matan

что совпадает с (4.14). Теорема доказана.

Ниже вычислены два важных интеграла, применяя метод замены переменной.

Введем новую переменную t = ax . Так как x=at и dx=adt, то с учетом (4.14) имеем

Переходя в последнем к переменной х, окончательно получим

2. ∫a 2 dx+ x2

Введя новую переменную t = ax и учитывая (4.14), имеем

∫a 2 dx+ x2 = ∫a 2 adt+a 2t 2 = a1 ∫1 +dtt 2 = a1 arctg t+C.

Переходя в последнем к переменной х, получим

∫a 2 dx+ x2 = a1 arctg ax + C. (4.18)

4.4.Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов

Теорема 4.2. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на множестве {x} и на этом множестве существует первообразная для

∫U(x)dV(x) = U(x) V(x) − ∫V(x)dU(x).

121

Доказательство. По правилу дифференцирования от произведения двух функций имеем

что совпадает с (4.19). Теорема доказана.

Отметим, что метод интегрирования по частям (см.(4.22)) удобно применить в основном в следующих трех случаях:

а) подынтегральные функции содержат в качестве множителя одну из функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д. При интегрировании по частям за функцию U(x) нужно брать одну из указанных функций.

б) подынтегральные функции имеют вид:

(ax+b)n cos kx, (ax+b)n sin kx,(ax+b)n ekx,

где a,b,k- некоторые постоянные, n- произвольное положительное целое число. Формулу (4.22) нужно применить n-кратно, взяв каждый раз в качестве функции U(x) функцию ax+b в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень ax+b будет понижаться на единицу.

в) подынтегральные функции имеют вид:

eaxcos bx, eaxsin bx, sin (ln x), cos (ln x) и т.д.,

122

где a, b- некоторые постоянные. Обозначая каждый из интегралов

∫eax cos bxdx, ∫eax sin bxdx, ∫sin(ln x)dx, ∫cos(ln x)dx через I и произведя

двукратное интегрирование по частям, получим для определения I уравнение первой степени.

Указанные выше случаи не ограничивают возможности применения метода интегрирования по частям и при вычислении других интегралов.

Ниже методом интегрирования по частям получим некоторые важные формулы, которые часто используют при вычислении многих интегралов.

Или перенеся второй член правой части налево и приведя подобные члены получим

где, как покажем далее (см. пункт 4.8),

123

Применяя еще раз метод интегрирования по частям для вычисления ∫ex cos xdx, взяв U(x)=ex и cos xdx=dV(x), придем к выражению

Перенеся последний член правой части (4.26) влево и решая полученное уравнение относительно ∫ex sin xdx, окончательно получим

5. Интерферированием по частям можно получить и рекуррентные формулы для вычисления неопределенных интегралов от некоторых

число. Предположим, что U(x)=sinn-1x и dV(x)=sin xdx. Тогда dU(x)=(n- )sinn-2x cos xdx, V(x)=-cos x и

4.5. Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа

Определение 4.3. Рациональной дробью называется отношение

действительными коэффициентами, где многочлен Pn(x) степени n, а многочлен Qm(x)- степени m, т.е.

Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0,

Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0.

правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе меньше

неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе(n≥m) (например,

1). n≥m

Pn (x) −неправильная рациональная дробь.

Qm (x)

2). n<m

Pn (x) −правильная рациональная дробь.

Qm (x)

Оказывается, первый случай сводится ко второму простым делением многочлена степени n на многочлен степени m с использованием известного правила алгебры

126

Как известно из алгебры, постеднее равенство удовлетворяется для произвольного х, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, т.е. если

x2 A + B = 0,

xA − B + D =1,

x0 A − D = 0.

Решая полученную систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, D, получим

A = 13 , D = 13 , B = −13 .

Тогда(4.36) перепишется в виде

Таким образом, согласно теореме 4.3, вопрос интегрирования правильных рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших правильных дробей следующих видов:

где A, B, D- действительные постоянные, α и β- целые положительные числа (α≠1, β≠1), а квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней(p2-4q<0).

Заметим, что ∫xAdx−a и ∫(xAdx−a)α вычисляются непосредственно по формулам(4.8), т.е.

129

Теперь займемся вычислением ∫x2 + px +q dx.

Выделяя полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции и