I. Элементарная математика

1.1. Арифметика

1.1.1. Некоторые основные понятия

• Числа 1, 2, 3, …, появившиеся в результате счета, называются натуральными.

• Число а называется простым, если его делителями являются только единица и само число а. Числа, имеющие другие делители, называются составными.

Число единица рассматривается особо: оно не является ни простым, ни составным.

• Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК):

НОД нескольких натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое все эти числа делятся. Для нахождения НОД каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наимень-шим (из имеющихся) показателем. Так НОД чисел 60 и 280 равен 2² · 5 = 20.

НОК нескольких натуральных чисел называется самое маленькое натуральное число, которое делится на все эти числа. Для нахождения НОК каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем. Например, НОК чисел 60 и 280 равен 2³ · 5 · 7 = 840.

• Числа, которые можно записать в виде , гдеи– целые, назы-ваютсярациональными числами или обыкновенными (простыми) дробями.

• Десятичная дробь – частный случай обыкновенной дроби, знаменатель которой есть целая степень числа 10.

1.1.2. Действия над обыкновенными дробями

• Дробь , гдеи, называетсяправильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной – в противном случае.

• Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число :.

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

;

Если дроби имеют разные знаменатели, то их надо привести к общему знаменателю, домножая числитель и знаменатель каждой из них на некоторое число. В качестве общего знаменателя удобно взять НОК знаменателей данных дробей. Например,

• Умножение дробей: .

Чтобы дробь умножить на целое число, то удобно целое число записать в виде дроби со знаменателем, равным 1: .

• Деление дробей. Для деления дроби на другую дробь надо ее умножить на дробь, обратную делителю:

Если дробь разделить на целое числото.

Примеры.

• ; • .

1.1.3. Пропорция. Средние величины

Пропорцией называется равенство двух отношений, т. е. выражение вида После приведения обеих дробей в пропорции к общему знаменателюполучим равенство числителей:. Следовательно, например,

Среднее арифметическое – это частное от деления суммы n величин на число этих величин:.

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) – это корень n-ой степени из произведения величин

Среднее квадратичное – это квадратный корень из частного от деления суммы квадратов данных величин на число этих величин:

Среднее взвешенное

где – вес величины,.

1.2. Расширение понятия о числе

1.2.1. Основные множества чисел и некоторые обозначения

В математике для описания совокупности объектов любой природы используется понятие множества. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, N, … Например, множество, состоящее из трех чисел: 2, 5, и 10 обозначают так: . Записьозначает, что элемента принадлежит множеству А. Так, например, . Множество, не содержащее ни одного элемента, называетсяпустым и обозначается .

• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением этих множеств и обозначается . Например, если,, то.

• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется их объединением и обозначается . Так, для введенных выше множеств.

В элементарной математике выделяют следующие множества чисел:

–состоит из всех натуральных чисел;

–состоит из всех целых чисел;

, где ,– состоит из всех рациональных чисел. Следовательно, все целые и дробные числа (положительные и отрицательные) и нуль называются рациональными. Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

, где – состоит из всех действительных чиселх (рациональных и иррациональных).

Для множеств на числовой оси используются специальные названия и обозначения.

№ п.п.	Название	Обозначение	Множество
1	Отрезок
2	Интервал
3	Полуинтервал
4	Полуинтервал
5	Луч
6	Луч
7	Открытый луч
8	Открытый луч