МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

(С ПРОГРАММОЙ)

для студентов-заочников

инженерно-технических специальностей,

высших учебных заведений

ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ю. С. АРУТЮНОВА

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1985

ББК 22. II

В 93

УДК 511

Авторы:

Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков

Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений/Арутюнов Ю. С., Полозков А. П., Полозков Д. П.; Под ред. Ю. С. Арутюнова. — М.: Высш. школа, 1985.— 144 с., ил.

25 к.

ББК 22.11

517

© Министерство высшего и среднего специального

образования СССР, 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:

развитие логического и алгоритмического мышления;

овладение основными методами исследования и решения математических задач;

овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;

выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач.

Обучение математике предполагает систематическое отражение общих положений диалектико-материалистической философии, что служит решению важной задачи формирования марксистско-ленинского мировоззрения у студентов.

Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная (или стационарная), вечерняя и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна. В условиях дневной формы обучения содержание курса высшей математики излагается на лекциях; на практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач. Число часов, отводимых на лекции и практические занятия, и составляет объем курса высшей математики для данной специальности.

Для группы инженерно-технических специальностей Учебно-методическим управлением по высшему образованию в 1983 г. были утверждены два варианта программы курса высшей математики: на 510 и 450 учебных часов. Они являются обязательными не только для дневной, но и для вечерней и заочной форм обучения, хотя студент-заочник изучает материал курса в основном в порядке самостоятельной работы над учебниками и другими учебными пособиями.

Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно содержит общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, упомянутые выше два варианта программы курса высшей математики для указанных специальностей, методические указания по темам курса с вопросами для самопроверки и контрольные задания (десять вариантов).

Его можно использовать при любом из двух вариантов программы, выбор которого определяется учебным планом данной специальности. Кафедры высшей математики сообщают студентам-заочникам, каким вариантом программы они должны руководствоваться. Кафедры высшей математики, принимая за основу утвержденные варианты программы, могут также в зависимости от профиля вуза и конкретной специальности студентов-заочников расширять или сокращать отдельные разделы или пункты. Все эти изменения доводятся до сведения студентов.

Здесь не затронуты вопросы, относящиеся к организации и проведению лабораторного практикума по численным методам курса высшей математики. Такой практикум связан с применением вычислительной техники, и его организация зависит от условий и возможностей каждого конкретного вуза, особенно при заочной форме обучения. Это относится и к изучению п. 94 программы (обоих вариантов), связанных со знакомством студентов с ЭВМ. Кафедра высшей математики должна разработать формы и методику проведения этой работы в своем вузе и дать студентам-заочникам необходимые указания дополнительно к настоящему пособию. Также дополнительно кафедры сообщают студентам все необходимые коррективы к настоящему пособию, вытекающие из специфики учебных планов конкретных специальностей и методики изложения тех или иных вопросов курса, принятой в данном вузе (порядок изучения материала, распределение его по семестрам, количество и содержание контрольных работ в каждом семестре и сроки их выполнения и т. п.).

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Чтение учебника

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа я и т. п.

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

Самопроверка

1. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач.

2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

Консультации

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

Контрольные работы

1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.

4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.

5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.

Лекции, практические занятия и лабораторные работы

Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Во время экзамснационно-лабораторных сессий проводятся также лабораторные работы для приобретения навыков в работе с вычислительными средствами и изучения различных методов приближенных вычислений.

Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его самостоятельной работе.

В настоящее время созданы кинокурсы по высшей математике. В ряде институтов проводится организованный просмотр этих кинокурсов.

Зачеты и экзамены

На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ

ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИИ

Первый вариант (510 учебных часов)

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Трехмерное пространство Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно-независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве. Длина вектора. Расстояние. Неравенство Коши—Буняковского. Угол между векторами. Пространство Rⁿ. Ортогональный базис. Разложение векторов.

3. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнение гиперплоскости в Rn (векторная и координатная формы). Прямая в Rⁿ (векторная и координатная формы).

4. Линейные операторы и матрицы. Линейные операторы и матрицы в заданном базисе в пространстве R². Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Линейные операторы и матрицы в Rⁿ. Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица. Самосопряженные операторы и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы.

5. Определители второго, третьего порядков. Основные свойства. Определители n-го порядка, их свойства. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

6. Векторное произведение. Основные свойства. Смешанное произведение и его свойства.

7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли.

8. Ядро и область значений линейного оператора. Альтернатива Фредгольма для линейного оператора в Rⁿ.

9. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Теорема о полноте собственных векторов.

10. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид самосопряженного оператора.

11. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения в пространствах R² и R³.

II. Введение в математический анализ

12. Элементы математической логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование.

13. Множества вещественных чисел, Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

14. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.

15. Бесконечно малые функции и их свойства.

16. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

17. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.

18. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.

19. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

21. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

22. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

23. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.

24. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.

25. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.

26. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применения. Правило Лопиталя.

27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций е^x, cosx, sinx, In(1+x), (l-x)^x по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

IV. Исследование функций с помощью производных

28. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

29. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

V. Векторные и комплексные функции действительного переменного

30. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл.

31. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

32. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

33. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование.

34. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условие тождественности двух многочленов.

35. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.