполнение очереди требованиями

t

Рисунок 4. Модель работы СМО.

Здесь ti − моменты времени поступления требований в СМО, τi − длительность об-

служивания i -й заявки.

4.3Моделирование случайных величин по заданным законам распределения

Основной вариант предсказания различных временных и вероятностных характери- стик СМО (например, расчет требуемой производительности СМО на основе имеющейся информации о нагрузке или оценке нагрузки в новом окружении) заключается в использова- нии аналитической модели, представляющей собой набор уравнений, которые могут быть решены для получения требуемых параметров (времени отклика, пропускной способности и т.д.). Аналитические модели, основанные на теории массового обслуживания, обеспечивают

9

довольно хорошее соответствие с реальными системами. Недостаток теории массового об- служивания заключается в том, что для составления уравнений относительно интересующих исследователя параметров приходится принимать ряд упрощающих допущений (см. лекции по "Моделированию"). Кроме того, и измерения существующих систем, и прогностические оценки будущей нагрузки содержат определенные погрешности. Следовательно, независимо от того, насколько точной будет модель, качество результатов ограничивается качеством ис- ходных данных.

При анализе работы СМО вторая важная проблема, которая должна быть решена − это проблема выбора закона распределения, с помощью которого можно описать время обслу- живания требований. Наибольшее распространение в теории и практике получил экспонен- циальный закон (см. рисунок 6), функция распределения которого имеет вид:

P(t) = 1− e−λt ,

где P(t) − вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t.

Для случайной величины, распределенной по линейному закону (см. рисунок 8), справедли- во выражение:

P(t) = λt − λ2 t2 . 4

Равномерное распределение (см. рисунок 5) для интервала (a, b) определяется выражением:

P(t) = bt −−aa .

Рисунок 5. Равномерное распределение.

10