- •II. Введение в математический анализ
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XVIII. Кратные интегралы
- •XIX. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •XX. Векторный анализ
- •XXI. Элементы теории уравнений математической физики
- •XXII. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление
- •XXIII. Основные численные методы
- •XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X*. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XI. Числовые ряды
- •XVII. Основные уравнения математической физики
- •XVIII*. Операционное исчисление
- •XIX. Теория вероятностей и математическая статистика
- •XX. Основные численные методы
- •Тема I. Векторная алгебра
- •Тема II. Поверхности и линии
- •Тема III. Элементы линейной алгебры
- •1. Матрицы и линейные операции над ними
- •2. Определители
- •3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Метод Гаусса
- •5. Произведение матриц
- •6. Арифметическое пространство
- •7. Линейные пространства
- •8. Евклидовы пространства
- •9. Линейные преобразования (операторы)
- •10. Квадратичные формы
- •11. Комплексные числа
- •Тема IV. Введение в математический анализ
- •1. Число. Переменная. Функция
- •2. Предел и непрерывность функций
- •Тема V. Производная и дифференциал
- •1. Производная
- •2. Дифференциал
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4. Свойства дифференцируемых функций
- •5. Формула Тейлора
- •Тема VI. Возрастание и убывание функции. Экстремумы
- •1. Возрастание и убывание функций
- •2. Экстремумы
- •Тема VII. Построение графиков функции
- •1. Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба
- •2. Асимптоты
- •3. Общая схема построения графиков функций
- •Тема VIII. Векторные и комплексные функции
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •2. Кривизна кривой. Формулы Френе
- •3. Комплексные функции. Многочлен в комплексной области
- •Тема IX. Приближенное решение уравнении. Интерполяция
- •1. Приближенное решение уравнений
- •2. Интерполяция
- •Тема X. Функции нескольких переменных
- •7. Метод наименьших квадратов. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений
- •Тема XI. Неопределенный интеграл
- •Тема XII. Определенный интеграл
- •1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла
- •2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Интегралы, зависящие от параметра.
- •5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Тема XIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •Тема XIV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнении. Элементы теории устойчивости
- •1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •3. Элементы теории устойчивости
- •Тема XV. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Тройной интеграл
- •Тема XVI. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы; их определение, свойства и приложения
- •2. Формула Грина.
- •3. Поверхностные интегралы
- •Тема XVII. Векторный анализ
- •1. Скалярное и векторное поле. Градиент скалярного поля. Циркуляция, поток, дивергенция и ротор векторного поля
- •2. Формула Стокса
- •3. Формула Остроградского
- •4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •5. Операторы Гамильтона и Лапласа
- •Тема XVIII. Ряды
- •1. Числовые ряды
- •2. Функциональные ряды
- •3. Степенные ряды
- •4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
- •Тема XIX. Ряды фурье. Интеграл фурье
- •Тема XX. Элементы теории уравнений математической физики
- •Тема XXI. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Тема XXII. Операционное исчисление
- •Тема XXIII. Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •2. Случайные величины
- •3. Цепи Маркова
- •Тема XXIV. Элементы математической статистики
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •2. Элементы линейной алгебры
- •3. Введение в математический анализ
- •4. Производная и её приложения
- •5. Приложения дифференциального исчисления
- •6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •7. Неопределенный и определенный интегралы
- •8. Дифференциальные уравнения
- •9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
- •10. Ряды
- •11. Уравнения математической физики.
- •12. Теория вероятности и математическая статистика.
XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики
101. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот.
Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними.
Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.
102. Определение условной вероятности. Независимость событий Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности, формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона.
103. Определение случайной величины. Функция распределения: случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.
104. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательства только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции.
105. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева.
106. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина.
107. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение.
108. Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.
109. Понятие о задании случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс.
Второй вариант (450 учебных часов)
Разделы, помеченные звездочкой, обязательны для изучения только в случае прямого указания кафедры высшей математики.
I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис.
2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.
3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка.
Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.
4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R2 и R3 (векторная и координатная формы).
5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса—Жордана.
6. Матрицы. Действие над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.
Пространство Rn. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn. Ранг матрицы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли.
7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R2 и R3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
8. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R2 и R3.
9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
10. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.