Тема VI. Возрастание и убывание функции. Экстремумы

1. Возрастание и убывание функций

Литература. [4], гл. V, § 1, 2; [5], гл. Ill, § 1, задачи 811, 819, 820, 823.

Можно использовать также [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 3.

2. Экстремумы

Литература. [4], гл. V, § 3—5, упр. 3, 12, 14, 22, 25, 27, 30; § 6, упр. 32, 34; § 7, упр. 40, 44, 52, 54; §8.

Можно использовать также [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 3.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на отрезке функции. Выведите достаточный признак возрастающей функции. Покажите, что функции y=е^x и y=x+cosx возрастают в любом промежутке.

2. Сформулируйте определение точки экстремума функции. Покажите, что если выполняется условие 3ac>b², то функция у=ах³+bx²+cx+d не имеет экстремума при любом d.

3. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.

4. Приведите пример, показывающий, что обращение в некоторой точке производной в нуль не является достаточным условием наличия в этой точке экстремума функции.

5. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке? Всегда ли они существуют?

После изучения тем V и VI выполните контрольную работу 4.

Тема VII. Построение графиков функции

1. Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба

Литература. [4], гл. V, § 9, упр. 62, 63, 67—71,

2. Асимптоты

Литература. [4], гл. V, § 10, упр. 73, 75, 76, 78, 108, ПО.

3. Общая схема построения графиков функций

Литература. [4], гл. V, § 11, упр. 84, 92, 95, 96, 99, 103, 134.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры,

2. Сформулируйте определение асимптоты линии. Как находятся вертикальные и невертикальные асимптоты линии, заданной уравнением y=f(x)? Приведите примеры.

3. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

Тема VIII. Векторные и комплексные функции

1. Векторная функция скалярного аргумента

Литература. [4], гл. IX, § 1, 2 (до примера 2 включительно), 3, упр. 1, 3, 4, 6.

Можно использовать также [5], гл. III, § 18; [9], ч. I, гл. VII, § 5.

2. Кривизна кривой. Формулы Френе

Литература. [4], гл. VI, § 1—4, упр. 1—5; § б, 7, упр. 6—12, 19, 20, 23, 26, 40, 41, 43; гл. IX, § 4, 5, упр. 8—16.

Можно использовать также [5], гл. III, § 5; гл. VI, § 19, 20; [9], ч. I, гл. VII, § 6.

3. Комплексные функции. Многочлен в комплексной области

Литература. [4], гл. VII, § 4—8, упр. 11—14.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется векторная функция скалярного аргумента?

2. Как определяется предел и производная векторной функции скалярного аргумента?

3. Каков геометрический и механический смысл производной векторной функции скалярного аргумента?

4. Каковы свойства производной векторной функции скалярного аргумента и правила дифференцирования векторных функций?

5. Что называется кривизной плоской линии? По какой формуле она вычисляется? Приведите примеры.

6. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и 'эвольвентой плоской линии? Приведите примеры.

7. Что называется касательной, главной нормалью, бинормалью, нормальной плоскостью и соприкасающейся плоскостью пространственной линии? Как записываются их уравнения для линии, являющейся годографом заданной векторной функции? Приведите примеры.

8. Что называется кривизной и кручением пространственной линии? По каким формулам они вычисляются? Приведите примеры.

9. Напишите формулы Френе; дайте их вывод. Приведите примеры.

10. Как определяется комплексная функция действительного переменного и ее производная?

11. Как определяется показательная функция ег комплексного переменного г?

12. Какая формула называется формулой Эйлера? Что называется показательной формой комплексного числа?

13. Сформулируйте теорему Безу и докажите ее.

14. Сформулируйте основную теорему алгебры.