3. Несобственные интегралы

Литература. [4], гл. XI, § 7, упр. 29—31, 34, 35, 37—40.

4. Интегралы, зависящие от параметра.

Гамма- и бэта-функции

Литература. [4], гл. XI, § 10, упр. 53; [5], гл. V, § 3, за. дачи 1574, 1575.

5. Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [4], гл. XII, § 1, упр. 1, 3, 5—11; § 2, упр. 13, 14, 17, 18; § 3, упр. 38-41, 43, 47; § 4, 5, упр. 20-23, 25, 32; § 6, упр 49, 51, 53, 56.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у которого один или оба предела интегрирования бесконечны); укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов первого рода.

2. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна; приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов второго рода.

3. Сформулируйте правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

4. Что называется гамма-функцией? Выведите формулу Г(n)=(n—1)! Что называется бэта-функцией?

5. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

6. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декоративной системе координат. Приведите примеры.

7. Выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений. Вычислите с ее помощью объем эллипсоида. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения Приведите примеры.

8. Выведите формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.

После изучения тем XI и XII выполните контрольную работу 7.

Тема XIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Литература. [4], гл. XIII, § 1—3, упр. 1, 2, 4; [5], задачи 2711, 2715, 2730, 2733, 2736; [4], гл. XIII, § 4, упр. 9, 11, 20—26, 35—37; § 5, упр. 40—47, 55, 56; § 6, упр. 48—50; § 7, упр. 58—63; §8, упр. 66-69; § 9, упр. 72—76, 80; § II, 12, 32, 33, упр. 194, 195; [5], гл. X, § 5, п. 2°, задачи 3179, 3180.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решения (интеграла), Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдите общее решение уравнения dy/dx=2y/x и укажите, где условия этой теоремы не выполняются.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Данте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

8. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

9. Что называется особым решением дифференциального уравнения первого порядка?

10. Изложите метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.

11. Изложите метод Рунге—Кутта численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.