matan

Пример 2. Найти производную функции y=f(x), если она задана:

81

Решение: в) Продифференцировав обе части уравнения, имеем

3x+y (1+ y' ) − y ln 3 − x ln 3y' = 0

Отсюда, решая последнее относительно y' , получим

y' = 3x+y − x .

Пример 3. Исследовать функцию f(x) и построить ее график, если:

а) f(x)= x2 +4 , б) f(x)= 3 x2 (x −5).

4x

Решение: а) f (x) = x2 + 4 4x

1. Данная функция определена для -∞<x<0 U 0<x<∞. Так как

x=0, то график этой функции не пересекается с координатными осями

Значит, график функции симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической. Точка x=0 есть точка разрыва второго рода.

2. Функция стремится к ± ∞ при x → ± ∞ , так как

3. График функции имеет вертикальную асимптоту x=0 (ось Оy), потому что

lim f (x) = lim x2 +4 = ±∞

x→0±0 x→0±0 4x

Для нахождения наклонной асимптоты, вычисляем предел

82

Так как f " (x) = x23 ≠ 0 ни при одном значении x, то график данной

функции не имеет точек перегиба. Для значений x < 0 f " ( x) = x23 0 и

график имеет направление выпуклости вверх, а для значений x > 0 f " ( x) = x23 0 и график имеет направление выпуклости вниз.

В заключении, пользуясь полученными результатами можно построить график функции (рис. 2.9.)

Рис. 2.9.

Решение: б) f (x) = 3 x2 (x −5)

1. Данная функция определена и непрерывна для всех -∞<x<∞. Так как f (x) = 3 x2 (x −5) = 0 при x1=0 и x2=5, а f (0) = 0 , то график данной функции пересекает ось Оx при x1=0 и x2=5, а ось Оy при x=0. Функция не обладает четностью. Она не является периодической.

2. Так как

lim f (x) = lim 3 x2 (x −5) = ±∞,

x→±∞ x→±∞

то нет горизонтальных асимптот y графика данной функции.

84

3. В силу непрерывности функции для x R ее график не имеет вертикальных асимптот. Для нахождения наклонных асимптот вычислим предел

Последнее указывает на то, что график функции не имеет наклонных асимптот.

4. Вычислим производную первого порядка данной функции

f ' (x) =[3 x2 (x −5)]' = 2(3x3 −x5) +3 x2 = 53x3−x10 .

Из полученного выражения следует, что f’(2)=0 и f’(0) не существует. То есть точки x1 =2, x2 = 0 являются точками возможного экстремума

данной функции.

Для x < -1 – направление выпуклости графика вверх, для x > -1 – направление выпуклости графика вниз.

На основании полученных выше результатов, теперь можно построить график данной функции (рис. 2.10.).

85

Рис. 2.10.

Тест

86

6.y = 3 − x2 .

x+2

а) -3(min);-1(max); б) 3 (min);0(max); в) -3(max;1(min);

г) нет.

Найти абсциссы точек перегиба графика функции.

7. y = x14 − x22 .

а) 1;-1; б) 53 ;- 53 ;

в) 35 ;- 35 ; г) 2;-2.

8. y = e lnx x .

а) e ; б) 1;

в) e3 ; г) e.

Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции

9.y= 3 − 4x 2 .

x+ 2

а) х=-1; у=-4х-8; б) х=-2; у=-4х+8; в) х=-3; у=-2х+8; г) х=4; у=х+8.

10.y=2arctg x - x2 +3x .

x−4

а) x=3; y=-x+π;

б) x=4; y=-x+π-1; y=-x-π-1; в) x=-2; y=x+π;

г) x=1; y=x.

88

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области

Определение 3.1. Координатное пространство Am называется m- мерным евклидовым пространством Еm, если между любыми точками M′(x1′, x2′,... ,xm′) и M′′(x1′′, x2′′,... ,xm′′) координатного пространства Am определено расстояние ρ(М′,М′′) по формуле

ρ(M',M'')= (x1'' − x1| )2 +(x''2 − x|2 )2 +...+(x''n − x|n )2 .

Определение 3.2. Множество {M} пространства Еm называется открытым множеством, если любая точка М(х1, х2,... хm) этого множества входит в него вместе со своей малой окрестностью.

Определение 3.3. Если каждая граничная точка множества {M} является точкой этого множества, то множество {M} называется замкнутым.

Определение 3.4. Множество {M} пространства Еm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение 3.5. Открытое и связное множество {M} в пространстве Еm называется областью.

Приведем некоторые примеры множеств {M} точек евклидова плоскости и пространства.

1.(x-a)2+(y-b)2≤R2 - множество {M} точек евклидовой плоскости, называемой кругом радиуса R с центром в точке M0(a;b).

2.(x-a)2+(y-b)2<R2 - множество {М} точек евклидовой плоскости, казывается открытым кругом радиуса R - с центром в точке M0(a;b).

3.(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤R2 - множество {M} точек евклидова пространства, называемым шаром радиуса R с центром в точке

M0(a;b;c).

4.(x1-x10)+(x2-x20)2+...+(xm-xm0)2≤R2 или ρ(М;M0)≤R - множество

{M} точек m-мерного евклидова пространства, называемым m-мерным

щаром радиуса R с центром в точке M0(x10, x20,...,xm0).

5. ρ(М;M0)=R - множество {M} точек m-мерного евклидова пространства, называемым m-мерной сферой.

89