Matem_logika_V_13_V_18

УДК 621.323

Рецензент

канд. техн. наук доцент А. В. Исаев

Издается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Сборник заданий для семестровых работ по курсам «Математическая логика и теория алгоритмов» и «Дискретная математика» / сост. О. А. Авдеюк. – Волгоград : ИУНЛ ВолгГТУ, 2010. – 40 с.

Сборник содержит по 30 вариантов заданий по 11(10) задач в каждом, для двух семестровых работ. Набор задач в заданиях охватывает основные разделы логических основ и теории графов.

Предназначен для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая информатика», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Прикладная математика», «Дискретная математика».

Волгоградский государственный технический университет, 2010

У ч е б н о е и з д а н и е

Оксана Алексеевна Авдеюк

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ СЕМЕСТРОВЫХ РАБОТ ПО КУРСАМ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ»

И «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

Темплан 2010 г. (учебно-методическая литература). Поз. № 103. Подписано в печать 21.12.2010. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,33.

Тираж 10 экз. Заказ

Волгоградский государственный технический университет. 400131, Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ. 400131, г. Волгоград, пр. им. В. И. Ленина, 28, корп. 7.

2

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Первая семестровая работа предполагает закрепление студентом полученных знаний по разделу “ Логические основы” курса “ Математическая логика и теория алгоритмов ”. Сборник для семестровой работы № 1 содержит 30 вариантов заданий по 11 задач в каждом, тем самым предусматривается индивидуальная работа студента.

Вторая семестровая работа предполагает закрепление студентом полученных знаний по разделу “ Теория графов” курса “ Дискретная математика”. Сборник для семестровой работы № 2 содержит 31 вариантов заданий по 10 задач в каждом.

В результате выполнения работ оформляется протоколы в тонкой ученической тетради (12 или 18 листов) по правилу, рассмотренному в нижеследующем примере.

2. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ СЕМЕСТРОВОЙ РАБОТЫ № 1 ПО КУРСУ «Математическая логика и теория алгоритмов»

2.1. Пример решения и оформления

Тетрадь Для выполнения семестровой работы № 1

по курсу «Математическая логика и теория алгоритмов».

Вариант 31

Выполнил: студент ФЭВТ ВолгГТУ группы ИВТ-160 Петров В.А.

Дата сдачи работы: 10.12.2005 г. Проверил:

Баллы:

3

1. Используя таблицу истинности, установить эквивалентность

функций в формуле:

X1 X2 = (X1 X2 ) (X1 X2 ).

Решение:

Обозначим: f1 = X1 X2

Составим таблицу истинности для правой и левой части функции:

равенства действительно совпадают, значит, функции в данной формуле

эквивалентны.

2. Определить, какие переменные являются существенными и

какие фиктивными в функции следующего вида:

f ( х1,х2,х3) = ( х1\/ х2) → х3.

Решение:

1.Необходимо составить таблицу истинности:

2. Разобьем таблицу на два подмножества: наборы для 0 значений и наборы для 1 значений:

4

3. Определим фиктивные и существенные переменные:

3.1. Вычеркнем первый столбец:

3.3.Вычеркнем третий столбец:

Ответ: х1,х2,х3 – существенные переменные.

3. Используя основные законы и соотношения алгебры логики,

необходимо установить справедливость следующей формулы:

x1x2 x1 x2 x3 x1 x2x3 x2 x3 x1 x3 = x1 x2 x3

Решение:

Рекомендация: Заданное соотношение необязательно эквивалентно, поэтому необходимо перед выполнением задания проверить истинность согласно задаче № 1.

1. Проверка справедливости заданного соотношения по таблице истинности.

Если равенство неверно, основная часть задачи далее не выполняется.

Иначе

2. Необходимо левую часть равенства привести к правой части равенства.

2.1. x1x2 x1 x2 x3 x1 x2x3 = x1 x2 (x3 x3) = x1 x2.

2.2..х1 x 2 \/ х1х2 = х1 / по формуле склеивания /.

2.3. х1 \/ x1 x3 = х1 / по формуле поглощения /.

2.4. В результате в левой части равенства имеем: х1 \/ x 2 x 3 ,что и

требовалось доказать.

Ответ: соотношение в данной формуле справедливо.

4. Определить к каким классам (константы нуля, константы единицы, самодвойственных функций, монотонных функций, линейных функций, симметрических функций) относится функция следующего вида:

f(x1,x2,x3) = x1x2 \/ x 2 x 3 .

6

Решение:

1. Составим таблицу истинности:

2.Т. к. f(0,0,0) ≠ 0, значит, данная функция не относится к классу константы 0.

3.Т. к. f (1,1,1) = 1, значит, данная функция относится к классу

константы 1.

4.Т. к. f(0,1,1) < f (0,1,0) и f(1,0,0) > f(0,1,1), значит, данная функция не

относится к классу монотонных функций.

5.Т. к., например, f(0,0,0) = f(1,1,1) или f(0,0,1) = f(1,1,0), то данная функция не относится к классу самодвойственных функций.

6.Т. к. не выполняется условие f(0,1,1) = f(1,0,1) = f(1,1,0) / значения соответственно равны 0,1,1/, то данная функция не относится к классу

симметрических функций.

7.Проверим принадлежность функции к классу линейных функций.

Для этого запишем ее в таком виде:

f1(x1,x2,x3) = C0 C1&X1 C2&X2 C3&X3.

Найдем коэффициенты Ci :

f (0,0,0) = 1 / из таблицы истинности /

С0 С1&0 C2&0 C3&0 = 1 , т.о., С0 = 1.

f(1,0,0 )=1 / из таблицы истинности /

1 C1&1 C2&0 C3&0 = 1, т.о., С1 = 0.

7

f(0,1,0) = 1/ из таблицы истинности /

1C1&0 C2&1 C3&0 = 1, т.о., С2 = 0. f(0,0,1) = 1 / из таблицы истинности /

1C1&0 C2&0 C3&1 = 1 ,т.о., С3 = 0.

Тогда f1(x1,x2,x3) = 1.

Сравним значения функций f и f1 по таблице истинности:

Т. к. значения функций различны для одинаковых наборов, то

данная функция не относится к классу линейных функций.

Ответ: данная функция относится к классу константы 1.

ДСНФ,КСНФ,ПСНФ,ЭСНФ,ИСНФ, принимающей значение 1 на

следующих наборах: 0 , 4, 6, 7.

Решение:

1. Составим таблицу истинности:

8

2. Для получения ДСНФ, ПСНФ используем термы для 1 значений

Для получения КСНФ, ЭСНФ используем термы для 0 значений функции:

КСНФ: f(x1,x2,x3) =(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3)(x1 x2 x3).

ЭСНФ: f(x1,x2,x3) =(x1 x2 x3)≈(x1 x2 x3)≈(x1 x2 x3)≈(x1 x2 x3).

4.ИСНФ:

4.1.Для получения первой формы ИСНФ 1 используем термы для 1 значений функции:

f(x1,x2,x3) = x1 → x2 → x3 x1 → x2 → x3 x1 → x2 → x3 → x1 → x2 → x3..

4.2. Для получения второй формы ИСНФ 0 используем термы для 0 значений функций:

f(x1,x2,x3) =(x1 →x2 →x3)(x1 →x2 →x3)(x1 →x2 →x3)(x1 →x2 →x3.

6. Используя метод неопределенных коэффициентов, необходимо найти МДНФ функции f(x1,x2,x3), принимающей значение 1 на наборах:

0 , 5 , 7.

Решение:

1. Составим таблицу истинности:

9

2.

3. Приравняем 0 все коэффициенты при 0 значениях функции:

4. Вычеркнем 0 коэффициенты из коэффициентов при 1 значениях

функции:

К123000 = 1 К1311 \/ К123101 = 1

К1211 \/ К1311 \/ К123111 = 1

5.Найдем минимальное покрытие: К123000 и К1311 ,т. е. f1(x1,x2,x3) = x1x2 x1x2 x3.

6.Проверка:

Т.к. f =f1, то преобразования выполнены верно.

Ответ: f1(x1,x2,x3) = x1x2 x1x2 x3.

7. Используя метод Квайна, необходимо найти МДНФ функции

f(x1,x2,x3), принимающей значение 1 на наборах: 2 , 3, 4 , 5 , 7.

10